Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

1. Ciphertext-Only-Angriff: Der Angreifer kennt den Geheimtext und
möchte den Klartext und evtl. sogar den Schlüssel berechnen.
2. Known-Plaintext-Angriff: Der Angreifer kennt ein aus Klartext und
zugehörigem Geheimtext bestehendes Paar und will den Schlüssel bestimmen,
um weitere Geheimtexte entschlüsseln zu können. Oder er kennt den
Geheimtext und einen Teil des Klartextes, den er u.U. erraten 2 hat, und
möchte den gesamten Klartext und evtl. den Schlüssel bestimmen.
Bei der Sicherheitsbewertung von Kryptographieverfahren sollte man niemals
das folgende Kerkhoffsche Prinzip außer Acht lassen: Rechne immer damit,
dass der Angreifer das verwendete Verfahren kennt. Es muß ausreichen, die
Schlüssel geheim zu halten.
Man denke etwa an Spionage 3 , aber auch an folgendes: Bei Freeware-Software
zur Datenübertragung ist der Quellcode (und damit das Verschlüsselungsverfahren)
ohnehin jedermann bekannt. Z.B. wurde nie ein Geheimnis daraus gemacht,
dass das Linux-Programm OpenSSH das Diffie-Hellman-Verfahren benutzt.
Trotzdem halte ich es für sicher.
1.2 Vigenère-Chiffre und Vernam-Chiffre
Wir diskutieren im folgenden einige klassische Kryptographieverfahren. Ich hoffe,
dass diese Diskussion eine geeignete Einführung in das kryptologische Denken
liefert, und dass sie “historisch interessant” ist. Einige moderne Private-Key-
Verfahren (z.B. Feistel-Chiffren wie Tripel-DES) kann man als Weiterentwicklung
klassischer Verfahren ansehen.
Wir arbeiten mit dem natürlichen Alphabet A = {A, B, C, · · · , Z}. Wir bezeichnen
mit
S(A) := {σ : A → A | σ ist bijektiv}
die Menge aller Permutationen A → A. Sei rot 1 ∈ S(A) die durch die “Tabelle”
( )
ABCD EF GH IJKL MNOP QRST UV W X Y Z
rot 1 =
BCDE F GHI JKLM NOP Q RST U V W XY ZA
gegebene 4 Abbildung; rot 1 ist also der Links-Shift um eine Position. Sei rot n :=
rot ◦n
1 die n-fache Hintereinanderausführung, d.h. der Links-Shift um n Positionen.
Sei rot −n := rot −1
n der Rechts-Shift um n Positionen. (Z.B. gilt rot 1 (A) =
B, rot 3 (A) = D oder rot −2 (A) = Y .)
Sei nun P = C = A ∗ und s ∈ N. Der Schlüsselraum der Vigenère-Chiffre zur
Schlüssellänge s (kurz: s-Vigenère-Chiffre) ist K := {0, · · · , 25} s . Ein Schlüssel
der s-Vigenère-Chiffre ist also ein Vektor k := (k 1 , · · · , k s ) ∈ K. Ein Text 5
2 Bei einer E-Mail ist es z.B. recht wahrscheinlich, dass am Anfrang eine der Phrasen “Sehr
geehrte(r)”, “Liebe(r)” oder “Hallo” steht
3 Es wird im 2. Weltkreig jedem europäischen Geheimdienst bekannt gewesen sein, dass
z.B. die Deutschen mit der Enigma arbeiten und die USA-Navy mit CSP-1500
4 Die vertikalen Linien wurden zur besseren Lesbarkeit eingefügt.
5 Bei Texten schreiben wir oft x 1 · · · x N statt (x 1 , · · · , x N ).
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