Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

für alle x, y ∈ G. Man beachte: Genau dann gilt log G,g (x) = u, wenn g u = x
gilt (x ∈ G, u ∈ Z/|G|Z). Man beachte: Wenn x ∈ G keine Potenz von g ist,
dann ist log G,g (x) nicht definiert!
Besonders wichtig ist der Spezialfall in dem G zyklisch und g ein Erzeuger von
G ist. Dann gilt |G| = ord(g) und
exp G,g : (Z/ord(g)Z, +) → (G, ·), log G,g : (G, ·) → (Z/|G|Z, +)
sind zueinander inverse Isomorphismen.
Wenn klar ist um welche Gruppe es geht, so schreiben wir oft exp g statt exp G,g ,
log g statt log G,g bzw. Log g statt Log G,g .
Folgerung 4.1.6 Jede endliche zyklische Gruppe G ist isomorph zu (Z/|G|Z, +).
Beispiel: Wir wollen diskrete Logarithmen zur Basis [6] in F 13 berechnen. Wir
betrachten die entsprechende Zeile der Potenzierungstafel.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
[6] k [1] [6] [10] [8] [9] [2] [12] [7] [3] [5] [4] [11] .
Man sieht, daß ord([6]) = 12 = |F × 13 | und 〈[6]〉 = F× 13 gilt, d.h. daß [6] ein
Erzeuger von F × 13 ist. Also ist log [6](x) bzw. Log [6] (x) für jedes x ∈ F × 13 definiert.
Was ist Log [6] ([3])? Aus der obigen Tabelle entnimmt man, daß [6] 8 = [3] (und
[6] k ≠ [3] für 0 ≤ k < 8) gilt. Also gilt Log [6] ([3]) = 8. Ferner muß log [6] ([3])
die Restklasse von Log [6] ([3]) = 8 modulo ord([6]) = 12 sein, d.h. log [6] ([3]) =
[8] 12 . Aus obiger Tabelle entnimmt man in völlig analoger Weise Log [6] (x) bzw.
log [6] (x) für jedes x ∈ F × 13 :
x [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
Log(x) 0 5 8 10 9 1 7 3 4 2 11 6
log(x) 0 5 8 10 9 1 7 3 4 2 11 6
.
Wir haben hier a statt [a] 12 und [a] statt [a] 13 geschrieben.
Genauso können wir nach diskreten Logarithmen zur Basis [8] fragen. Wir betrachten
die entsprechende Zeile der Potenzierungstafel:
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[8] k [1] [8] [12] [5] [1] [8] [12] [5] [1] [8] [12] [5] [1] .
Es folgt ord([8]) = 4 und 〈[8]〉 = {[1], [8], [5], [12]}. Insbesondere ist [8] kein Erzeuger
von F × 13 . Nur für x ∈ 〈[8]〉 ist Log [8](x) definiert! Was ist nun Log [ 8]([5])?
Es ist die kleinste nicht-negative ganze Zahl k mit [8] k = [5], also Log [8] ([5]) = 3.
Ferner ist log [8] ([5]) die Restklasse von Log [8] ([5]) modulo ord([8]) = 4, d.h.
log [8] ([5]) = [3] 4 . So kann man Log [8] (x) bzw. log [8] (x) für jedes x ∈ 〈[8]〉 bestimmen:
x [1] [5] [8] [12]
Log(x) 0 3 1 2 .
log(x) [0] 4 [3] 4 [1] 4 [12] 4
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