Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Man sieht: ord([1]) = 1, ord([6]) = 2, ord([2]) = ord([4]) = 3 und ord([3]) =
ord([5]) = 6 = |G|. Ebenso sieht man, daß 〈[1]〉 = {[1]}, 〈[6]〉 = {[1], [6]},
〈[2]〉 = 〈[4]〉 = {[1], [2], [4]} und 〈[3]〉 = 〈[5]〉 = F × 7 gilt.
Also sind [3] und [5] Erzeuger von G. Die Erzeuger sind genau die Elemente, in
deren Zeile außer in der ganz linken und ganz rechten Spalte keine Eins steht.
Da G Erzeuger hat ist G = F × 7 zyklisch. Die Elemente [1], [2], [4], [6] sind keine
Erzeuger von G; ihre Ordnung ist jeweils < |G|.
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Beispiel: Betrachte nun die “Potenzierungstafel” der Gruppe (Z/8) × = {[1], [3], [5], [7]}
( [a] := [a] 8 ).
k 0 1 2 3 4
[1] k [1] [1] [1] [1] [1]
[3] k [1] [3] [1] [3] [1] .
[5] k [1] [5] [1] [5] [1]
[7] k [1] [7] [1] [7] [1]
Also gilt ord([1]) = 1 und ord([3]) = ord([5]) = ord([7]) = 2 < 4 = |G|. Also hat
die Gruppe G keinen Erzeuger, d.h. G ist nicht zyklisch.
□
Mit Hilfe der Potenzierungstafel einer endlichen abelschen Gruppe G kann man
also Elementordungen bestimmen, prüfen ob G zyklisch ist und ggfls. die Erzeuger
von G bestimmen. Man beachte aber: Der Aufwand für das Anlegen
einer einzelnen Zeile der Potenzierungstafel ist exponential in der Bitlänge von
|G|. Man braucht Sätze, mit deren Hilfe sich Aufgaben wie oben schneller lösen
lassen.
Will man für ein Element x ∈ G entscheiden, ob x ein Erzeuger von G ist, so
könnte man für jedes t mit 1 < t < |G| (oder besser: für jeden Teiler t von |G|
mit t < |G|) prüfen, ob x t ≠ 1 gilt. Wenn die PFZ von |G| bekannt ist, so gibt
es einen viel schnelleren Test, der auf dem folgenden Satz beruht.
Satz 4.1.1 Sei x ∈ G und n ∈ N. Gelte x n = 1. Genau dann gilt ord(x) = n,
wenn x n p ≠ 1 für jeden Primteiler p von n gilt.
Beweis: Wenn ord(x) = 1 gilt, dann gilt x t ≠ 1 für jeden Exponent t ≥ 1, der
kleiner ist als n.
Wenn ord(x) ≠ n gilt, dann muß ord(x) < n und ord(x) | n gelten. Wenn
n = p e1
1 · · · per r die Primfaktorzerlegung von n ist, dann muß ord(x) = p f1
1 · · · pfr r
mit f i ≤ e i für alle i ∈ {1, · · · , r} gelten, und es muß ein j mit f j < e j geben.
p := p j ist dann ein Primteiler von n derart, daß ord(x) Teiler von n/p ist.
Daraus folgt aber x n p = 1. □
Satz 4.1.2 Sei x, y ∈ G k ∈ Z.
1. Sei g ∈ ggT (ord(x), k) mit g ≥ 0. Dann gilt ord(x k ) = ord(x)
g
.
2. Wenn ord(x) zu ord(y) teilerfremd ist, dann gilt ord(xy) = ord(x)ord(y).
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