Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

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Kapitel 1 Einige klassische Kryptograpieverfahren 1.1 Grundlegende Begriffe der Kryptologie Im Gegensatz zum normalen Sprachgebrauch wird in der technisch-mathematischen Sprache streng zwischen den folgenden Disziplinen unterschieden: 1. Kryptographie ist die Wissenschaft der Geheimschriften, d.h. der Verschlüsselung von Nachrichten, die dann über einen nicht abhörsicheren Kanal (z.B. E-Mail, Funk, Post, Bote) verschickt werden. Eine abgehörte verschlüsselte Nachricht soll keine bzw. möglichst wenig Rückschlüsse auf die unverschlüsselte Nachricht zulassen. 2. Kryptoanalyse entwickelt Angriffe auf kryptographische Verfahren. Kryptoanalyse wird häufig ganz legitim von Fachleuten betrieben, um mögliche Schwachstellen in Kryptosystemen aufzudecken und dann zu beheben. 3. Kryptologie ist der Oberbegriff für Kryptographie und Kryptoanalyse. 4. Codierungstheorie beschäftigt sich mit Verfahren zur Erkennung und Behebung von Fehlern, die entstehen, wenn Daten über einen Kanal übertragen werden, der diese Daten möglicherweise (um einzelne Bits) verfälscht. Abhörsicherheit gehört nicht zu den Zielen der Codierungstheorie. Eine separate Vorlesung zur Codierungstheorie wird regelmäßig an der UniBw angeboten. Wir beginnen mit einigen Sprechweisen der Kryptologie. Ein Alphabet ist im folgenden einfach eine nicht-leere, endliche Menge. Ein Text der Länge n über dem Alphabet A ist ein Element des Produktes A n . Ferner steht A ∗ := ∪ n∈N A n für die Menge der Texte beliebiger Länge über A. 5
Beispiele: Das klassische Beispiel ist sicher die 26-elementige Menge A = {A, B, C, D, E, F, G, · · · , X, Y, Z}, evtl. ergänzt um Kleinbuchstaben, Umlaute und Satzzeichen. F QAQST ist ein Beispiel für einen Text der Länge 6 über dem Alphabet A. In technischen Anwendungen kommt das Alphabet A := {0, 1} häufig vor. Ein Text über diesem Alphabet ist ein Bitvektor. Z.B. ist 01001010 ein Text der Länge 8 über {0, 1}. Der ASCII-Zeichensatz ist ein Beispiel für ein Alphabet mit 256 Elementen. Ein Private-Key-Verfahren ist ein Tupel (P, C, K, E, D), das aus folgenden Objekten besteht: P die Menge aller möglichen / erlaubten Klartexte, C die Menge aller möglichen Geheimtexte, K die Menge aller möglichen Schlüssel, E die Verschlüsselungs-Abbildung K × P → C, D die Entschlüsselungs-Abbildung K × C → P. Axiom: Es muß gelten: D(k, E(k, X)) = X ∀k ∈ K ∀X ∈ P. Die Funktionen E und D sollten leicht auf einem Computer zu implementieren sein. Es gibt gute Private-Key-Verfahren (z.B. IDEA, Triple-DES oder AES), bei denen die Laufzeiten für Ver- bzw. Entschlüsselung auch bei großen Datenmengen vertretbar klein bleiben. Der Schlüssel ist bei einem Private- Key-Verfahren unbedingt geheim zu halten. Wenn nur ein nicht abhörsicherer Kanal zur Verfügung steht, so ist die Schlüsselvereinbarung 1 das Hauptproblem. Natürlich sollte man niemals den Schlüssel vor der Kommunikation unverschlüsselt über den unsicheren Kanal vereinbaren. Einen Ausweg liefern die Public-Key-Verfahren. Wir sagen hier nur so viel: Mit einem solchen Verfahren kann man über einen nicht abhörsicheren Kanal kommunizieren, ohne vorher die Schlüsselvereinbarung auf anderem Wege durchgeführt zu haben. Dabei wird vom Empfänger ein Teil des Gesamtschlüssels öffentlich gemacht, der zum Verschlüsseln von Nachrichten genügt, nicht aber zum Entschlüsseln. Die Details werden wir später nachreichen. Die Schlüssellängen und die Rechenzeit für Ver- und Entschlüsselung sind hier in aller Regel wesentlich höher als bei einem guten Private-Key-Verfahren. Public-Key-Verfahren sind also nicht für die Übertragung großer Datenmengen geeignet. Wenn große Datenmengen übertragen werden sollen, dann behilft man sich gerne so: Mit einem Public-Key-Verfahren wird nur ein Schlüssel (verschlüsselt) übermittelt, und dann wird mit diesem Schlüssel eine Private-Key-Sitzung durchgeführt. Wir erwähnen noch zwei Formen der Kryptoanalyse: 1 Man will vielleich mit Personen per E-Mail kommunizieren, die man noch nie persönlich getroffen hat. 6
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Beweis. Sei wieder x := 1 2 (p + q)
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Kapitel 4 Diskreter Logarithmus 4.1
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Beweis: Sei n := ord(x). Offenbar g
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d.h. mit x j = f j (x 0 ), wobei f
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ereitgestellt. Dies ist wesentlich
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Kapitel 5 Public-Key-Verfahren, die
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Satz 5.1.2 (Primzahlen in arithmeti
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Der Nachrichtenraum des Verfahrens
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Beispiel: Betrachten wir die Usergr
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a) Ein Angreifer Oskar möchte auch
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Erzeugung der ElGamal-Signatur: Um
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Sei T (Trustcenter) ein User, desse
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( Für zwei Zahlen a, b ∈ Z mit a
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3. Für b, c ∈ N ungerade und u
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) /* Ende while if(a=0, s:=0); Ausg
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Wir erinnern an die Hauptergebnisse
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Daraus 2 folgt, daß (∗) keine L
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schickt. Oskar überlegt sich, was
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