Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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Kapitel 4<br />
Diskreter Logarithmus<br />
4.1 Primitivwurzeln <strong>und</strong> diskreter Logarithmus<br />
Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe. Für x ∈ G sei 〈x〉 = {x k : k ∈ Z}. Wenn nun<br />
〈x〉 = G gilt, dann wird x ein Erzeuger von G genannt. Das ist genau dann<br />
der Fall, wenn jedes Element in G eine Potenz von x ist. Nicht jede Gruppe hat<br />
einen Erzeuger. Wenn in G ein Element existiert, das Erzeuger von G ist, dann<br />
nennt man G eine zyklische Gruppe.<br />
Sei nun G endlich. ord(x) ist die kleinste positive Zahl mit x ord(x) = 1. Es gilt,<br />
ohne Mehrfachauflistung von Elementen geschrieben, 〈x〉 = {1, x, · · · , x ord(x)−1 }.<br />
Ferner gilt ord(x) = |〈x〉| <strong>und</strong> nach 2.7.1 ist ord(x) immer ein Teiler von |G|.<br />
Ferner gilt für k ∈ Z: Genau dann ist x k = 1, wenn k ∈ ord(x)Z. Für k ∈ Z sei<br />
[k] := [k] ord(x) ∈ Z/ord(x)Z die entsprechende Restklasse. Dann hat es Sinn<br />
zu definieren.<br />
x [u] := x u<br />
für [u] ∈ Z/ord(x)Z<br />
Offenbar ist x ein Erzeuger von G genau dann, wenn ord(x) = |G| gilt.<br />
Beispiel: Wir betrachten eine “Potenzierungstafel” für die 6-elementige Gruppe<br />
G := F × 7 . Sei [a] := [a] 7.<br />
k 0 1 2 3 4 5 6<br />
[1] k [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]<br />
[2] k [1] [2] [4] [1] [2] [4] [1]<br />
[3] k [1] [3] [2] [6] [4] [5] [1]<br />
[4] k [1] [4] [2] [1] [4] [2] [1]<br />
[5] k [1] [5] [4] [6] [2] [3] [1]<br />
[6] k [1] [6] [1] [6] [1] [6] [1]<br />
Die linke Spalte von Einsen ergibt sich, da x 0 = [1] für alle x ∈ G gilt. Die<br />
rechte Spalte von Einsen war nach dem Satz von Fermat zu erwarten; es gilt<br />
x |G| = [1] für alle x ∈ G <strong>und</strong> |G| = 6.<br />
.<br />
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