Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Kapitel 3
Das Public-Key-Verfahren
von Rivest, Shamir und
Adleman
3.1 Der Potenzierungsalgorithmus Square and
Multiply
Bei vielen Berechnungen, die im Zusammenhang mit RSA auftreten, müssen
hohe Potenzen in Z/NZ berechnet werden. Wir stellen einen schnellen Algorithmus
dafür vor.
Sei N ≥ 2 eine (evtl. sehr große) natürliche Zahl. Vorab sei erwähnt, dass man
bei längeren Rechnungen in Z/NZ nach jedem einzelnen Teilschritt modulo N
reduzieren sollte. (Beispiel: Rechne nicht 44 · 123 · 42 = 227304 = 4 mod 5,
sondern 44 · 123 · 42 = 4 · 3 · 2 = 12 · 2 = 2 · 2 = 4 mod 5.)
Sei nun (G, ·) ein abelsches Monoid. Eine Routine zur Berechnung des Produktes
zweier Elemente liege bereits vor. Es ist rechentechnisch ungünstig, zur
Berechnung von x n (x ∈ G, n ∈ N) die Definitionsformel
x n = x · x · · · x
} {{ }
n-mal
heranzuziehen. Dies würde für die Berechnung von x n genau n − 1 Multiplikationen
in Z/NZ erfordern.
Besser ist folgendes Vorgehen. Zuerst berechnet man die 2-adische Entwicklung
des Exponenten n = a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 + ·a m 2 m (a i ∈ {0, 1}). Die a i können durch
die Formeln 1 n = a 0 mod 2, a k = n−(a0+···+a k−12 k−1 )
2 k mod 2 rekursiv berechnet
1 Vgl. Übungsblatt 2, Aufg. 3
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