Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

und dies ist eine Menge der Mächtigkeit |〈x〉| = ord(x).
Die Menge 〈x〉 ist sogar eine Untergruppe von G: Man sieht sofort, dass sie
mutiplikativ abgeschlossen ist und 1 enthält. Sei k ∈ {0, · · · , ord(x) − 1}. Dann
gilt x k · x ord(x)−k = x ord(x) = 1. Dies liefert die Existenz inverser Elemente.
Beispiel: Wir rechnen in der 6-elementigen Gruppe
F × 7 = (Z/7Z)× = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]}.
Wir berechnen die Potenzen einiger Elemente:
k 0 1 2 3 4 5 6
[2] k [1] [2] [4] [1] [2] [4] [1]
[3] k [1] [3] [2] [6] [4] [5] [1]
[4] k [1] [4] [2] [1] [4] [2] [1]
[5] k [1] [5] [4] [6] [2] [3] [1]
[6] k [1] [6] [1] [6] [1] [6] [1]
Man sieht nun z.B., daß 3 das kleinste k mit [2] k = [1] ist, d.h. ord([2]) = 3.
Die Menge 〈[2]〉 besteht aus den Potenzen von [2], also aus den Elementen der
ersten Zeile: 〈[2]〉 = {[1], [2], [4]}. So kann man ord(x) und 〈x〉 für jedes x ∈ F × 7
bestimmen:
x ord(x) 〈x〉
[1] 1 {[1]}
[2] 3 {[1], [2], [4]}
[3] 6 {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} = F × 7
[4] 3 {[1], [2], [4]}
[5] 6 {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} = F × 7
[6] 2 {[1], [6]}
In obiger Tabelle ist jede vorkommende Elementordung ein Teiler von |F × 7 | =
ϕ(7) = 6. Dies gilt allgemein:
Satz 2.7.1 Sei G eine endliche, abelsche Gruppe. Für alle x ∈ G gilt ord(x) |
|G|. Insbesondere gilt x |G| = 1 für alle x ∈ G.
Beweis: Wir haben oben gesehen, daß |〈x〉| = ord(x) gilt und daß 〈x〉 eine
Untergruppe von G ist. Nach 2.4.4 ist die Mächtigkeit einer jeden Untergruppe
von G ein Teiler von |G|. Daraus folgt ord(x) | |G| und das impliziert x |G| = 1
für alle x ∈ G.
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Wer lieber mit der Relation − = − mod N als mit Restklassen arbeitet, wird
folgende Fassung begrüßen:
Folgerung 2.7.2 (Kleiner Satz von Fermat) Sei N ≥ 2. Für jede zu N
teilerfremde Zahl a ∈ Z gilt a ϕ(N) = 1 mod NZ .
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