Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

1. f(x) = f(y) ⇐⇒ x = y mod n 1 · · · n t Z.
2. f ist surjektiv.
3. f induziert einen bijektiven Homomorphismus
f : Z/nZ → Z/n 1 Z × · · · × Z/n t Z, [a] ↦→ ([a] n1 , · · · , [a] nt ).
Beweis: Genau dann gilt f(x) = f(y), wenn x = y mod n i für alle i gilt, also
wenn y −x durch alle n i teilbar ist. Dies ist äquivalent zu n 1 · · · n t | (y −x) (hier
geht die Voraussetzung ein, daß die n i teilerfremd sind!). Das ist aber wiederum
genau dann der Fall, wenn x = y mod n 1 · · · n t gilt. Somit gilt 1.
Aus 1. folgt, dass f eine wohldefinierte und injektive Abbildung ist. Da Definitionsbereich
und Wertebereich von f die gleiche (endliche) Mächtigkeit haben,
muß f auch surjektiv sein. Daraus folgt leicht, daß auch f surjektiv ist.
Bemerkung 2.6.2 Nimm an, dass die Zahlen n i paarweise teilerfremd sind.
Dann sieht man leicht, dass x ∈ (Z/nZ) × ⇐⇒ f([x]) ∈ (Z/n 1 Z) × × · · · ×
(Z/n t Z) × gilt. Daher induziert f einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
(Z/nZ) × → (Z/n 1 Z) × × · · · × (Z/n t Z) × .
Die Menge auf der linken Seite hat also die selbe Mächtigkeit wie die Menge
auf der rechten Seite. Die Eulersche ϕ-Funktion haben wir durch ϕ(m) :=
|(Z/mZ) × | definiert. Es folgt die Multiplikationsregel
ϕ(n 1 · · · n t ) = ϕ(n 1 ) · · · ϕ(n t ).
Folgerung 2.6.3 Seien p 1 , · · · , p t paarweise verschiedene Primzahlen, e 1 , · · · , e t ≥
1 und n = p e1
1 · · · pet t . Dann gilt ϕ(n) = p e1−1
1 (p 1 − 1) · · · pt et−1 (p t − 1).
Beweis: Sei n i := p ei
i . Dann sind die n i paarweise teilerfremd und n = n 1 · · · n t .
Mit obiger Bemerkung folgt ϕ(n) = ϕ(n 1 ) · · · ϕ(n t ) = ϕ(p e1
1 ) · · · ϕ(pet t ). Nach
2.5.5 gilt ϕ(p ei
i ) = pei−1 i (p i − 1). Daraus folgt die Behauptung. □
Beispiel: Es gilt ϕ(4896) = ϕ(2 5·3 2·17) = 2 4 (2−1)·3(3−1)·(17−1) = 1536. Bei
großen Zahlen, die verschiedene große Primfaktoren haben, ist dieses Verfahren
nicht schnell, da die Berechnung der Primfaktorzerlegung viel Zeit beansprucht.
Sei nun t = 2. Nimm an, daß die beiden Zahlen n 1 , n 2 teilerfremd sind. Sei
a 1 , a 2 ∈ Z beliebig. Dann besagt der chinesische Restsatz (vgl. 2.6.1, Teil 2.),
dass ein x ∈ Z mit f(x) = ([a 1 ] n1 , [a 2 ] n2 ) (d.h. mit x = a 1 mod n 1 und x =
a 2 mod n 2 ) existiert. Der Beweis liefert aber keine Information darüber, wie
man die Lösungsmenge
L = {x : f(x) = ([a 1 ] n1 , [a 2 ] n2 )}
errechnet, denn die Surjektivität von f wird dort aus der Injektivität von f
gefolgert. Der folgende Algotithmus berechnet bei Eingabe (n 1 , n 2 , a 1 , a 2 ) eine
Lösung x ∈ L. Die gesamte Lösungsmenge ist dann
L = {y : y = x mod n 1 n 2 } = {x, x ± n 1 n 2 , x ± 2n 1 n 2 , · · ·}
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