Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Beispiel: Nach obigem Satz gilt:
(Z/2Z) × = {[1]},
(Z/3Z) × = {[1], [2]},
(Z/4Z) × = {[1], [3]},
(Z/5Z) × = {[1], [2], [3], [4]},
(Z/6Z) × = {[1], [5]},
(Z/7Z) × = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]},
(Z/8Z) × = {[1], [3], [5], [7]},
(Z/9Z) × = {[1], [2], [4], [5], [7], [8]},
(Z/10Z) × = {[1], [3], [7], [9]}.
Somit gilt ϕ(2) = 1, ϕ(3) = ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4,
ϕ(9) = 6, ϕ(10) = 4. Wir werden später eine einfachere Formel zur Berechnung
von ϕ beweisen.
Wir rechnen nun in Z/99Z. In diesem Ring muß [31] ein Inverses haben, denn
31 ist zu 99 teilerfremd. Wir berechnen das Inverse zu [31] mit dem euklidischen
Algorithmus.
(99, 31) Z = (31, 6) Z = (6, 1) Z = (1, 0) Z = (1) Z .
Dies ist keine Überraschung - wir haben ja schon erwähnt, dass 1 ∈ ggT(31, 99)
gilt. Nun können wir aber rückwärts einsetzen: 1 = 31−5·6 = 31−5·(99−3·31) =
(−5) · 99 + 16 · 31 und daraus folgt 1 = 31 · 16 mod 99, d.h. [31] −1 = [16].
Satz 2.5.4
1. Sei p eine Primzahl. Dann ist F p := Z/pZ ein Körper.
2. Sei N ≥ 2 eine Zahl, die nicht prim ist. Dann ist Z/NZ nicht einmal ein
Integritätsring, insbesondere kein Körper.
Beweis: Sei p prim. Es gilt Z/pZ = {[0], [1], · · · , [p − 1]} und da p prim ist,
sind die Zahlen 1, 2, · · · p − 1 allesamt zu p teilerfremd. Daher gilt (Z/pZ) × =
{[1], · · · , [p − 1]} = (Z/pZ) \ {[0]}, d.h. jedes von [0] verschiedene Element in
Z/pZ ist eine Einheit. Daher ist Z/pZ ein Körper.
Sei N ≥ 2 keine Primzahl. Dann läßt sich N schreiben als N = nm mit 1 <
n, m < N. Daraus folgt nm = 0 mod NZ, d.h. [n][m] = [0] aber [n] ≠ [0] und
[m] ≠ [0]. In Z/NZ gibt es also Produkte, die Null sind, ohne daß einer der
Faktoren Null ist. Daher ist Z/NZ kein Integritätsring.
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Die endlichen Körper F p (p prim) sind für die elementare Zahlentheorie und
für die Kryptographie von besonderer Bedeutung. Wie in jedem Körper gilt
F × p = F p \ {0}.
Satz 2.5.5 Sei p eine Primzahl. Dann gilt ϕ(p n ) = p n−1 (p − 1).
Beweis: Wir müssen zählen, wie viele Einheiten Z/p n Z hat. Da p prim ist, sind
die zu p n nicht teilerfremden Zahlen gerade die durch p teilbaren Zahlen. Daher
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