Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

1. Genau dann ist [x] eine Einheit in Z/NZ (in Formeln: x ∈ (Z/NZ) × ),
wenn x zu N teilerfremd ist. Dies kann man so umformulieren: Genau
dann gibt es ein y ∈ Z mit xy = 1 mod NZ, wenn x zu N teilerfremd ist.
2. Sei N ′ := N/g und k ∈ Z. Genau dann gilt xk = 0 mod NZ, wenn
k = 0 mod N ′ Z.
Beweis: Implikation “⇐” von 1.: Sei x zu N teilerfremd, d.h. sei g = 1. Nach
2.2.4 gibt es u, v ∈ Z mit 7 1 = g = ux + vN. Dann ist aber 1 = ux + v · 0 =
ux mod NZ und somit ist [u] multiplikatives Inverses zu [x].
Implikation “⇒” von 1.: Gelte xy = 1 mod NZ. Wegen g | N folgt daraus
xy = 1 mod gZ. Weil x = 0 mod gZ folgt 0 = 1 mod gZ und das ist nur für
g = 1 möglich.
Implikation “ ⇐⇒ ” von 2.: Sei x ′ := x/g. Dann ist x ′ zu N ′ teilerfremd und
daher ist [x ′ ] N ′ ∈ (Z/N ′ Z) × eine Einheit modulo N ′ . Es gilt
xk = 0 mod NZ ⇐⇒ ∃m : x ′ gk = mN ⇐⇒ ∃m : x ′ k = mN ′
und das ist äquivalent zu [x ′ ] N ′[k] N ′ = [0] N ′. Weil [x ′ ] N ′ eine Einheit ist, ist
[x ′ ] N ′[k] N ′ = [0] N ′ seinerseits äquivalent zu [k] N ′ = [0] N ′. □
Ein Element x eines Ringes R heißt Nullteiler, wenn ein y ∈ R mit xy = 0
und y ≠ 0 existiert. Bsp.: In einem Integritätsring ist 0 der einzige Nullteiler.
Folgerung 2.5.2 Jedes Element x ∈ Z/NZ ist entweder eine Einheit oder ein
Nullteiler.
Beweis: Wenn x = [a] ∈ Z/NZ eine Nicht-Einheit ist, dann gilt g > 1 für das
nicht-negative g ∈ ggT(a, N) (vgl. Teil 1. des Satzes). Also gilt N ′ := N/g ∈
{1, · · · , N − 1} und somit [N ′ ] ≠ [0]. Aber [a][N ′ ] = [0] nach Teil 2. des Satzes.
Daher ist x = [a] ein Nullteiler.
□
Algorithmus 2.5.3 (Euklidischer Algorithmus für Inverse in Z/NZ)
Will man entscheiden, ob [x] Einheit in Z/NZ ist, so berechnet man mit dem
euklidischen Algorithmus 2.2.7 das nicht-negative g ∈ ggT(x, N) und Zahlen
u, v ∈ Z mit g = ux + vN.
Wenn g ≠ 1, dann hat [x] kein multiplikatives Inverses. Wenn g = 1, dann ein
ist [x] Einheit und das multiplikative Inverse ist [u], d.h. xu = 1 mod NZ.
Wir setzen ϕ(N) := |(Z/NZ) × |. Nach obigem Satz ist ϕ(N) die Anzahl der zu N
teilerfremden Zahlen im Bereich 1, 2, · · · , N −1. Die Funktion ϕ wird Eulersche
ϕ-Funktion genannt.
7 Der euklidische Algorithmus ist ein effektives Verfahren zu Berechnung von u und v.
40