Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

[a] N := [a] NZ . Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, schreiben wir einfach
[a] statt [a] N . Per Definition gilt
Z/NZ = {[a] : a ∈ Z} = {· · · , [−2], [−1], [0], [1], [2], [3], · · ·}.
Hier sind aber wieder viele Elemente mehrfach aufgelistet:
Bemerkung 2.4.6 Für jedes [a] ∈ Z/NZ existiert genau ein 6 r ∈ {0, · · · , N −
1} mit [a] = [r] gem. 2.4.1. Daher gilt, ohne Mehrfachauflistung geschrieben:
Z/NZ = {[0], · · · , [N − 1]} .
Z/NZ ist ein endlicher, N-elementiger Ring.
Übrigends ist Z/1Z der Nullring und Z/0Z ∼ = Z.
Beispiel: Wir rechnen in dem 6-elementigen Ring Z/6Z. Es gilt
Z/6Z = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]}.
Z.B. gilt in diesem Ring [4] + [2] = [6] = [0]. Ferner gilt [5][5] = [−1][−1] = [1].
Daher hat [5] ein multiplikatives Inverses, d.h. [5] ist eine Einheit in diesem
Restklassenring, [5] ∈ (Z/6Z) × . Es gilt [5] −1 = [5]. Ferner gilt [2] ≠ [0] und
[3] ≠ [0] aber [2][3] = [6] = [0]. Daher ist Z/6Z kein Integritätsring. [2] und [3]
sind Nicht-Einheiten. Auch [4] ist eine Nicht-Einheit, denn [4][1] = [4], [4][2] =
[2], [4][3] = [0], [4][4] = [4], [4][5] = [2]; daher hat [4] kein multiplikatives Inverses
in Z/6Z - es kommt ja nie [1] heraus. Also ist (Z/6Z) × = {[1], [5]}. □
Das “Hexen-Einmaleins” der Ringe Z/NZ ist für die Kryptographie eine wahre
Fundgrube.
2.5 Multiplikative Inverse in Z/NZ.
Sei R ein Ring und a, b ∈ R. Jede Einheit u ∈ R × wird dann sowohl a als auch
b teilen. Man nennt a zu b teilerfremd, wenn es außer den Einheiten keine
gemeinsamen Teiler von a und b gibt; in Formeln: gT (a, b) = R × . Dies ist genau
dann der Fall, wenn 1 ∈ ggT(a, b) gilt.
Sei N ≥ 2 und [a] := a + NZ. Wir betrachten den endlichen, N-elementigen
Ring
Z/NZ = {[0], [1], · · · , [N − 1]}.
Satz 2.5.1 Sei x ∈ Z und g ∈ ggT (x, N) nicht-negativ.
6 r kann durch Division mit Rest berechnet werden.
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