Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Sei wieder (G, +) eine abelsche Gruppe und I eine Untergruppe. Dann bilden
die Restklassen modulo I nach obiger Bemerkung 2.4.3 eine disjunkte Zerlegung
von G, d.h. G = ⋃ M∈G/I M und M ∩ M ′ = ∅ für M ≠ M ′ ∈ G/I. Jede
Zerlegungsmenge hat die selbe Mächtigkeit wie I, d.h. für jede Restklasse [a] I
gilt: Entweder sind [a] I und I beide unendlich oder beide endlich von der selben
Anzahl. Dies liegt an der Existenz einer Bijektion I → [a] I .
Folgerung 2.4.4 Wenn G endlich ist, dann gilt |G| = |I||G/I|. Insbesondere
ist |I| ein Teiler von |G| für jede Untergruppe I.
Satz 2.4.5 Sei (G, +) eine Gruppe und I eine Untergruppe.
1. Auf G/I kann man durch [a] I ⊕ [b] I := [a + b] I eine Addition definieren,
die G/I zu einer abelschen Gruppe macht. Diese Gruppe G/I wird Restklassengruppe
von G modulo I oder Faktorgruppe von G modulo
I genannt.
2. Wenn G ein Ring und I ein Ideal ist, dann kann man auf G/I (zusätzlich
zu der Addition) durch [a] I ⊙ [b] I := [ab] I eine Multiplikation definieren.
G/I wird dadurch zu einem Ring. Dieser wird Restklassenring von G
modulo I genannt.
Beweis: Wir zeigen nur 1. Der Beweis von 2. ist analog zu führen. Wir setzen zur
Abkürzung [a] := [a] I . Da [a] nicht durch a eindeutig bestimmt ist (es kann ja
[a] = [a ′ ] gelten, ohne dass a = a ′ gilt), muß man prüfen, daß die neue Addition
wohldefiniert ist. Nimm an, dass [a] = [a ′ ] und [b] = [b ′ ] gilt. Es ist zu zeigen,
dass dann [a + a ′ ] = [b + b ′ ] gilt 5 . Dies ist aber eine direkte Folgerung von 2.4.2
Es ist klar, dass [0] neutrales Element für die neue Addition ⊕ ist. [−x] ist invers
zu [x] und das Assoziativgesetz vererbt sich von der alten auf die neue Addition.
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Wir schreiben im folgenden wieder + statt ⊕ bzw. · statt ⊙. Sei R ein Ring und
I ein Ideal. Ich empfehle, im folgenden bei [−] I in erster Linie an ein “Symbol”
zu denken, das sich gemäß den Rechenregeln
[a] I = [b] I ⇐⇒ a = b mod I ⇐⇒ b − a ∈ I
[a] I + [b] I = [a + b] I
[a] I · [b] I = [a · b] I
(a, b ∈ R) transformiert. Bei R/I denke man an die “Menge, die aus all diesen
Symbolen besteht”. Es spielt im folgenden nur eine untergeordnete Rolle, daß
[a] I eigentlich eine Teilmenge von R und R/I eine Teilmenge der Potenzmenge
P (R) ist.
Sei N ≥ 1. Wendet man obige Theorie mit dem Ring R = Z und dem Ideal
I = NZ an, so erhält man den Restklassenring Z/NZ. Wir setzen zur Abkürzung
5 Wenn [a+a ′ ] ≠ [b+b ′ ] gelten würde, dann folgte [a ′ +b ′ ] = [a ′ ]⊕[b ′ ] = [a]⊕[b] = [a+b] ≠
[a ′ + b ′ ], d.h. die Definition der neuen Addition würde “in sich widersprüchlich sein”.
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