Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

so gilt x ∈ [a] I ⇐⇒ x = a mod I ⇐⇒ x = b mod I ⇐⇒ x ∈ [b] I für alle
x ∈ G, d.h. [a] I = [b] I .
Zu 2.) Man sieht leicht, dass ϕ wohldefiniert ist, d.h. dass ϕ wirklich nur Werte
in [a] I annimmt. Aus ϕ(x) = ϕ(y) folgt x + a = y + a und dies impliziert x = y.
Somit ist ϕ injektiv. Für jedes z ∈ [a] I gibt es nach der Definition der Menge
[a] I ein x ∈ I mit x + a = z, d.h. mit ϕ(x) = z. Deshalb ist ϕ surjektiv. □
Wir werden im folgenden die Menge aller Restklassen G/I := {[a] I | a ∈ G}
betrachten. [a] I ist bereits eine Teilmenge von G. Daher ist G/I eine Menge von
Mengen.
Wir sagen es noch einmal: Oft sind die Mengen [a] I und [b] I gleich, obwohl
a ≠ b gilt (vgl. Teil 1. obiger Bemerkung). Das ist letzten Endes der
Sinn der Konstruktion. Somit ist die Mächtigkeit von G/I in aller Regel
kleiner als die Mächtigkeit von G. Es kann z.B. vorkommen, dass G unendlich
und G/I endlich ist.
Beispiel: Sei G = (Z, +). Für a ∈ Z sei [a] := [a] 3Z . Es gilt
[0] = 3Z = {· · · , −6, −3, 0, 3, 6, · · ·}.
[1] besteht aus allen Zahlen, die gleich 1 modulo 3Z sind, d.h.
Genauso folgt
[1] = 1 + 3Z = {· · · , −5, −2, 1, 4, 7, · · ·}.
[2] = 2 + 3Z = {· · · , −4, −1, 2, 5, 8, · · ·},
[3] = 3 + 3Z = {· · · , −3, 0, 3, 6, 9, · · ·},
[4] = 4 + 3Z = {· · · , −2, 1, 4, 7, 10, · · ·}
u.s.w. Man sieht, dass [3] = [0], [4] = [1], [5] = [2], [6] = [0], [7] = [1] u.s.w. gilt.
Per Definition ist Z/3Z die Menge aller Restklassen,
Z/3Z = {[a] : a ∈ Z} = {·, [−1], [0], [1], [2], [3], [4], · · ·}.
In dieser Definition einer Menge sind aber (extrem) viele Elemente mehrfach
aufgeführt, was bei der Definiton einer Menge ja nicht verboten ist. Ohne Mehrfachauflistung
geschrieben gilt:
Z/3Z = {[0], [1], [2]},
und das ist eine endliche, 3-elementige Menge.
Auch sieht man, dass die Restklassen [1] und [2], die als Mengen verschieden sind
([1] ≠ [2]), überhaupt kein gemeinsames Element haben: [1]∩[2] = ∅ und ebenso
[0]∩[2] = ∅, [0]∩[1] = ∅. Auch diese Eigenschaft war nach obiger Bemerkung zu
erwarten. Ferner gilt Z = [0] ∪ [1] ∪ [2], da jede ganze Zahl entweder = 0 mod 3Z
oder = 1 mod 3Z oder gleich = 2 mod 3Z ist. Die Restklassen modulo 3Z bilden
also eine disjunkte Zerlegung (oder: Überdeckung) der Ausgangsgruppe Z. Dies
gilt allgemein:
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