Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

2.4 Restklassenringe
Sei (G, +) eine abelsche Gruppe und I ⊂ G eine Untergruppe. Für a, b ∈ G
setzen wir im folgenden a = b mod I (sprich: a ist kongruent b modulo I), wenn
b − a ∈ I gilt. Eine solche Aussage a = b mod I wird Kongruenz genannt.
Durch − = − mod I ist eine Relation auf G gegeben. Auch a ≡ b mod I,
a ≡ b(I) oder a = b(I) statt a = b mod I ist gebräuchlich.
Bemerkung 2.4.1 Sei N ≥ 1 und G := (Z, +) die additive Gruppe des Ringes
Z. Dann ist das Ideal (N) Z = NZ eine Untergruppe von G; sie besteht aus den
durch N teilbaren ganzen Zahlen. Insbesondere gilt x = y mod NZ genau dann,
wenn y − x durch N teilbar ist. Es wird manchmal x = y mod N oder kurz
x = y(N) statt x = y mod NZ geschrieben.
Wenn x ÷ N = q Rest r gilt, dann ist x − r = qN durch N teilbar und es folgt
x = r mod NZ. Zu jedem x ∈ Z gibt es also ein r ∈ {0, 1, · · · , N − 1} mit
x = r mod NZ. Diese Zahl r ist offenbar durch x und N eindeutig bestimmt
und wird der (kleinste nicht-negative) Repräsentant von x modulo NZ
genannt.
Beispiel: In Z gilt 23 = 3 mod 5Z, weil 3 − 23 = −20 durch 5 teilbar ist. 3 ist
auch der kleinste nicht-negative Repräsentant von 23 modulo 3. Genauso gilt
−14 = 1 mod 5Z (beachte: 1 − (−14) = 15 ist ein Vielfaches von 5) und 1 ist
der kleinste Repräsentant von −14 modulo 5.
Es gilt 1214 = 1208 mod 3Z, denn 1208 − 1214 = −6 ist durch 3 teilbar; aber
1208 /∈ {0, 1, 2} ist nicht der kleinste Repräsentant.
Was ist der Repräsentant von 1214 modulo 3Z? Um dies zu beantworten, rechnet
man 1214 ÷ 3 = 403 Rest 2 und erkennt 1214 = 2 mod 3Z. Also ist 2 ∈ {0, 1, 2}
der gesuchte Repräsentant.
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Bemerkung 2.4.2 Sei (G, +) eine abelsche Gruppe, I ⊂ G eine Untergruppe
und x, y, x ′ , y ′ ∈ G.
1. Die Relation − = − mod I ist eine Äquivalenzrelation.
2. Wenn x = y mod I und x ′ = y ′ mod I gilt, dann folgt x+x ′ = y+y ′ mod I.
3. Wenn (G, +) die additive Gruppe eines Ringes (G, +, ·) und I ein Ideal
ist, dann folgt aus x = y mod I und x ′ = y ′ mod I schon xx ′ = yy ′ mod I.
Beweis: Wir verweisen auf die Übung.
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Beispiel: Aus 112 = 2 mod 10Z und 111324 = 4 mod 10Z folgt unter Beachtung
von Teil 3. der obigen Bemerkung 112·111324 = 2·4 = 8 mod 10Z. Auf diese Art
berechnet sich der Repräsentant 8 von 112·111324 modulo 10 leichter, als durch
folgende Rechnung: 112 · 111324 = 12468288 und 12468288 = 8 mod 10. Beim
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