Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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p die einzigen nicht-negativen Teiler von p sind.<br />
Lemma 2.3.1 (Lemma von Bézout) Sei p eine Primzahl <strong>und</strong> a, b ∈ Z. Wenn<br />
p | ab gilt, dann gilt p | a oder p | b.<br />
Dies wird aus Satz 2.5.4 folgen, den wir später beweisen werden. (Natürlich werden<br />
wir die Ergebnisse dieses Abschnittes nicht im Beweis von 2.5.4 benutzen.)<br />
Satz 2.3.2 Zu jeder natürlichen Zahl N ≥ 2 gibt es Primzahlen p 1 , · · · , p t mit<br />
N = p 1 · · · p t . Diese Darstellung als Produkt von Primzahlen ist bis auf die<br />
Reihenfolge der Faktoren eindeutig.<br />
Beweis: Die Existenz der Primfaktorzerlegung zeigen wir durch vollständige<br />
Induktion nach N. Der Fall N = 2 ist klar. Im Induktionsschritt N − 1 → N<br />
zeigen wir, dass N ein Produkt von Primzahlen ist, wenn jede Zahl N ′ mit<br />
2 ≤ N ′ < N als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Falls N eine<br />
Primzahl ist, so sind wir fertig. Falls N nicht prim ist, so kann man N = N ′ N ′′<br />
mit 2 ≤ N ′ , N ′′ < N schreiben <strong>und</strong> sowohl N ′ als auch N ′′ sind nach Induktions-<br />
Hypothese Produkte von Primzahlen. Daher ist N ein Produkt von Primzahlen.<br />
Zur Eindeutigkeit der Darstellung: Gelte N = p 1 · · · p r = q 1 · · · q s mit Primzahlen<br />
p i , q i <strong>und</strong> mit r ≤ s. Wir zeigen durch vollständige Induktion nach s,<br />
daß es eine Bijektion σ : {1, · · · , s} → {1, · · · , r} mit q i = p σ(i) ∀i gibt. Dies<br />
ist klar, wenn s = 1. Sei s ≥ 2. Dann gilt q s | p 1 · · · p r <strong>und</strong> nach dem obigen<br />
Lemma von Bézout gibt es ein k ∈ {1, · · · , r} mit q s | p k , d.h. mit q s = p k . Dann<br />
folgt 3 p 1 · · · ˆp k · · · p r = q 1 · · · q s−1 <strong>und</strong> nach Induktions-Hypothese gibt es eine<br />
Bijektion ˜σ : {1, · · · , r} \ {k} → {1, · · · , s − 1} mit p˜σ(i) = q i ∀1 ≤ i ≤ s − 1.<br />
Die Bijektion σ mit σ(i) = ˜σ(i) für 1 ≤ i ≤ s − 1 <strong>und</strong> mit σ(s) = k leistet das<br />
Gewünschte.<br />
□<br />
Aus algorithmischer Sicht ist das Berechnen der Primfaktorzerlegung sehr zeitaufwändig.<br />
Beispiel: Es gilt 300 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 2 2 · 3 · 5 2 <strong>und</strong> 1750 = 2 · 5 3 · 7. Dies wurde<br />
“durch Probedivision” errechnet.<br />
□<br />
Bemerkung 2.3.3 Seien p 1 , · · · , p t paarweise verschiedene Primzahlen. Sei e 1 , · · · , e t ∈<br />
N <strong>und</strong> f 1 , · · · , f t ∈ N. Sei x = p e1<br />
1 · · · pet t <strong>und</strong> y = p f1<br />
1 · · · pft t .<br />
1. Genau dann gilt x | y, wenn e i ≤ f i für alle i ∈ {1, · · · , t} gilt.<br />
2. g := ∏ t<br />
i=1 pmin(ei,fi)<br />
i ist ein größter gemeinsamer Teiler von x <strong>und</strong> y.<br />
Beispiel: Wir wollen das nicht-negative g ∈ ggT(300, 1750) berechnen. Es gilt<br />
300 = 2 2 · 3 · 5 2 · 7 0 <strong>und</strong> 1750 = 2 · 3 0 · 5 3 · 7. Also folgt g = 2 · 5 2 = 50. □<br />
3 Der Hut bedeutet, daß der entsprechende Faktor ausgelassen wird.<br />
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