Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

vorgehen:
( ) 33
(1) : =
18
(2) :
(3) :
(4) :
( 0 1
1 −1
) ( 51
33
( ) ( ) ( )
18 0 1 33
=
=
( 15 ) 1( −1
)
18
1 −1 51
−1 2 33
( ) ( ) ( )
15 0 1 18
=
=
( 3 ) 1( −1)
15
−1 2 51
2 −3 33
( ) ( ) ( )
3 0 1 15
=
=
( 0 1) ( −5 ) 3
2 −3 51
−11 17 33
)
( 0 1
1 −1
( 0 1
1 −1
( 0 1
1 −5
) 2 ( 51
33
)
=
) ( 1 −1
−1 2
) ( −1 2
2 −3
) ( 51
33
) ( 51
33
)
=
)
=
Daraus folgt (51, 33) Z = (3) Z und die erste Zeile der letzten Matrix-Gleichung
liefert 3 = 2 · 51 − 3 · 31.
□
Algorithmus 2.2.7 (Euklidischer Algorithmus)
Eingabe: x, y ∈ R.
Initialisierung: a = x, b = y, M :=
( 1 0
0 1
Schleife: While b ≠ 0 do { Berechne ( q, r mit a ) ÷ b = q Rest r.
0 1
Überschreibe: a := b, b := r, M :=
M. }
1 −q
Ausgabe: (a, M[1, 1], M[1, 2]). Dann gilt (a) R = (x, y) R , a ∈ ggT(x, y) und a =
M[1, 1]x + M[1, 2]y.
( ) a
Man beachte, daß nach jedem Schleifendurchlauf (a) R = (x, y) R und =
( )
b
x
M gilt. Da der Betrag von b bei jedem Durchgang um mindestes 1 absinkt,
wird die while-Schleife spätestens nach |y| Schritten
y
verlassen.
)
.
2.3 Primfaktorzerlegung
Eine natürliche Zahl p ≥ 2 heißt Primzahl genau dann, wenn für x, y ∈ N aus
p = xy schon x = 1 oder x = p folgt. Das ist genau dann der Fall, wenn 1 und
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