Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Mit anderen Worten: Die Hauptidealerzeuger von (a, b) R sind genau die größten
gemeinsamen Teiler von a und b.
Beweis: Wenn (a, b) R = (g) R gilt, dann muß g ∈ ggT(a, b) nach 2.1.7 gelten.
Wir beweisen die andere Implikation. Sei g ∈ ggT (a, b). Da R nach Voraussetzung
ein Hauptidealring ist, muss ein h ∈ R mit (a, b) R = (h) R existieren. Nach
2.1.7 ist h (wie auch g) ein ggT von a und b. Es folgt h | g und g | h, also
(g) R = (h) R = (a, b) R .
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Folgerung 2.2.5 Sei R ein Hauptidealring. Dann haben je zwei Elemente a, b ∈
R einen größten gemeinsamen Teiler.
Sei (R, ‖ ‖) ein euklidischer Ring. Wir schildern nun den euklidischen Algorithmus,
der folgendes leistet:
1. Berechnung eines größten gemeinsamen Teilers g zweier Elemente a und
b. Das Verfahren ist so effizient, dass es ggT(a, b) sogar in Fällen schnell
berechnen kann, in denen es aus Laufzeitgründen nicht mehr möglich ist,
a und b in Primfaktoren zu zerlegen!
2. Berechnung von Elementen u, v ∈ R mit au + bv = g.
Lemma 2.2.6 Sei a, b ∈ R mit b ≠ 0. Sei a ÷ b = q Rest r. Dann gilt 2 :
a) (a, b) R = (b, r) R .
( ) ( ) ( b 0 1 a
b) =
r 1 −q b
)
.
Beweis: Aus a ÷ b = q Rest r folgt a = qb + r und diese Formel erkennt a als
Linearkombination von b und r, d.h. a ∈ (b, r) R . Da offenbar auch b ∈ (b, r) R
gilt, folgt (a, b) R ⊂ (b, r) R .
Für die umgekehrte Inklusion ist b ∈ (a, b) R (dies ist aber klar!) und r ∈ (a, b) R
zu zeigen. Die Gleichung a = qb + r kann man zu r = a + (−q)b umstellen, und
dies zeigt r ∈ (a, b) R .
Die Matrixgleichung ist offensichtlich erfüllt.
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Wir führen den euklidischen Algorithmus an einem Beispiel vor.
( ) a 2 Beachte: (a, b) R ⊂ R ist ein Ideal und ∈ R
b
2 ein Vektor.
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