Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

2. Genau dann gilt (a 1 , · · · , a n ) R ⊂ (b 1 , · · · , b m ) R , wenn sich jedes a i als
Linearkombination der b j mit Koeffizienten in R schreiben läßt.
3. Die Idealformel (a) R ⊂ (b) R ist äquivalent zu b | a.
Beweis. Zu 1.) Wenn alle a i in I liegen, dann gilt nach der Idealeigenschaft 2.1.5
r i a i ∈ R für alle r i ∈ R. Wieder nach 2.1.5 ist I aber auch unter Summenbildung
abgeschlossen und daher gilt r 1 a 1 + · · · + r n a n ∈ I für jede Wahl der r i ∈ R.
Daher enthält I jede Linearkombination der a i mit Koeffizienten in R, also jedes
Element von (a 1 , · · · , a n ) R . Die anderen Aussagen folgen leicht aus 1.) und den
Definitionen.
Beispiel: Wir zeigen, dass (2) Z = (6, 10) Z gilt.
“⊂” Durch 2 = 7 · 6 + (−4) · 10 wird 2 als Linearkombination aus 6 und 10
erkannt, d.h. 2 ∈ (6, 10) Z . Mit Teil 1. von 2.1.6 folgt (2) Z ⊂ (6, 10) Z .
“⊃” Um (2) Z ⊃ (6, 10) Z zu zeigen, reicht es nach 2.1.6 6 ∈ (2) Z und 10 ∈ (2) Z
zu zeigen. Das ist aber klar, da (2) Z = {2r|r ∈ Z} die Menge der geraden Zahlen
ist.
Die Idealformel (2) Z = (6, 10) Z stellt in bündiger Weise die folgende arithmetische
Information dar: Die Zahlen der Form 6n + 10m (vgl. das vorige Bsp.) sind
genau die geraden Zahlen.
Satz 2.1.7 Sei a, b, g ∈ R. Wenn (a, b) R = (g) R gilt, dann muss g ein größter
gemeinsamer Teiler von a und b sein.
Beweis: Es gelte die Idealformel (a, b) R = (g) R . Dann folgt a ∈ (g) R und b ∈
(g) R , d.h. g | a und g | b. Daher ist g ein gemeinsamer Teiler von a und b.
Ferner folgt aus der Idealformel, dass g ∈ (a, b) R gilt. D.h. es gibt u, v ∈ R mit
g = au+bv. Wenn ˜g ein weiterer gemeinsamer Teiler von a und b ist, dann muss
˜g (nach 2.1.4.5) auch den Ausdruck au + bv = g teilen . Daher ist g in der Tat
größter gemeinsamer Teiler von a und b.
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2.2 Euklidischer Algorithmus
Im Ring Z kann man Divisionen mit Rest durchführen. Ein euklidischer Ring
ist grob gesprochen ein Ring, in dem Divisionen mit Rest immer möglich sind:
Definition 2.2.1 Ein euklidischer Ring ist ein Paar (R, ‖ ‖) bestehend aus
einem Integritätsring R und einer Abbildung ‖ ‖ : R → N mit ‖x‖ = 0 ⇐⇒
x = 0 derart, dass folgendes gilt:
Zu a, b ∈ R mit b ≠ 0 existieren q, r ∈ R mit a = qb + r und ‖r‖ < ‖b‖.
Wir schreiben oft “a ÷ b = q Rest r” statt “a = qb + r und ‖r‖ < ‖b‖”.
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