Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

von a und b genannt, wenn g ein größtes Element (bez. der Teilbarkeitsrelation
|) der Menge der gemeinsamen Teiler gT (a, b) ist. Explizit: Genau dann ist g
ein größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn g ein gemeinsamer Teiler von
a und b ist und g von jedem anderen gemeinsamen Teiler g ′ ∈ gT (a, b) geteilt
wird.
Wenn g und ˜g zwei größte gemeinsame Teiler von a und b sind, dann muss g zu ˜g
assoziiert sein. Wir schreiben ggT (a, b) für die Menge der größten gemeinsamen
Teiler von a und b.
Für ganze Zahlen a, b ∈ Z werden wir im nächsten Abschnitt sehen, dass zu a
und b immer ein größter gemeinsamer Teiler g existiert und dann ist im Sinne
obiger Definition auch −g ein größter gemeinsamer Teiler von a und b. Weitere
größte gemeinsame Teiler von a und b gibt es nicht. Natürlich könnte man hier
vereinbaren, dass immer der nichtnegative ggT zu bevorzugen ist; eine solche
Voschrift will ich aber nicht treffen - sie hätte ohnehin nur im Spezialfall R = Z
Sinn.
Beispiel: Wir arbeiten nun in Z. Sei a = −18 und b = 12. Die Menge der
gemeinsamen Teiler von a und b ist gT (−18, 12) = {1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6}.
Daher ist 6 ∈ ggT (−18, 12) aber auch −6 ∈ ggT (−18, 12). Die Zahl −3 ist zwar
ein gemeinsamer Teiler von −18 und 12, aber kein größter gemeinsamer Teiler
dieser beiden Zahlen.
Idealtheorie
Definition 2.1.5 Sei R ein Ring. Eine Teilmenge I ⊂ R wird Ideal genannt,
wenn I abgeschlossen ist bez. der Addition + (d.h. x + y ∈ I für alle x, y ∈ I)
und rx ∈ I für alle r ∈ R und alle x ∈ I gilt 1 .
Für a ∈ R sei (a) R := Ra := {ra | r ∈ R} die Menge der durch a teilbaren
Elemente von R. Dann ist (a) R ein Ideal nach 2.1.4.5. Man nennt (a) R das von
a erzeugte Hauptideal. Allgemeiner sei für a 1 , · · · , a n ∈ R sei
(a 1 , · · · , a n ) R := {r 1 a 1 + · · · r n a n | r i ∈ R beliebig}
die Menge aller Linearkombinationen der a i mit Koeffizienten in R. Man sieht
leicht, dass auch (a 1 , · · · , a r ) R ein Ideal ist.
Beispiel: In jedem Ring R ist {0} und auch R ein Ideal.
Das Hauptideal (2) Z von Z besteht aus den geraden Zahlen, (2) Z = {0, 2, −2, 4, −4, · · ·}.
Das Ideal (6, 10) Z von Z besteht aus allen Zahlen von der Form 6n + 10m mit
n, m ∈ Z. Z.B. liegt 7 · 6 + (−4) · 10 = 2 in diesem Ideal: 2 ∈ (6, 10) Z .
Bemerkung 2.1.6 Sei R ein Ring und I ein Ideal. Seien a i , b j , a, b ∈ R.
1. Genau dann gilt (a 1 , · · · , a n ) R ⊂ I, wenn alle a i in I liegen.
1 Beachte: rx ∈ I wird verlangt für alle r ∈ R, x ∈ I; nicht nur für r, x ∈ I
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