Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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von a <strong>und</strong> b genannt, wenn g ein größtes Element (bez. der Teilbarkeitsrelation<br />
|) der Menge der gemeinsamen Teiler gT (a, b) ist. Explizit: Genau dann ist g<br />
ein größter gemeinsamer Teiler von a <strong>und</strong> b, wenn g ein gemeinsamer Teiler von<br />
a <strong>und</strong> b ist <strong>und</strong> g von jedem anderen gemeinsamen Teiler g ′ ∈ gT (a, b) geteilt<br />
wird.<br />
Wenn g <strong>und</strong> ˜g zwei größte gemeinsame Teiler von a <strong>und</strong> b sind, dann muss g zu ˜g<br />
assoziiert sein. Wir schreiben ggT (a, b) für die Menge der größten gemeinsamen<br />
Teiler von a <strong>und</strong> b.<br />
Für ganze Zahlen a, b ∈ Z werden wir im nächsten Abschnitt sehen, dass zu a<br />
<strong>und</strong> b immer ein größter gemeinsamer Teiler g existiert <strong>und</strong> dann ist im Sinne<br />
obiger Definition auch −g ein größter gemeinsamer Teiler von a <strong>und</strong> b. Weitere<br />
größte gemeinsame Teiler von a <strong>und</strong> b gibt es nicht. Natürlich könnte man hier<br />
vereinbaren, dass immer der nichtnegative ggT zu bevorzugen ist; eine solche<br />
Voschrift will ich aber nicht treffen - sie hätte ohnehin nur im Spezialfall R = Z<br />
Sinn.<br />
Beispiel: Wir arbeiten nun in Z. Sei a = −18 <strong>und</strong> b = 12. Die Menge der<br />
gemeinsamen Teiler von a <strong>und</strong> b ist gT (−18, 12) = {1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6}.<br />
Daher ist 6 ∈ ggT (−18, 12) aber auch −6 ∈ ggT (−18, 12). Die Zahl −3 ist zwar<br />
ein gemeinsamer Teiler von −18 <strong>und</strong> 12, aber kein größter gemeinsamer Teiler<br />
dieser beiden Zahlen.<br />
Idealtheorie<br />
Definition 2.1.5 Sei R ein Ring. Eine Teilmenge I ⊂ R wird Ideal genannt,<br />
wenn I abgeschlossen ist bez. der Addition + (d.h. x + y ∈ I für alle x, y ∈ I)<br />
<strong>und</strong> rx ∈ I für alle r ∈ R <strong>und</strong> alle x ∈ I gilt 1 .<br />
Für a ∈ R sei (a) R := Ra := {ra | r ∈ R} die Menge der durch a teilbaren<br />
Elemente von R. Dann ist (a) R ein Ideal nach 2.1.4.5. Man nennt (a) R das von<br />
a erzeugte Hauptideal. Allgemeiner sei für a 1 , · · · , a n ∈ R sei<br />
(a 1 , · · · , a n ) R := {r 1 a 1 + · · · r n a n | r i ∈ R beliebig}<br />
die Menge aller Linearkombinationen der a i mit Koeffizienten in R. Man sieht<br />
leicht, dass auch (a 1 , · · · , a r ) R ein Ideal ist.<br />
Beispiel: In jedem Ring R ist {0} <strong>und</strong> auch R ein Ideal.<br />
Das Hauptideal (2) Z von Z besteht aus den geraden Zahlen, (2) Z = {0, 2, −2, 4, −4, · · ·}.<br />
Das Ideal (6, 10) Z von Z besteht aus allen Zahlen von der Form 6n + 10m mit<br />
n, m ∈ Z. Z.B. liegt 7 · 6 + (−4) · 10 = 2 in diesem Ideal: 2 ∈ (6, 10) Z .<br />
Bemerkung 2.1.6 Sei R ein Ring <strong>und</strong> I ein Ideal. Seien a i , b j , a, b ∈ R.<br />
1. Genau dann gilt (a 1 , · · · , a n ) R ⊂ I, wenn alle a i in I liegen.<br />
1 Beachte: rx ∈ I wird verlangt für alle r ∈ R, x ∈ I; nicht nur für r, x ∈ I<br />
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