Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

4. Wir werden später für das Rechnen modulo N die Restklassenringe Z/NZ
definieren und zeigen, dass Z/NZ für nicht-primes N ≥ 2 kein Integritätsring
ist. Für eine Primzahl p ist Z/pZ ein Körper.
Teilbarkeitstheorie
Sei R ein Integritätsring. Man darf beim ersten Lesen R = Z annehmen. Sei
a, b ∈ R. Man nennt a einen Teiler von b bzw. b ein Vielfaches von a (in
Formeln: a | b), wenn ein r ∈ R mit ar = b existiert. (Z.B. gilt in Z: 3 ist
ein Teiler von 12 (d.h. 3 | 12), weil 3 · 4 = 12 gilt. Aber auch −3 ist wegen
(−3)(−4) = 12 ein Teiler von 12; in Formeln: (−3) | 12.)
Bemerkung 2.1.4 Durch | wird eine Relation auf den Elementen von R definiert.
1. Diese Relation ist reflexiv: Es gilt a | a für alle a ∈ R. Sie ist auch
transitiv: Wenn a ein Teiler von b und b ein Teiler von c ist, dann ist
a ein Teiler von c. Die Relation | ist nicht antisymmetrisch, also keine
partielle Ordnung (siehe aber 2.).
2. Wir nennen zwei Elemente a, b ∈ R zueinander assoziiert (in Formeln:
a ∼ b), wenn a|b und b|a gilt. Genau dann ist a zu b assoziiert, wenn eine
Einheit u ∈ R × mit au = b existiert. (Beispiel: Zwei Zahlen a, b ∈ Z sind
genau dann zueinander assoziiert, wenn sie bis auf evtl. das Vorzeichen
gleich sind, d.h. genau dann, wenn |a| = |b| gilt. Das liegt daran, dass
Z × = {1, −1} ist.)
3. Das Nullelement 0 wird von jedem anderen Element von R geteilt, d.h. es
gilt a | 0 für alle a ∈ R.
4. Ist w ∈ R × eine Einheit, so teilt w jedes andere Element a ∈ R.
5. Aus x | a und x | b folgt x | (a + b). Aus x | a folgt x | ab für alle b.
Beweis. Zu 3.) Wir zeigen: a | b und b | a ⇐⇒ ∃u ∈ R × : au = b.
“⇐”: Gelte au = b mit einer Einheit u. Dann folgt sofort a | b. Multipliziert
man die Gleichung au = b mit u −1 (u −1 existiert, weil u eine Einheit ist), so
erhält man a = bu −1 , also b | a.
“⇒”: Gelte a | b und b | a. Dann gibt es u, v ∈ R mit au = b und bv = a. Wenn
b = 0 gilt, so muss auch a = 0 sein und dann gilt a · 1 = b. Nehme b ≠ 0 an. Wir
zeigen, dass u Einheit ist. (Dann sind wir wg. au = b fertig.) Sezte a = bv in
b = au ein. Es folgt b = au = bvu. Da R ein Intgritätsring war und b ≠ 0 gilt,
darf man b kürzen (vgl. 2.1.3). Es folgt vu = 1. Daher ist u ∈ R × .
Die anderen Aussagen sind einfacher und wir überlassen sie dem Leser als
Übungsaufgabe.
□
Für a, b ∈ R sei gT (a, b) = {x ∈ R : x | a und x | b} die Menge der gemeinsamen
Teiler von a und b. Ein Element g ∈ R wird ein größter gemeinsamer Teiler
27