Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Kapitel 2
Elementare Zahlentheorie
2.1 Algebraische Grundbegriffe
Wir beginnen mit einigen algebraischen Grundbegriffen wie “Gruppe”, “Ring”
und “Körper”. Vieles davon wird aus anderen Vorlesungen bekannt sein. Die
folgenden Definitionen sind nicht schwer; man sollte ihren Inhalt aber wirklich
im Detail auswendig parat haben.
Definition 2.1.1 1. Ein Monoid ist ein Tupel (M, ◦, e) (kurz: M statt (M, ◦, e))
bestehend aus einer Menge M, einer assoziativen Verknüpfung ◦ : M ×
M → M und einem Element e ∈ M mit e ◦ x = x = x ◦ e für alle x ∈ M.
Das Element e wird neutrales Element der Verknüpfung ◦ genannt.
2. Eine Gruppe ist ein Monoid (G, ◦, e), in dem zu jedem x ∈ G ein y ∈ G
existiert mit x◦y = e = y◦x. Das Element y ist durch x eindeutig bestimmt
und wird inverses Element zu x genannt.
3. Ein Monoid (M, ◦, e) wird kommutativ oder abelsch genannt, wenn
seine Verknüpfung kommutativ ist, d.h. wenn x◦y = y◦x für alle x, y ∈ M
gilt.
In einer Gruppe, deren Verknüpfung mit · bezeichnet ist, sind e oder 1 gebräuchliche
Bezeichnungen für das neutrale Element und das zu x ∈ G inverse
Element wird mit x −1 bezeichnet. Es ist unüblich, die Verknüpfung in einer
nicht-kommutativen Gruppe mit + zu bezeichnen. Wenn G eine kommutative
Gruppe mit Verknüpfung + ist, dann ist es üblich, das neutrale Element mit o
oder 0 zu bezeichnen und für das zu x ∈ G inverse Element −x zu schreiben.
Bemerkung und Definition 2.1.2 1. Ein Ring ist ein Tupel (R, +, ·, 0, 1)
bestehend aus einer Menge R, zwei Verknüpfungen +, · : R × R → R und
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