Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

a) Wenn σ ∈ S(X) und η ∈ S(X) disjunkte Zyklen sind, dann gilt 17 σ ◦ η =
η ◦ σ.
b) Jede Permutation σ ∈ S(X) kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben
werden. Die Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Zyklen
(und bis auf das Hinzufügen bzw. Weglassen von Einerzyklen) eindeutig.
Sei (s 1 , · · · , s t ) ∈ N t ein Vektor mit s 1 ≥ · · · ≥ s t > 1. Wir sagen σ ∈ S(X)
ist von der Zyklenstruktur 18 (s 1 , · · · , s t ), wenn σ als Produkt von disjunkten
Zyklen der Längen s 1 , · · · , s t geschrieben werden kann.
Beispiel: Um die Permutation σ aus obigem Beispiel als Produkt von disjunkten
Zyklen zu schreiben, kann man nach folgendem Muster vorgehen:
A σ → C σ → E σ → A, d.h. der Zykel (A, C, E) kommt vor.
B σ → G σ → F σ → D σ → B, d.h. der Zykel (B, G, F, D) kommt vor.
Also gilt σ = (B, G, F, D)(A, C, E) und σ ist von der Zyklenstruktur (4, 3).
Wir zerlegen nun η (vgl. obiges Bsp.) in ein Produkt disjunkter Zyklen:
A σ → B σ → A, d.h. die Transposition (A, B) kommt vor.
C σ → D σ → C, d.h. (C, D) kommt vor.
E σ → F σ → E, d.h. (E, F ) kommt vor.
Also gilt η = (A, B)(C, D)(E, F ) und diese Permutation hat Zyklenstruktur
(2, 2, 2). □
Eine Permutation vom Typ (2, 2, · · · , 2) ist ein Produkt von disjunkten Transpositionen
und daher involutorisch.
Wir führen nun eine Notation ein, die bei der Diskussion der Chiffriermaschine
Enigma im nächsten Abschnitt sehr nützlich sein wird. Sei X eine Menge. Für
σ, τ ∈ S(X) sei
σ τ := τ −1 ◦ σ ◦ τ.
Man sagt: “σ wird mit τ konjugiert.” Für σ ∈ S(X) und n ∈ N soll die übliche
Definition
σ n = σ ◦ · · · ◦ σ
} {{ }
n−mal
nach wie vor in Kraft sein; es kommt also darauf an, ob der Exponent eine
Permutation oder eine natürliche Zahl ist.
Bemerkung 1.4.2 Sei σ, η, τ ∈ S(X).
a) Es gilt (σ η ) τ = σ η◦τ und (σ ◦ η) τ = σ τ ◦ η τ .
b) Sei x ∈ X. Wenn x Fixpunkt von σ ist, dann ist η −1 (x) Fixpunkt von σ η .
Für den Beweis verweisen wir auf die Übungen. Der folgende allgemeine Satz
über Permutationen wurde mehrfach plakativ “The Theorem that won World
17 Vorsicht: Für nicht-disjunkte Zyklen gilt oft ση ≠ ησ.
18 Das ist in dieser Form nicht Standardterminologie.
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