Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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1.4 Permutationen <strong>und</strong> monoalphabetische Substitution<br />
Wir beginnen diesen Abschnitt mit einem “Steilkurs zu Permutationen” <strong>und</strong><br />
gehen dann kurz auf die Verschlüsselung durch monoalphabetische Substitution<br />
ein. Einige Gr<strong>und</strong>lagen zu Permutationsgruppen werden aus anderen Vorlesungen<br />
bekannt sein; wir konzentrieren uns auf Resultate, die im folgenden<br />
besonders wichtig sind, insbesondere für das Verständnis der Chiffriermaschine<br />
Enigma, der wir uns dann im nächsten Abschnitt zuwenden.<br />
Sei X eine Menge <strong>und</strong><br />
S(X) := {σ : X → X | σ ist bijektiv}.<br />
Sei σ ∈ S(X). Ein Element x ∈ X heißt Fixpunkt von σ, wenn σ(x) = x gilt. σ<br />
heißt fixpunktfrei, wenn σ(x) ≠ x für alle x ∈ X gilt. σ heißt involutorisch,<br />
wenn σ◦σ(x) = x für alle x ∈ X gilt. Genau dann ist σ involutorisch, wenn σ mit<br />
seiner Umkehrabbildung übereinstimmt, d.h. wenn σ = σ −1 gilt. Involutorische<br />
Permutationen spielen in der <strong>Kryptographie</strong> eine gewisse Rolle.<br />
Beispiel: Sei X = {A, B, C, D, E, F, G}. Wir geben σ, η ∈ S(X) “in Tabellenform”<br />
an:<br />
( ) ( )<br />
A B C D E F G<br />
A B C D E F G<br />
σ =<br />
, η =<br />
.<br />
C G E B A D F<br />
B A D C F E G<br />
η hat Fixpunkt G, während σ fixpunktfrei ist. σ ist wegen σ ◦ σ(A) = σ(C) =<br />
E ≠ A nicht involutorisch. η hingegen ist involutorisch.<br />
□<br />
Für x 1 , · · · , x n ∈ X paarweise verschieden bedeutet die Notation 16<br />
σ := (x 1 , · · · , x n ),<br />
daß σ ∈ S(X) die Elemente x 1 , · · · , x n zyklisch permutiert <strong>und</strong> die anderen<br />
Elemente von X festläßt; in Formeln: σ(x i ) = x i+1 für i ∈ {1, · · · , n − 1},<br />
σ(x n ) = x 1 <strong>und</strong> σ(x) = x für x ∈ X \{x 1 , · · · , x n }. Die Bijektion σ = (x 1 , · · · x n )<br />
verfährt also gem. dem Muster<br />
x 1<br />
σ<br />
→ x2<br />
σ<br />
→ · · ·<br />
σ<br />
→ xn−1<br />
σ<br />
→ xn<br />
σ<br />
→ x1 .<br />
Eine solche Permutation wird n-Zykel genannt. Die 2-Zyklen heißen Transpositionen;<br />
sie vertauschen zwei Elemente <strong>und</strong> lassen den Rest fest. Die Einerzyklen<br />
(x) sind die Identität. Zwei Zyklen σ = (x 1 , · · · , x s ) <strong>und</strong> η = (y 1 , · · · , y t )<br />
werden disjunkt genannt, wenn {x 1 , · · · , x s } ∩ {y 1 , · · · , y t } = ∅. Der folgende<br />
Satz ist sicher aus der linearen Algebra geläufig.<br />
Satz 1.4.1 Sei X eine endliche Menge.<br />
16 Diese Notation ist m.E. nicht ideal, aber sie ist Standard. Ob mit (x 1 , ·, x n) ein Vektor<br />
oder der entsprechende n-Zykel (d.h. eine gewisse Bijektion, also ganz etwas anderes) gemeint<br />
ist, muß aus dem Kontext eindeutig hervorgehen.<br />
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