Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

φ-Index
Sei X = x 1 x 2 · · · x N ein Text der Länge N über A. Für x ∈ A sei h x (X ) die
Häufigkeit des Buchstabens x in X . (Beispiel: h L (HALLOARNOLD) = 3.)
Die Zahl
1 ∑
φ(X ) :=
h x (X )(h x (X ) − 1)
N(N − 1)
x∈A
wird φ-Index von X genannt.
Man kann beweisen: Für einen Zufallstext X = (x 1 , · · · x N ) (d.h. die x i sind
unabhängige und jeweils gleichverteilte Zufallsvariablen) ist der Erwartungswert
von φ(X ) ungefähr 0.03.
Empirische Untersuchungen zeigen, dass für längere Texte in einer natürlichen
Sprache (und auch für Teiltexte eines solchen Textes) der φ-Index viel höher
ausfällt, z.B. φ(X ) ≈ 0.07 für längere deutsche Texte. Dies kann man zur Kryptoanalyse
der Schlüssellänge einer Vigenère-Chiffre verwenden.
Man beachte im folgenden: Wenn Y ein Caesar-Chiffrat von X ist, dann gilt 13
φ(X ) = φ(Y).
Kryptoanalyse der Schlüssellänge der Vigenère-Chiffre (Friedman-
Test)
Sei Y ein Vigenère-Chiffrat zu einem deutschen Klartext; die Schlüssellänge s
sei unbekannt. Sei
φ (k) (Y) = 1 k∑
φ(Y j,k )
k
der Mittelwert der φ-Werte der Teiltexte zur Sprungweite k. Für k = s ist jeder
dieser Teiltexte Y 1,s · · · Y s,s ein Caesar-Chiffrat eines Teiltextes eines deutschen
Textes. Also wird φ (s) (Y) ≈ 0, 07 gelten.
Für k ∈ {1, · · · , s − 1} werden sich die Texte Y 1,k · · · Y k,k mehr wie Zufallstexte
verhalten; also wird φ (k) (Y) in der Nähe 14 von 0.03 liegen.
j=1
Zur Bestimmung von s berechnet 15 man also den φ-Vektor
(φ (1) (Y), φ (2) (Y), φ (3) (Y), · · ·).
Hier ist üblicherweise eine Periodizität erkennbar und die Position des ersten
signifikanten Maximums ist die vermutete Schlüssellänge.
13 in der obigen Summe treten die Summanden nur in anderer Reihenfolge auf
14 in meinen Experimenten meist ≤ 0, 05
15 Man verwende einen Computer, um die vielen Schlangentexte auszuzählen!
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