Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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Bevor wir zur Kryptoanalyse der Vigenère-Chiffre kommen, benötigen wir eine<br />
Definition. Sei X = x 1 x 2 · · · ein Text über A. Für r, s ∈ N wird<br />
X r,s = x r x r+s x r+2s x r+3s · · ·<br />
Teiltext von X mit Beginn r <strong>und</strong> Sprungweite s genannt. Geht Y aus<br />
X durch eine s-Vigenère-Chiffrierung mit Schlüssel (k 1 , · · · , k s ) hervor, so ist<br />
Y r,s ein Caesar-Chiffrat von X r,s : Jeder Buchstabe in X r,s ist mit der selben<br />
Rotationsabbildung verschlüsselt, <strong>und</strong> zwar mit rot kr .<br />
Beispiel: Sei X = KLEOP AT RAIST KOENIGIN. Die Teiltexte X 1,3 , X 2,3 ,<br />
X 3,3 kann man gewinnen, in dem man den Text X “schlangenförmig” in s = 3<br />
Zeilen schreibt:<br />
Verschlüsselt man X mit k = (1, 2, 3)<br />
X 1,3 = K O T I K N I<br />
X 2,3 = L P R S O I N<br />
X 3,3 = E A A T E G<br />
Klartext K L E O P A T R A I S T K O · · ·<br />
⊕ Schlüssel 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 · · ·<br />
Geheimtext L N H P R D U T D J U W L Q · · ·<br />
so sieht man, daß X i,3 mit k i verschlüsselt wird.<br />
1.3 Kryptoanalyse der Vigenère-Chiffre durch<br />
Häufigkeitsanalyse<br />
Nehmen wir an, der Geheimtext Y = y 1 · · · y N ist mit dem s-Vigenère-Verfahren<br />
verschlüsselt worden, wobei die Schlüssellänge s bekannt <strong>und</strong> viel kleiner 12 als<br />
N ist. Wir wollen den Schlüssel (k 1 , · · · , k s ) bestimmen.<br />
In einer natürlichen Sprache kommen die Buchstaben nicht mit der gleichen relativen<br />
Häufigkeit vor. Z.B. ist in hinreichend langen deutschen Texten (<strong>und</strong> auch<br />
in Teiltexten von deutschen Texten) E der häufigste Buchstabe (rel. Häufigkeit<br />
ca. 13%) gefolgt von N (7.5%) <strong>und</strong> I (6%). Diesen Umstand macht man sich zu<br />
Nutze.<br />
Man ermittelt die Teiltexte Y 1,s , · · · , Y s,s zur Sprungweite s. Jedes Zeichen des<br />
Teiltextes Y r,s ist mit der selben Shift-Abbildung rot kr verschlüsselt worden.<br />
Wenn nun x der häufigste Buchstabe in Y r,s ist, so wird vermutlich x = rot kr (E)<br />
gelten <strong>und</strong> aus einer solchen Gleichung läßt sich k r bestimmen: Ist z.B. G der<br />
häufigste Buchstabe in Y 1,s , so würde ich vermuten, dass k 1 = 2 gilt, denn G<br />
kommt im Alphabet 2 Positionen nach E. Wenn in Y 2,s der häufigste Buchstabe<br />
D ist, so legt das den Verdacht k 2 = 25 nahe. So fortfahrend kann man<br />
versuchen, den gesamten Schlüssel zu gewinnen.<br />
□<br />
12 vielleicht s = 5 <strong>und</strong> N = 200<br />
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