Zur Grobplanung:
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<strong>Zur</strong> <strong>Grobplanung</strong>: <br />
Wir haben versucht, jeweils zwei verschiedene Zugänge zu wählen, Sinus, Cosinus und Tangens <br />
einzuführen. An diese verschiedenen Einführungen sollte sich dann eine einheitliche Planung des <br />
folgenden Unterrichtes anschließen. <br />
Wir haben erkannt, dass ein einheitlicher Anschluss an die beiden Wege aber nicht gelungen ist. <br />
Trotzdem werde ich nun einen groben Verlauf darstellen, der in etwa eine Verwirklichung unserer <br />
Planung darstellen würde. Eventuell kann es dabei thematisch zu Wiederholungen hinsichtlich der <br />
vorgestellten Einführungen kommen. Dennoch kann dieser Teil nicht entfallen, da wenigstens <br />
erwähnt werden sollte, welchen Inhalt man in der Schule durchmachen sollte. <br />
Nun soll also der in der PowerPoint-‐Präsentation skizzierte Teil noch etwas erläutert und <br />
ausformuliert werden: <br />
Nach der Einführung sollten folgende inhaltlichen Schwerpunkte gemacht werden: <br />
1. Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck <br />
2. Berechnungen im allgemeinen Dreieck <br />
3. Sinussatz (Aufgaben) <br />
4. Cosinussatz (Aufgaben) <br />
5. Höhen und Tiefenwinkel, Textaufgaben <br />
6. Allgemeine Anwendungen <br />
7. Schularbeit <br />
Die Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck können hier ausgeklammert werden, da sie im Zuge <br />
der Polarkoordinaten bereits erfolgten. Nun einige Vorschläge, die genannten Punkte zu gestalten: <br />
Berechnungen in allgemeinen Dreiecken <br />
Bei Berechnungen im gleichschenkeligen Dreieck ist den SchülerInnen natürlich die Methodik des <br />
Teilens eines Dreieckes in zwei rechtwinkelige Dreiecke nahezubringen, da diese ein gutes Werkzeug <br />
ist, um Berechnungen durchzuführen. Weiters wird auch bei der Herleitung des Sinussatzes und <br />
Cosinussatzes darauf zurückgegriffen. Zuerst kann man diese Methodik an gleichschenkeligen <br />
Dreiecken anwenden, da sich die Rechnungen dort meist leichter gestalten. Danach kann man <br />
bestimmte gleichmäßige geometrische Figuren behandeln (Deltoid) und schon in Hinblick auf den <br />
Sinussatz Berechnungen in beliebigen Dreiecken anstellen, somit kommen auch mehr geometrische <br />
Figuren in Frage, anhand denen man Fragestellungen entwickeln kann. Besonders wichtig ist, dass <br />
nicht nur rein abstrakte Aufgaben gestellt werden, sondern durchgehend Textaufgaben gestellt <br />
werden. Somit soll nicht rein mechanisches Anwenden von Formeln im Mittelpunkt stehen, sondern <br />
hauptsächlich das Interpretieren eines Textes und dessen Darstellung in mathematischen <br />
Ausdrücken/Gleichungen. <br />
Sinussatz und Cosinussatz: Nach der Herleitung sollen jeweils kurze Aufgaben zur Einübung der <br />
Anwendung erfolgen. Ein Schwerpunkt sollte in einer Übungsstunde auf gemischte (Text)aufgaben <br />
gelegt werden, da das wohl wichtigste ist, unterscheiden zu können, wann welcher Satz angewendet <br />
werden kann, beziehungsweise deren Verwendung auch nicht sinnvoll ist, da es einfacher geht. <br />
Zum Beweis (Beweis wird im Folgenden als Synonym für Herleitung gebraucht) des Cosinussatzes: <br />
Der Cosinussatz wird zur Berechnung in allgemeinen Dreiecken angewendet, wenn zwei Seiten und <br />
der eingeschlossene Winkel, oder drei Seiten gegeben sind. Beim Beweis des Cosinussatzes kann man <br />
ganz analog wie beim Beweis des Sinussatzes vorgehen. Im Lehrbuch Elemente der Mathematik 5, <br />
wird vorangehend zum Beweis ein konkretes Beispiel berechnet. Unserer Meinung nach ist der <br />
Zusammenhang zwischen Beweis und Beispiel aber zu wenig betont. Zu beachten ist aber, dass die <br />
Herleitung des Cosinussatzes wesentlich mehr Zeit in Anspruch nehmen wird – daher meinen wir, <br />
man könnte das vorangehende (auch zeitaufwendige) Beispiel auch weglassen, und nur den Beweis <br />
machen.
Der Beweis sollte aber durchgemacht werden, da man anhand dessen lernt, viel aus einer Skizze <br />
abzulesen, und mehrere Gegebenheiten miteinander zu verknüpfen. Auch das Umformen einer <br />
Gleichung wird geübt. Aus puren Zeitgründen schlagen wir aber vor, den Beweis nur in einem der <br />
beiden Fälle(spitzwinkelig und stumpfwinkeligen) Fall zu betrachten. Unser Vorschlag hierfür wäre <br />
folgender: <br />
Da man beim Beweis des Sinussatzes auch zwischen diesen beiden Fällen unterscheiden muss, <br />
empfehlen wir, insgesamt beide Fälle zu behandeln und zwar den einen Fall beim Sinussatz und den <br />
anderen beim Cosinussatz – dies macht deshalb Sinn, weil die zwei Fälle prinzipiell gleich zu <br />
behandeln sind, nur die Höhe einmal im und einmal außerhalb des Dreiecks liegt. So werden den <br />
SchülerInnen alle Methoden in die Hand gegeben, um die Herleitung verstehen zu können. Die <br />
Beweise müssen auch nicht exakt wiedergegeben werden bei Lehrzielkontrollen oder Schularbeiten, <br />
jedoch die Grundstruktur des Gedankenganges sollte klar sein. <br />
Bei der Herleitung kann man sich gut am Lehrbuch orientieren (S. 155), wobei man eigentlich nur <br />
Punkt 2 machen muss (und auch hierbei eben nur einen Fall herausgreift). <br />
Zum Beweis des Sinussatzes: Bei der Herleitung des Sinussatzes beginnen wir mit einer <br />
anwendungsorientierten Textaufgabe. Der mathematische Kerninhalt zur Berechnung läuft dabei auf <br />
ein (nicht rechtwinkeliges) Dreieck ABC hinaus, bei dem entweder a, α, und β, oder a, b und α oder <br />
a, b und β oder b, α und β gegeben sind. α und β sind dabei kleiner als 90 Grad. Zuvor sollten <br />
zumindest Berechnungen in gleichschenkeligen und auch allgemeinen Dreiecken durchgeführt <br />
werden, wo man die Methode des Teilens eines Dreieckes in zwei Dreiecke verwendet. Ist dies aber <br />
bekannt, können SchülerInnen die Höhe (auf c) des Dreieckes berechnen und sollten daher eigentlich <br />
keine gröberen Probleme beim Lösen der Aufgabe haben, auch wenn es eine etwas längere <br />
Rechnerei wird. Eventuell kann man auch solch ein Beispiel zuerst an der Tafel vorrechnen und dann <br />
die SchülerInnen selbst rechnen lassen. <br />
Anschließend wird das Beispiel dann rein abstrakt und mathematisch (ohne Anwendungseinkleidung) <br />
nocheinmal durchgerechnet (ausschließlich mit Variablen und ohne Zahlenangaben für das Dreieck <br />
also). Man kann sich wiederum entscheiden, ob man dies gemeinsam macht, oder die SchülerInnen <br />
auf sich allein gestellt bleiben, oder auch in Gruppen gearbeitet wird – die ganz konkrete Umsetzung <br />
muss sich natürlich der Klasse anpassen, der didaktische Grundschritt bleibt der gleiche. <br />
Was haben wir nun damit erreicht? Zumindest einmal wurde die grundliegenden Anwendungen von <br />
Sinus und Cosinus einmal eintrainiert und ein zielführendes Bedenken der Rechnung auf <br />
Zwischenschritte hin (Berechnung der Höhe) geübt. Auf (scheinbar) ganz natürlichem Weg ist man <br />
dabei auch zu einem Ausschnitt des Sinussatzes gelangt. Man hat den Sinussatz also in dem Sinne gar <br />
nicht bewiesen, sondern eigentlich einmal nur seine Verwendung und Gültigkeit motiviert. <br />
Sies erachten wir als nötig. <br />
Desweiteren kann man nun natürlich thematisieren, was man nun genau gewonnen hat, für welche <br />
Sachverhalte man den Sinussatz eigentlich noch nicht anwenden dürfte: Was wäre, wenn man zum <br />
Beispiel a, α und c gegeben hätte? Oder wie sieht es aus in einem stumpfwinkeligen Dreieck – dieser <br />
Fall wäre auch besonders lohnend zu behandeln, da man hierfür das Verhalten des Sinus am <br />
Einheitskreis im Kopf haben muss. Sollte man also genügend Zeit übrig haben, wäre dieser Fall auch <br />
noch zu zeigen, dass der Satz für alle drei Seiten gilt, ist dann eigentlich durch angemessenes Drehen <br />
des Dreieckes schnell gezeigt. <br />
Das Buch schlägt gesamt gesehen einen Weg über sieben Schritte vor: <br />
1. Berechnen eines Dreiecks im Falle WSW, SWW uns SsW <br />
2. Herleitung des Sinussatzes (2 Fälle) <br />
3. Sinus im Bereich von 90 bis 180 Grad <br />
4. Geometrische Interpretation dieser Definition <br />
5. Verallgemeinerung des Sinussatzes auf stumpfwinkelige Dreiecke <br />
6. Verwenden des Taschenrechners bei stumpfen Winkeln <br />
7. Beispiel für die Berechnung eines Dreiecks mithilfe des Sinussatzes <br />
Dieses Vorgehen scheint uns zu zeitaufwendig (drei ganze Buchseiten), gewissermaßen beginnen wir <br />
auch von Hinten, da wir mit einem Beispiel beginnen und das Verwenden des Taschenrechners schon
klar sein sollte – das Buch geht hier wieder von einer puren Tastenangabe aus, was schon <br />
problematisiert worden ist. Daher schlagen wir vor, keinen umfassenden Beweis vorzulegen, <br />
sondern, wie wir auch glauben, es umgesetzt zu haben, die wichtigsten Gedankengänge, die diesen <br />
Beweis prägen, verständlich zu machen. <br />
Höhen und Tiefenwinkel -‐ Textaufgaben <br />
Im Zuge der Textaufgaben wird man wahrscheinlich zu typischen Vermessungsaufgaben kommen. <br />
Oftmals kommen dabei die Begriffe Höhenwinkel, Tiefenwinkel und Sehwinkel vor. Wir schlagen vor, <br />
diese Begriffe exakt zu definieren, da es hierbei erfahrungsgemäß oft zu Unklarheiten kommt. <br />
Wir plädieren weiters dafür, Aufgaben, zu deren Berechnung man den Sinussatz oder den <br />
Cosinussatz benötigt, zu verbinden mit Aufgabenstellungen zu Polarkoordinaten, da diese in vielen <br />
Schulbüchern ein isoliertes Themenfeld bilden. <br />
Die behandelte Planung lässt sich insgesamt leicht anhand sämtlicher Lehrbücher vollführen, mit <br />
Ausnahme genannter Beispiele, die Polarkoordinaten mit Sinussatz und Cosinussatz verbinden. In <br />
Hinblick auf Grundkompetenzen kommt dem gesamten hier behandelten Abschnitt eher weniger <br />
Bedeutung zu. Sinussatz und Cosinussatz zählen nicht zu den Grundkompetenzen der Zentralmatura. <br />
Sämtliche hierfür relevante Kenntnisse entfallen also eher auf die Einleitung.