Elektrisches Feld
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XXV.<strong>Elektrisches</strong> <strong>Feld</strong>, elektrische Spannung<br />
Das elektrische <strong>Feld</strong> E definiert man durch die Größe und Richtung der<br />
Coulomb-Kraft, die auf eine kleine Punktladung Q P wirkt, gemäß der Definition:<br />
F<br />
c =<br />
Q<br />
P<br />
E<br />
Beispiel:<br />
Zwischen einer Punktladung Q P und Q 0 wirkt die Coulomb-Kraft:<br />
F<br />
C<br />
=<br />
e<br />
r<br />
1<br />
⋅<br />
4πε<br />
0<br />
Q0.<br />
Q<br />
2<br />
r<br />
also folgt für das elektrische <strong>Feld</strong> einer Punktladung:<br />
E<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
r<br />
0<br />
2<br />
e<br />
r<br />
Die Richtung von E is also so definiert, dass frei bewegliche Elektronen<br />
gegen die <strong>Feld</strong>linienrichtung laufen.<br />
P<br />
1
Q 0<br />
E<br />
Hier das <strong>Feld</strong>linienbild einer positiven Punktladung<br />
Q 0 mit der Pfeilrichtung nach außen. Bei negativer<br />
Ladung Q 0 zeigt E auf die Ladung zu.<br />
Masseinheit des elektrischen <strong>Feld</strong>es<br />
Das elektrisch <strong>Feld</strong> ist eine abgeleitete Größe, die Einheit ergibt sich aus<br />
der Einheit der Kraft und der Ladung im SI-System:<br />
[ ]<br />
[ F]<br />
N Nm J<br />
= =<br />
[ Q] As Asm Asm<br />
E =<br />
=<br />
Jetzt kann man ausnutzen, dass im SI-System die Spannungseinheit V so<br />
definiert ist, dass gilt: 1 J = 1Ws = 1VAs<br />
das ist das sogenannte mechanisch/elektrische Wärmeäquivalent<br />
2
Dann kann man schreiben:<br />
J VAs<br />
E = = =<br />
Asm Asm<br />
[ ]<br />
V<br />
m<br />
Beispiele für <strong>Feld</strong>linienbilder<br />
2 geladene Platten:<br />
(Plattenkondensator)<br />
Kugel und Platte:<br />
+<br />
-<br />
-<br />
+<br />
+<br />
-<br />
-<br />
+<br />
-<br />
-<br />
+<br />
-<br />
-<br />
3
2 Kugeln mit entgegengesetzter Ladung (elektrischer Dipol)<br />
E<br />
+ -<br />
2 Kugeln mit gleicher Ladung<br />
E<br />
Diese <strong>Feld</strong>linienbilder kann man<br />
konstruieren, indem man eine<br />
Vektoraddition der E-<strong>Feld</strong>er der<br />
beiden Punktladungen durchführt<br />
(siehe als ein Beispiel die roten<br />
Pfeile an der Symmetrielinie oben<br />
und unten ). Das nennt man das<br />
Superpositionsprinzip<br />
+ +<br />
4
<strong>Feld</strong>linienbilder<br />
Die <strong>Feld</strong>linienbilder kann man sehr schön mit Grieskörnern, die sich in Öl<br />
bewegen, sichtbar machen. Grieskörner sind längliche Körner, die durch<br />
Influenz ein Dipolmoment (siehe weiter unten) bekommen und sich im<br />
<strong>Feld</strong> ausrichten und aufreihen.<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
E<br />
Die Coulombkraft sorgt hier für<br />
ein Drehmoment, das die Körner in Richtung<br />
von E ausrichtet und für die Anziehung<br />
benachbarter Körner, so dass sich die Körner<br />
aufreihen.<br />
Vorführung Dipol im <strong>Feld</strong><br />
Vorführung <strong>Feld</strong>linienbilder<br />
Man beobachtet, dass die <strong>Feld</strong>linien immer senkrecht zu den Metalloberflächen<br />
stehen und immer geschlossen sind. d.h. vom Pluspol zum<br />
Minuspol laufen.<br />
5
Elektrostatische Abschirmung<br />
In einem geschlossenen Metallkäfig wird das elektrische <strong>Feld</strong> abgeschirmt, es gilt<br />
im Inneren immer E=0 (Farady-Käfig) der tiefere Grund für diese Tatsache<br />
liegt an der freien Verschiebbarkeit der Elektronen in Metallen und<br />
wird weiter unten gegeben. Wir können die <strong>Feld</strong>freiheit einfach mit einem<br />
Elektrometer beweisen, über den Effekt der Influenz zeigt ein Elektrometer<br />
auch elektrische <strong>Feld</strong>er an.<br />
Metallgefäß im Kondensator<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
E=0<br />
-<br />
-<br />
-<br />
-<br />
Demonstration Faradaykäfig mit<br />
Bandgenerator<br />
6
Elektrische Spannung<br />
Wir sehen uns einmal an, was passiert, wenn wir in einem elektrischen <strong>Feld</strong> E<br />
ein Teilchen mit der Ladung Q P und der Masse m verschieben<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
E<br />
1 2<br />
Q P<br />
s<br />
-<br />
-<br />
-<br />
-<br />
Es wirkt auf Q P die Coulombkraft<br />
F =<br />
Q<br />
P<br />
E<br />
Nach der allgemeinen mechanischen Definition der Arbeit W wird<br />
bei der Verschiebung von Punkt 1 nach Punkt 2 Arbeit geleistet:<br />
W<br />
=<br />
Q<br />
P<br />
2<br />
∫ E ⋅ ds<br />
1<br />
Da das <strong>Feld</strong> E im Kondensator überall gleich ist und wir die Ladung in<br />
<strong>Feld</strong>richtung verschieben, kann man schreiben:<br />
W QP ⋅ E ⋅l<br />
= mit l, der Strecke zwischen 1 und 2<br />
7
Man sieht sofort, dass bei einer positiven Ladung Q P die Arbeit positiv ist,<br />
d.h. das System gibt Arbeit nach außen ab. Bei negativer Ladung ist die Arbeit<br />
negativ d.h. das System nimmt von außen Arbeit auf.<br />
Man definiert die elektrische Spannung<br />
U über die Gleichung:<br />
U<br />
2<br />
= ∫ E ⋅ ds<br />
1<br />
Für den einfachen Fall oben mit<br />
konstantem E im Kondensator und dem<br />
Abstand l der Punkte 1 und 2 folgt:<br />
und für die Arbeit W:<br />
U<br />
W<br />
= E ⋅l<br />
=<br />
Q<br />
P<br />
U<br />
Die Maßeinheit von U ergibt sich aus der Einheit von E und L:<br />
[ U ] = [ E] ⋅[ l] = V<br />
Für einen Plattenkondensator mit dem Abstand der Platten d ergibt sich<br />
für die Gesamtspannung U ges die Beziehung U ges =E d<br />
8
+<br />
+<br />
+<br />
E<br />
d<br />
-<br />
-<br />
-<br />
Plattenkondensator:<br />
U = E ⋅d<br />
U ges<br />
Man kann also bei fester Spannung U ges z.B.<br />
von einem Bandgenerator durch die Änderung von<br />
d die <strong>Feld</strong>stärke E verändern.<br />
Potenzielle Energie im elektrischen <strong>Feld</strong><br />
Wir hatten gesehen, dass ein geladenes Teilchen Q P , das im <strong>Feld</strong><br />
E verschoben wird, Arbeit von außen aufnimmt oder nach außen abgibt.<br />
Die Arbeit kann man schreiben als W=Q P U. Genau wie bei der Bewegung<br />
einer Masse im Schwerefeld entspricht die Arbeit der Änderung der<br />
potenziellen Energie, also<br />
W<br />
= E<br />
pot<br />
(1) − E<br />
pot<br />
(2)<br />
=<br />
Q U<br />
P<br />
9
<strong>Elektrisches</strong> Potenzial<br />
Es ist allgemein üblich, den Begriff des elektrischen Potenzials Φ einzuführen<br />
mit der Definition<br />
E pot<br />
= Q P<br />
Φ<br />
so dass gilt W=Q P (Φ 1 −Φ 2 )=Q P U<br />
Die Spannung U entspricht einer Differenz des elektrischen Potenzials.<br />
Man sieht, dass die potenzielle Energie einer Ladung bei einer Bewegung<br />
konstant bleibt, wenn sich das elektrische Potenzial nicht ändert (Bewegung<br />
auf einer Äquipotenzialfläche). Bei elektrischen <strong>Feld</strong>ern zeichnet man oft die<br />
Äquipotenzialflächen mit ein:<br />
Beispiel Plattenkondensator<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
E<br />
300 V 200V 100 V 0V<br />
250V 150V 50V<br />
-<br />
-<br />
-<br />
-<br />
Die gestrichelten Linien sind die Äquipotenzialflächen,<br />
mit dem unten angegebenen Potenzial,die<br />
<strong>Feld</strong>linien stehen senkrecht auf diesen Flächen.<br />
10
Beispiel Punktladung Q P<br />
E<br />
Φ(<br />
r)<br />
= −<br />
r<br />
∫<br />
∞<br />
E ⋅dr<br />
= −<br />
r<br />
∫<br />
∞<br />
QP<br />
QP<br />
dr =<br />
2<br />
4πε<br />
0r<br />
4πε<br />
0r<br />
+<br />
Man sieht hier, dass die Äquipotenzialflächen, die<br />
immer für dieselbe Differenz ΔΦ gezeichnet<br />
sind, nach außen weniger dicht werden, .<br />
(Hohe Dichte der Äquipotenzialflächen<br />
ergeben hohe <strong>Feld</strong>stärke)<br />
Metallflächen als Äquipotenzialflächen<br />
Wegen der hohen Beweglichkeit der Metallelektronen sind die Potenzialdifferenzen<br />
in Metallen bei elektrostatischen Problemen klein.<br />
Die Metalloberfläche ist deshalb eine Äquipotenzialfläche. Daraus folgt, dass<br />
<strong>Feld</strong>linien immer senkrecht auf Metalloberflächen stehen müssen.<br />
11
Beschleunigungsarbeit im elektrischen <strong>Feld</strong><br />
Betrachten wir ein Elektron, das in einem E-<strong>Feld</strong> von der Coulombkraft<br />
beschleunigt wird.<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
2<br />
E<br />
U=Ed<br />
1<br />
ΔE = eU = E =<br />
pot<br />
-<br />
-<br />
-<br />
-<br />
kin<br />
Das Elektron bewege sich von 1 nach 2,<br />
dabei ändert sich die potenzielle Energie um:<br />
Δ = −e<br />
Φ − Φ )<br />
E pot<br />
(<br />
1 2<br />
= −eU<br />
Diese Energie wird in kinetische Energie<br />
verwandelt, also:<br />
1<br />
2<br />
m<br />
e<br />
v<br />
2<br />
und<br />
v =<br />
2<br />
e<br />
U<br />
m<br />
Wenn ich das Elektron von 2 nach 1 bewegen will, ist die Arbeit negativ, ich<br />
muss die Arbeit von außen aufbringen, die potenzielle Energie des Elektrons<br />
nimmt dabei zu.<br />
12
In der Atomphysik benutzt man als Energieeinheit oft die Größe eV<br />
(Elektronenvolt). 1eV ist die potenzielle Energie eines Elektrons in<br />
einem Potenzial Φ=–1V.<br />
Die Umrechnung in die SI-Einheit J ergibt sich aus:<br />
1eV<br />
= 1.6⋅10<br />
−19<br />
AsV<br />
= 1.6⋅10<br />
−19<br />
J<br />
Elektronen erreichen in elektrischen <strong>Feld</strong>ern sehr hohe Geschwindigkeiten, so<br />
ergibt sich z.B. bei einer Potenzialdifferenz von U=1 V eine Geschwindigkeit<br />
von v=6 10 5 m/s , wie man aus der Formel oben mit e= 1.6 10 -19 As und<br />
m e =9.1 10 -31 kg eingesetzt leicht berechnen kann.<br />
13
Zusammenfassung<br />
Definition elektrisches <strong>Feld</strong><br />
<strong>Elektrisches</strong> <strong>Feld</strong> Punktladung<br />
Definition Spannung<br />
Spannung Plattenkondensator<br />
Definition elektrisches Potenzial Φ<br />
F<br />
E<br />
U<br />
U<br />
=<br />
=<br />
Q<br />
P<br />
1<br />
4πε<br />
2<br />
E<br />
0<br />
Q<br />
r<br />
= ∫ E ⋅ ds<br />
=<br />
1<br />
E ⋅d<br />
0<br />
2<br />
E pot<br />
= Q P<br />
Φ<br />
e<br />
r<br />
Arbeit im elektrischen Potenzial<br />
W<br />
= Q Φ − Φ )<br />
P<br />
(<br />
1 2<br />
=<br />
Q U<br />
P<br />
14