Übungsaufgaben Winkelfunktionen - Pythagoras-Club

Mathematik
Bl
Übungs-Aufgaben Winkelfunktionen - Lösungen
A. Gleichungen
Bestimme alle Lösungen x, für die gilt 0 ≤ x ≤ 2π
(Winkel in Bogenlängen angeben)
1. sin 3x = 1
π π π
3x = oder + 2π oder + 4π 2 2 2
π 5π
9π
L = { , , }
6 6 6
2. cos 2x = 0.1 2x = 1,471 oder 2π – 1,471 L = { 0,735 ; 2,406 ; 3,877 ; 5,548 }
3. 2 sin 1 x = 1 sin 1 x = 1 → 1 π 5π
x = oder 2 2 2 2 6 6
L = {
π 5π
,
3 3
}
4. (cos x) 2 – 1 = cos2x (cos x) 2 – 1 = (cos x) 2 – (sin x) 2
sin x = ± 1 L = {
π 3π
, }
2 2
5. sinx = 3 cosx tan x = 3 L = { 1,249 ; 4,391 }
6. 1 + cot (x-1) = -1 tan (x-1) = 2
1 L = { 0,536 ; 3,678 }
7. sinx⋅cotx + cosx = 1 cos x = 2
1 L = {
π 5π
,
3 3
}
8. 2 cos( 2 1 x – π) = 3 → ( 2 1 x – π) = – 6
π
5π
L = { } 3
9. x⋅ tan 2 = 2x – 5
5
x = L = { 1,195 }
2 − tan 2
B. Graphen
Als Vergleich ist jeweils y = sinx oder y = cosx ebenfalls eingezeichnet.
10. y = 3 cos 2 1 x
Winkelfunktionen4_loesungen.doc 1

11. y = 2 1 sin 3x
12. y = – 2 sin 2 3 x
13. y = cos(x– 2 π )
2

14. y = 1 + sinx
15. y = tan x
C. Geometrie
16. Eine Gerade geht durch die Punkte A( 3 / 8 ) und B( 6 / 12 ). Berechen die Steigung der Geraden
und den Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse.
Steigung:
12 − 8 4
m = = Winkel:
6 − 3 3
4
tan α = → α = 53,13°
3
17. Die Bergstrasse nach Gonio weist eine Steigung von 17% auf. In welchem Winkel steigt sie an?
Steigung: m = 0,17 Winkel: tan α = 0, 17 → α = 9,56°
18. Von einem Dreieck kennt man die Seitenlängen: a = 3 , b = 5 , c = 6 . Berechne die Winkel.
Cosinus-Satz:
2 2 2
a + b − c
cos γ =
... α = 29,93° β = 56,25° γ = 93,82°
2ab
3

19. Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der
Seitenlänge s = 2. Die Höhe der Pyramide beträgt ebenfalls h = 2.
Berechne den Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber der
Grundfläche.
α
tan α = 1
2 = 2 α = 63,43°
20. Berechne in der Pyramide aus Aufgabe 19 die Seitenlängen und
Winkel der 4 Dreiecke, welche die Seitenflächen bilden.
a
a
Gleichschenkliges Dreieck a = 6 cos γ =
α = β = 65,9°
8 =
12
2
3
21. Berechne die Winkel des Dreiecks mit den Seitenlängen a = 4 , b = 5 und dem der Seite b
gegenüberliegenden Winkel β = 30° .
Sinussatz sin α = b
a sin β = 0,8 sin 30° = 0,4 → α = 23,6° γ = 126,4°
22. Leite eine Formel her, mit der man aus der Seitenlänge a
eines Rhombus und dem Winkel α den Flächeninhalt des
Rhombus berechnen kann.
F = a ⋅ h = a ⋅ a⋅sinα = a 2 sinα
a
α
a
23. Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 4 , b = 3 , c = 4.5 .
a) Berechne den Radius des Umkreises.
b) Berechne den Radius des Inkreises.
16 + 9 − 20.25
a) cos γ = = 0, 198
24
γ = 78,58° 2r =
c
sin γ
= 4,6 → r = 2,3
b) Es gilt : r =
2F
a + b + c
ab ⋅ sin γ
= = 1,02 (müssen sie nicht lösen können)
a + b + c
24. Ein regelmässiges 24-Eck sieht schon fast wie ein Kreis aus. Bestimme seinen Umfang sowie
den Umfang seines Umkreises, wenn seine Kantenlänge s = 2 beträgt.
Das 24-Eck besteht aus 24 gleichschenkligen Dreiecken. Der Winkel beim
Umkreismittelpunkt beträgt 360/24 = 15°
s=2
Im rechtwinkligen Dreieck (Hälfte des gleichschenkligen Dreiecks) mit der
Hypotenuse r und der Kathete s/2 gilt:
sin(7,5°) =
s
2
r
1
= → r =
r
1
sin(7,5 ° )
= 7,66
Umfang 24-Eck: U 24 = 24 ⋅ 2 = 48
Umfang Kreis: U o = 2π⋅r = 48,14
r
r
4