Kernkräfte und Kernmodelle: • s-Wellen Streuung

Kernphysik I
Kernkräfte und Kernmodelle:
• s-Wellen Streuung

Eigenschaften des Deuteron
Bindungsenergie:
Spin, Parität:
Mag. Moment:
Quadrupolmoment:
Radius:
Deuteron besteht im wesentlichen aus dem 3 S 1 -Zustand:
Warum gibt es keinen 1 S 0 -Zustand?
Warum existiert das Di-Proton und das Di-Neutron nicht?

Zusammenfassung
Eigenschaften des Deuterons:
• Tiefe des Nukleonenpotenzials
V 0 ~ 50 MeV für Kernradius R 0 =1,4 fm.
• Kernkräfte sind spinabhängig.
• Nicht-zentraler, Tensorterm im zwei Nukleonenpotential
Vorläufiges Kernpotential:
Deuteron: - nur eine gebundener Zustand, keine angeregten Zustände.
- Nicht genügend Information um Parameter des Potentials zu bestimmen.
- Kein Zugang zu l≠0 Zustand.

Rechteckpotential ungebundene Teilchen
und
mit
oder
mit
aussen)
für
mit
wegenendlicher LösungimInneren
ist
innen)
für
Lösungsansatz :
mit
δ
C
D
C
C
r
k
C
(r)
u
mE
k
r
k
D
r
k
C
(r)
u
a
R
r
E
m V
k
r
k
A
r
u
i
R
r
e
e
r
u
)
R
(r
E u
m
dr
u
d
)
R
(r
u
E
V
m
dr
u
d
Y
r
r
r
r
r
u
m
m
m
m
m
m
u
E
r
V
dr
u
d
a
a
a
a
a
a
i
i
i
i
i
ikr
ikr
lm
p
p
n
p
n
sin
cos
)
sin(
1
cos
sin
(
)
(
1
sin
)
(
(
)
(
0
0
)
(
)
,
(
)
(
)
,
,
(
)
(
)
(
2
2
0
)
)
(
(
2
0
0
0
0
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
=
′
=
′
+
=
=
′
+
′
=
>
+
=
⋅
=
= −
<
+
=
>
=
+
<
=
−
+
⋅
=
=
≡
≈
+
⋅
=
=
−
+
−
−
δ
δ
β
α
β
α
ϕ
ϑ
ψ
ϕ
ϑ
φ
ψ
μ
μ
h
h
h
h
h

Rechteckpotential ungebundene Teilchen
Stetigkeitsbedingung für r = R
u (R
A⋅sin
k
k
i
i
0
) =
i
u
R
A⋅cosk
a
0
i
(R
R
)
= C ⋅sin(k
0
0
=
k
a
u ′(R
a
C ⋅cos(k
i
0
) =
R + δ)
a
u′
(R
a
0
R + δ)
0
)
Division :
k
i
⋅ cot k
i
R
=
k
a
⋅cot(k
a
R
+
δ)
Phasenverschiebung δ
Knoten der Wellenfunktion werden von:
-attraktivem Potential zum Zentrum
gezogen, positive Phasenverschiebung
-repulsivem Potential vom Zentrum
abgestoßen, negative Phasenverschiebung

k A ⋅cos k R
Rechteckpotential ungebundene Teilchen
Stetigkeitsbedingung für r =
u (R
i
A ⋅sin k
i
0
)
=
i
u
R
a
0
i
(R
0
0
)
= C ⋅sin (k
=
k
a
u ′(R
a
R
C ⋅cos(k
i
0
0
)
+ δ)
a
R
0
R
a
0
= u′
(R
+ δ)
0
)
Division :
k
i
⋅cot
k
i
R
0
=
k
a
⋅cot
(k
a
R
0
+
δ)
Auflösen nach Phasenverschiebung:
δ = -k
a
R
0
Energien :
⎧k
+ arctan⎨
⎩ k
k
a
=
1
h
a
i
tan k
2mE
i
k
R
i
0
=
⎫
⎬
⎭
1
h
2m(E
+
Phasenverschiebung δ
Ist eindeutig bestimmt durch
- Radius R 0
- Teilchenenergie E
- Potentialtiefe V 0
V )
0

Streutheorie - Kurze Erinnerung
r
Einlaufende ebene Welle k
r
rr
ikr ikz
Ψ (r) = Ae = Ae
in
Auslaufende Kugelwelle
ikr
r
e
Ψstr(r)
= A f ( θ,
ϕ)
, r → ∞
r
Gesamtwellenfunktion
r
Ψ (r) =
A ( e
ikz
+ f ( θ,
ϕ)
e
r
ikr
)
= (0,0,k)
Stromdichte der Welle
r r h ∗
j(r) = { Ψ ∇Ψ − ( ∇Ψ)
2μi
j
j
in
str
dσ =
Zahl der Teilchen
=
Zeit ⋅ Fläche
hk
= A
μ
j
str
in
2
2
r dΩ
j
f ( θ,
ϕ)
r
2
2
= v A
dσ
dΩ
∗
Ψ}
hk
= A
μ
2
2
f ( θ,
ϕ)
Differentieller Wirkungsquerschnitt
r
= f ( θ,
ϕ)
2
2
2
Ansatz mit einlaufender ebener Welle und auslaufender Kugelwelle

Verbindung zu Streutheorie
Einlaufende Welle
r
r
r
ikr
Ψ (
) = Ae = Ae
in
ikr −ikr
r A ⎡e
e ⎤
Ψin(
) = ⎢ −
2ik
⎥
⎣ r r ⎦
Gesamtwellenfunktionnach Streuung
β des auslaufenden Teilchens
r
Ψ(
) =
2
A
ik
⎡e
⎢
⎣
i(
kr+
β )
r
ikz
In Kugelwellen für l = 0
Unterschied ist eine Phasenänderung
−
e
r
−ikr
⎤
⎥
⎦
Beziehung zwischen β undδ
:
r u(
r)
Ψ(
) =
r
i(
C e
=
r
d.h. β = 2δ
und
Wellenfunktion des gestreuten Teilchens :
r r r
Ψ (
) = Ψ(
) − Ψ (
)
str
C
= e
2i
=
−iδ
A
2ik
C
= sin( kr + δ )
r
+ δ ) −i(
kr−δ
)
− e
2i
kr
⎡e
⎢
⎣
( e
i(
kr+
2δ
)
r
A = kCe
2iδ
in
e
−1)
r
−
e
−
r
−iδ
Ansatz mit einlaufender
und auslaufender Kugelwelle
ikr
ikr
⎤
⎥
⎦

Verbindung zu Streutheorie
Stromdichte der
j
j
st
in
=
dσ
=
σ =
h ∗
{ ψ
2mi
j
str
2
r
j
2
in
dΩ
dσ
dΩ =
dΩ
∂ψ
−
∂r
∗
∂ψ
ψ}
∂r
h A
2
= sin δ
2
mkr
Zahl der Teilchen
=
=
Zeit ⋅Fläche
Differentieller
Totaler
∫
gesteuten Welle
dσ
=
dΩ
dσ
4π
=
dΩ
hk
m
sin
k
Wirkungsquerschnitt
2
2
4π
sin
2
k
A
Wirkungsquerschnitt
2
2
δ
δ
Einige Folgerungen:
• dσ/dΩ ist i.A. winkelabhängig.
• Für den Fall l=0 ist dσ/dΩ const.
• Die Phasenverschiebung für l=0 Streuung
ist direkt mit dem WQ verknüpft.
• Mit dem Ergebnis des einfachen Rechteckmodells
kann WQ bestimmt werden.
Nächster Schritt: Vergleich Experiment
mit theoretischen Erwartungen.

Wirkungsquersschnitt für s-Wellen bei np-Streuung
Streuung am Rechteckpotential:
k
a
⋅cot (k
a
R + δ) = k
i
⋅cot
k R
i
Differentieller Wirkungsquerschnitt
dσ =
j
str
2
r dΩ
j
in
dσ
=
dΩ
sin
k
2
2
δ
setze -α = k
sin
2
δ =
cosk
i
a
⋅cot
k R,
i
⎛ α ⎞
R + ⎜ ⎟sin k
⎝ ka
⎠
2 2
1+ α k
a
Trigonometrie
a
R
Totaler Wirkungsquerschnitt
σ =
∫
dσ
dΩ
dΩ =
dσ
4π
=
dΩ
4πsin
2
k
2
δ
σ =
k
2
a
4π
+ α
2
⎛
⎜
cosk
⎝
a
R
+
⎛ α
⎜
⎝ ka
⎞
⎟sin k
⎠
a
⎞
R ⎟
⎠

Wirkungsquersschnitt für s-Wellen np-Streuung
betrachte kleineNeutronenenergien Entwicklung von cos, sin mit
E ≤ 10KeV und
k
k
i
a
=
=
σ =
k
2
a
2m(V
2mE/ h
4π
+ α
2
0
+ E)/ h
2
≤
V
0.016fm
= 35MeV
R ≈ 2fm ⇒ α ≈
0.92fm
( cosk R + ( α k ) sink R)
a
2
0
≅
−1
a
−1
a
k
2
a

Drehimpulsabhängigkeit der np-Streuung
Für die Erklärung der Diskrepanz muß die relative Spinorientierung der beiden
Nukleonen berücksichtigt werden.
Der WQ wurde mit den Werten des Deuterons abgeschätzt, das mit seinem
Gesamtspin von S=1 nur einen gebundenen Triplettzustand bildet.
Singulett:
Triplett (Deuteron): σ t =4.6 b
Bei der Streuung können jedoch beide Spinorientierungen auftreten. Die relativen
Anteile zum GesamtWQ ergeben sich zu:
σ = 3/4σ t + 1/4 σ s
Diese bedeutet: aus dem berechneten WQ für σ t =4.6 b und dem gemessenen
WQ für σ=20.4 b ergibt sich ein WQ für die Streuung im Singulettzustand zu
σ s =67.8 b.
Eine enorme Differenz, die die Spinabhängigkeit der Kernkräfte demonstriert!

Streulänge
Eine wichtige Größe für die Analyse von Streuproblemen bei kleinen Energien
ist die Streulänge a.
Definition der Streulänge: totaler Wirkungsquerschnitt bei verschwindender
Energie der gestreuten Teilchen:
2
lim σ = 4πa
k → 0
Die Streulänge definiert eine effektive Querschnittsfläche.
Information über die Stärke und Art des Streupotentials.
Obwohl die Streulänge die Dimension einer Länge hat, gibt sie keine Auskunft
über die Reichweite des Potenzials!
sinδ
1
a = ± lim für l = 0 Streuunggilt : − = k
k→
0 k
a
Das Vorzeichen kann frei gewählt werden, üblicherweise negativ.
Positive Werte von a: gebundene Zustände
Negative Werte von a: ungebundene Zustände
a
cotδ