4. Übungsblatt

PD Dr. M. Buballa
Pascal Büscher
Institut für Kernphysik
Quantentheorie und Statistische Physik
für LaG
Präsenzübung
P8
4. Übungsblatt
Hermitezität, Kommutatoren und Eigenbasen
Zeigen Sie, dass
P9
a) Â, ˆB hermitesch ⇒ i[ Â, ˆB] hermitesch.
5. Juni 2013
b) Â, ˆB haben eine gemeinsame Eigenbasis genau dann, wenn [Â, ˆB] = 0. Vernachlässigen
Sie dabei Entartung.
Reflexion und Transmission
Ein Strom von Teilchen mit Masse m und Energie E > V 0 trifft, von links einlaufend, auf
eine Potentialstufe V (x) = V 0 Θ(x).
a) Lösen Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für obiges Potential.
b) Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Teilchenfluss) ist gegeben durch
j =
(
ψ ∗ ∂
2 i m ∂x ψ − ψ ∂
∂x ψ∗) .
(P9.1)
Zeigen Sie mit (P9.1), dass Stromerhaltung gilt, d.h. dass der Strom des reflektierten
und des transmittierten Anteils der Wellenfunktion zusammen den Strom
des einfallenden Anteils ergeben.
Hausübung
(Abgabe Di, 18. Juni 2013, in der Vorlesung)
H11 Kommutator in Orts- und Impulsraum (1 Punkt)
Leiten Sie die Kommutatorrelationen für die Komponenten der dreidimensionalen Ortsund
Impulsoperatoren ˆr i und ˆp j ([ ˆr i , ˆp j ], [ ˆr i , ˆr j ] und [ ˆp i , ˆp j ]) sowohl im Orts- als auch im
Impulsraum her.
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H12 Endlich hoher Potentialtopf (1 Punkt)
Ein endlich hoher Potentialtopf sei definiert durch das Potential
⎧
⎪⎨ 0 für x < −a
V (x) = −V 0 für − a ≤ x ≤ a . (H12.1)
⎪⎩
0 für x > a
Welche Form nimmt die Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung in den verschiedenen
Abschnitten an? Betrachten Sie dabei sowohl den Fall E > 0 als auch
−V 0 < E < 0. Bestimmen Sie die Lösung bis auf die Normierungskonstanten. Welche
Anschlussbedingungen müssen für die Wellenfunktion an den Abschnittsgrenzen gelten?
(Sie müssen diese nicht lösen! Drücken Sie nur die bei x = a in Normierungskonstanten
aus.)
H13 Linearer Potentialanstieg (1,5 Punkte)
In der Vorlesung werden meist unstetige Potentialstufen betrachtet. Hier wollen wir nun
eine Potentialstufe mit linearem Anstieg betrachten, die durch
⎧
⎨ 0 x < 0
V a (x) = ax 0 ≤ x ≤ V 0
⎩
a
(H13.1)
V 0 x > V 0
a
gegeben sei.
a) Skizzieren Sie den Potentialverlauf von V a (x) und lösen Sie die stationäre Schrödingergleichung
für alle drei Bereiche. Nehmen Sie dabei an, dass V 0 > E ist.
b) Welche Anschlussbedingungen müssen gelten? Bestimmen Sie an den Abschnittsgrenzen
die Funktionen des Abschnitts rechts der Grenze in Abhängigkeit der Lösung
des Abschnitts links der Grenze.
c) Wie verhält sich die Lösung und deren Ableitung für den linearen Abschnitt an den
beiden Abschnittsgrenzen im Grenzfall einer unstetigen Potentialstufe, d.h. wenn
a → ∞?
Hinweis: Die DGL d2 y
dx 2 (x) − αxy(x) = 0 wird durch die Airy-Funktionen Ai( 3√ α x) und
Bi( 3√ α x) gelöst. Ai( 3√ α x) und Bi( 3√ α x) sind dabei linear unabhängige Lösungen der
DGL. Die Airy-Funktionen haben die Eigenschaft, dass Ai(x)Bi ′ (x) − Bi(x)Ai ′ (x) =
const. ≠ 0. Außerdem kann man die Airy-Funktionen um 0 entwickeln:
Ai(x) ≈Ai(0) + Ai ′ (0)x + 1 6 Ai′′′ (0)x 3 + . . .
Bi(x) ≈Bi(0) + Bi ′ (0)x + 1 6 Bi′′′ (0)x 3 + . . . ,
(H13.2)
wobei die Koeffizienten Ai(0), Ai ′ (0), Ai ′′′ (0), Bi(0), Bi ′ (0) und Bi ′′′ (0) alle ungleich 0
sind. Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen Sie nicht das genaue Aussehen der
Airy-Funktionen kennen.
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