Zyklische Gruppen

Zyklische Gruppen
• Lemma:
Sei (G; ◦) eine Gruppe und g ∈ G.
Gilt ord(g) = n ∈ N, dann ist
〈g〉 = {e, g, g 2 , . . . , g n−1 }
die kleinste Unterguppe von (G; ◦), die g enthält.
• Definition:
Eine Gruppe (G; ◦) heißt zyklisch, wenn es ein g ∈ G mit G = 〈g〉 gibt.
• Es gibt endliche und unendliche zyklische Gruppen.
G = 〈g〉 ⇒ G = 〈g i | i ∈ Z〉
G = 〈g〉 und G endlich ⇒ G = 〈g i | i ∈ N〉

Isomorphie von Gruppen
• Eine Gruppe (G 1 ; ◦ 1 ) heißt zu einer Gruppe (G 2 ; ◦ 2 ) isomorph, wenn es
eine bijektive Abbildung f : G 1 → G 2 mit
∀x, y ∈ G 1 : f(x ◦ 1 y) = f(x) ◦ 2 f(y)
gibt. Die Abbildung f heißt Isomorphismus.
• Die Isomorphie von Gruppen ist eine Äquivalenzrelation.
Man kann von zueinander isomorphen Gruppen sprechen.
• Gruppen sind zueinander isomorph, wenn sie sich nur in der Bezeichnung
der Elemente unterscheiden (isomorphe Gruppen sind Gruppen mit
gleicher Struktur).

Eigenschaften zyklischer Gruppen
• Sei G; ◦ eine zyklische Gruppe.
Ist G unendlich, dann sit die Gruppe zu (Z; +) isomorph.
Ist G endlich (d.h. |G| = n ∈ N), dann ist die Gruppe zu (Z n; + mod n )
isomorph.
• Zyklische Gruppen sind abelsch.
• Rechenregeln in endlichen zyklischen Gruppen der Ordnung n:
g i ◦ g j = g i+j mod n ,
g −i = g n−i = (g i ) −1

Untergruppen zyklischer Gruppen
• Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.
• Sei G = 〈g〉 eine endliche zyklische Gruppe.
(1) Es gibt genau dann eine Untergruppe der Ordnung t in G,
wenn t ein Teiler der Gruppenordnung von G ist.
(2) Zu jedem Teiler t der Gruppenordnung |G| = |〈g〉| = n gibt es
genau eine Untergruppe der Ordnung t von G = 〈g〉, nämlich 〈g n t 〉.
(3) Sei G = 〈g〉 eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n.
Dann gilt:
〈g a 〉 = 〈g b 〉 ⇐⇒ ggT(a, n) = ggT(b, n)
• Jede endliche zyklische Gruppe der Ordnung n hat genau ϕ(n)
erzeugende Elemente (dabei bezeichnet ϕ die Eulersche Funktion).