Kurvendiskussion Logarithmusfunktionen.pdf - gilligan-online
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Aufgabe:<br />
x + 1<br />
Untersuche die Funktion f(x)<br />
= ln ,mit x ∈ D<br />
2<br />
f auf Definitionsbereich, Symmetrie,<br />
x<br />
Asymptoten, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Skizziere sie.<br />
Lösung:<br />
Berechnung der Ableitungen:<br />
x + 1<br />
2<br />
f(x) = ln = ln(x + 1) − ln(x ) = ln(x + 1) − 2ln x<br />
2<br />
x<br />
1 2 x + 2 x + 2<br />
f′<br />
(x) = − = − = −<br />
x + 1 x 2<br />
x + x x(x + 1)<br />
1<br />
f′′<br />
(x) = −<br />
(x + 1)<br />
2<br />
2<br />
+<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
=<br />
x<br />
2<br />
+ 4x + 2 (x + 2 −<br />
=<br />
2<br />
(x + 1) x<br />
2<br />
2)(x + 2 +<br />
(x + 1)<br />
2<br />
2)<br />
Definitionsbereich:<br />
x + 1<br />
> 0 ⇔ x > −1∧<br />
x ≠ 0 ⇒ D<br />
2<br />
x<br />
Die Ränder sind also: -1, + ∞<br />
f<br />
=<br />
{ x ∈ R x > −1∧<br />
x ≠ 0}<br />
Symmetrie:<br />
− x + 1 − x + 1<br />
f( − x) = ln = ln ≠ ± f(x) , also keine der bekannten Symmetrie.<br />
2 2<br />
( −x)<br />
x<br />
Asymptoten:<br />
Verhalten an den Definitionsrändern:<br />
Verhalten für x → +∞ :<br />
x + 1<br />
lim f(x) = lim ln → −∞<br />
x→∞<br />
x→∞<br />
2<br />
x<br />
Verhalten für x →−∞:<br />
lim<br />
+<br />
x→−1<br />
f(x) =<br />
lim<br />
→0<br />
+<br />
x→−1<br />
+<br />
x + 1<br />
ln → −∞<br />
2<br />
x<br />
→0<br />
+<br />
Verhalten an der Definitionslücke und Nennernullstelle x 1 = 0 . Dies ist eine Nennernullstelle<br />
zweiter (also gerader) Ordnung, was einen Pol ohne VZW liefert.<br />
x + 1<br />
lim f(x) = lim ln → +∞ ,<br />
− −<br />
x→0<br />
x→0<br />
2<br />
x<br />
→+∞<br />
also ist an der Stelle x 1 = 0 ein Pol ohne VZW von + → + .<br />
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor<br />
1 © j. gilg 04<br />
<strong>gilligan</strong>
Nullstellen:<br />
Bedingung: f (x) = 0<br />
x +1 x +1<br />
⇔ ln = 0 ⇔ = 1 ⇔<br />
2<br />
2<br />
x x<br />
x<br />
2<br />
=<br />
1<br />
2<br />
+<br />
5<br />
2<br />
, x<br />
3<br />
=<br />
1<br />
2<br />
−<br />
5<br />
2<br />
⇒ N<br />
⇔ x<br />
(<br />
1<br />
1 2<br />
−<br />
2<br />
− x −1<br />
= 0<br />
5<br />
2<br />
/ 0),N<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
+<br />
5<br />
2<br />
/ 0)<br />
Hoch- und Tiefpunkte:<br />
notwendige Bedingung: f ′(x)<br />
= 0<br />
⇔ x + 2 = 0 ⇒ x 4 = −2<br />
∉Df<br />
, also kein Extremwert<br />
Wendepunkte:<br />
notwendige Bedingung: f ′′(x)<br />
= 0<br />
⇔ x<br />
⇒ x<br />
2<br />
6<br />
+ 4x + 2 = 0 ⇒ x<br />
= −2<br />
+ 2<br />
5<br />
= −2<br />
−<br />
2 ∉D<br />
, also kein Wendepunkt<br />
f<br />
hinreichende Bedingung über VZW der zweiten Ableitung:<br />
Die Stelle x 6 = −2<br />
+ 2 ist eine Nullstelle erster (also ungerader) Ordnung der zweiten<br />
Ableitung, demnach liegt ein VZW vor.<br />
<br />
< 0<br />
<br />
> 0<br />
(x + 2 − 2)(x + 2 + 2)<br />
lim f ′′(x)<br />
= lim<br />
< 0<br />
−<br />
−<br />
2 2<br />
x→−2+<br />
2<br />
x→−2+<br />
2 x<br />
<br />
(x + 1)<br />
> 0<br />
Die zweite Ableitung macht an der Stelle x 6 = −2<br />
+ 2 einen VZW von − → + , also einen<br />
Übergang von einer Rechts- in eine Linkskurve, demnach liegt dort ein Wendepunkt.<br />
−1+<br />
2 1+<br />
2<br />
1+<br />
2<br />
f(x6<br />
) = f( −2<br />
+ 2) = ln<br />
= ... = ln ≈ 0,188 ⇒ WP( −2<br />
+ 2 / ln )<br />
2<br />
( 2 2)<br />
2<br />
2<br />
− +<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
y<br />
-2 0 2 4 6 8<br />
-2<br />
x<br />
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor<br />
2 © j. gilg 04<br />
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