Ganzrationale Funktionen.pdf - gilligan-online
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Aufgabe 7:<br />
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch<br />
K. t<br />
(a) Ermittle die Gleichung der Kurve C, auf der alle Tiefpunkte liegen.<br />
(b) Begründe, warum es keine Kurve K gibt, die C senkrecht schneidet.<br />
Aufgabe 8:<br />
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch<br />
sei<br />
(a)<br />
K. t<br />
P t sei diejenige Parabel zweiter Ordnung mit der Symmetrieachse<br />
t<br />
1<br />
4<br />
4<br />
2<br />
f (x) = x − tx mit x ∈R<br />
. Ihr Schaubild sei<br />
t<br />
1<br />
3<br />
3<br />
2<br />
f (x) = x + t x − 3 mit x ∈R<br />
. Ihr Schaubild<br />
t<br />
x = − 3 , die K<br />
4 t im Wendepunkt<br />
berührt. Bestimme die Gleichung der Parabel.<br />
(b) Für welchen Wert von t hat der Inhalt des von der Wendetangente, der Normalen im Wendepunkt<br />
und der x-Achse gebildeten Dreiecks ein Minimum? Führe den Nachweis des Minimums<br />
ohne die zweite Ableitung durch.<br />
Aufgabe 9:<br />
Für jedes t ∈ R \ {} 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f (x)<br />
1 3 2<br />
x tx<br />
1 2<br />
t = − + t x; x ∈R<br />
2<br />
2<br />
Ihr Schaubild sei K t<br />
(a) Untersuche K t auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch-, Tief- und<br />
Wendepunkte. Zeichne K 3 im Bereich − 1 ≤ x ≤ 4 sowie seine Wendetangente.<br />
(b) Welche Kurve C bilden die Wendepunkte W t der Kurven K t für alle zugelassenen Werte<br />
von t? Für welche Werte von t schneiden C und K t einander in W t senkrecht?<br />
(c) Eine Parabel zweiter Ordnung P t geht durch die gemeinsamen Punkte von K t mit der x-<br />
Achse und berührt K t im Ursprung. Weise durch Rechnung nach, dass K t und P t keine<br />
weiteren gemeinsamen Punkte haben. K t teilt die von P t und der x-Achse eingeschlossene<br />
Fläche. In welchem Verhältnis stehen die Inhalte der Teilflächen?<br />
(d) Welche Beziehung muß zwischen t1 und t 2 ( t1<br />
≠ t 2 ) bestehen, damit sich die Kurven<br />
K t und K<br />
1 t 2<br />
im Ursprung berühren?<br />
Zeige:<br />
Zwei Kurven K t und K<br />
1 t 2<br />
, die sich nicht im Ursprung berühren, schneiden sich genau in zwei<br />
Punkten.<br />
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor<br />
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