Schwingungslehre-Prüfungsaufgaben - gilligan-online
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<strong>Prüfungsaufgaben</strong><br />
<strong>Schwingungslehre</strong><br />
Idee: Jürgen Gilg<br />
Gestaltung: Simon Singer<br />
Günther Kurz<br />
Anregungen und Kommentare willkommen<br />
gunther.kurz@fht-esslingen.de
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 01<br />
Ein Körper (Masse m = 50 g ) ist an einer idealen Feder befestigt. Der Körper<br />
schwingt ungedämpft und harmonisch. Die Amplitude der Schwingungen ist<br />
yˆ = 18 cm und die Schwingungsdauer ist T 0 = 4,0 s .<br />
Die Anfangsbedingungen für die Schwingungen sind:<br />
Der Körper wird um y( 0) = 18 cm aus seiner Ruhelage ausgelenkt und anschießend<br />
ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen.<br />
(a) Bestimmen Sie Eigenfrequenz<br />
Schwingungen.<br />
f0<br />
und Eigenkreisfrequenz ω 0 der ungedämpften<br />
(b) Bestimmen Sie die Federkonstante c der Feder.<br />
(c) Geben Sie das Weg-Zeit-Gesetz y(t) für die beschriebenen Schwingungen an.<br />
(d) Welche Auslenkung y(0,5 s) aus der Ruhelage und welche Geschwindigkeit<br />
v(0,5 s) hat der Körper zum Zeitpunkt t = 0,5 s ?<br />
(e) Welche maximale Geschwindigkeit<br />
(f) Bestimmen Sie die Gesamtenergie<br />
v max<br />
E ges<br />
hat der schwingende Körper?<br />
des Feder-Masse-Systems.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 01
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 01 – Kurzlösungen<br />
(a) Eigenfrequenz<br />
f<br />
= 0,25 −<br />
0 s<br />
(b) Federkonstante c = 0,123 Nm .<br />
1<br />
; Eigenkreisfrequenz<br />
−1<br />
π −<br />
(c) Weg-Zeit-Gesetz y = 18 cm ⋅cos(<br />
s<br />
1 t)<br />
.<br />
2<br />
(d) Zeitpunkt t = 0,5 s :<br />
Auslenkung aus der Ruhelage<br />
π −1<br />
ω 0 = s .<br />
2<br />
y ( t = 0,5 s) = 12,73 cm ;<br />
Geschwindigkeit v(<br />
t = 0,5 s) = − 20,0 cms .<br />
(e) Maximale Geschwindigkeit<br />
max<br />
(f) Gesamtenergie E = 1,99 ⋅10<br />
J.<br />
ges<br />
−1<br />
v = 28,2 cm s .<br />
−3<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 01
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 01 – Musterlösung<br />
(a) Aus der Schwingungsdauer<br />
1 1<br />
0 s −1<br />
= = = 0,25<br />
T 0 4,0 s<br />
f<br />
und die Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
2 π 2 π π<br />
0 s −1<br />
= = =<br />
T0<br />
4,0 s 2<br />
T 0<br />
erhält man für die Eigenfrequenz<br />
(b) Die Federkonstante c kann aus der Masse m des Körpers und der<br />
Eigenkreisfrequenz ω des Federpendels bestimmt werden. Aus<br />
wird<br />
ω 2<br />
0<br />
=<br />
c<br />
m<br />
c = m ω<br />
2<br />
0<br />
= 0,123 Nm<br />
−1<br />
0<br />
= 50 ⋅10<br />
−3<br />
2<br />
π<br />
kg ⋅<br />
4<br />
s<br />
−2<br />
⋅(m⋅m<br />
−1<br />
)<br />
(c) Für eine harmonische Schwingung lässt sich das Weg-Zeit-Gesetz darstellen als<br />
ˆ<br />
0 ϕ0<br />
ˆ<br />
0 ϕ0<br />
y = y cos( ω t + ) oder y = y sin( ω t + )<br />
Dabei ist die Eigenkreisfrequenz ω 0 eine für das schwingende System<br />
charakteristische Größe. Amplitude ŷ und Nullphasenwinkel ϕ 0 bestimmen sich aus<br />
den Anfangsbedingungen; diese sind y ( 0) = 18 cm und v ( 0) = y& (0) = 0 .<br />
Bei Auslenken des Körpers und anschließendem Loslassen ohne<br />
Anfangsgeschwindigkeit kann die Auslenkung nie größer werden, als eben diese<br />
Anfangsauslenkung, d. h. die Anfangsauslenkung muss gleich der Amplitude der<br />
harmonischen Bewegung sein. In einer Beschreibung als Kosinus-Funktion wird<br />
vereinfachend der Nullphasenwinkel gleich null. Damit kann man sofort schreiben<br />
π −<br />
y = 18 cm ⋅cos(<br />
s<br />
1 t)<br />
2<br />
[Durch Ableiten und Bestimmen der Funktionswerte für den Zeitpunkt t = 0 können<br />
Sie auch nachweisen, dass die vorgegebenen Anfangsbedingungen erfüllt sind.]<br />
(d) Zum Zeitpunkt<br />
π<br />
y(<br />
t = 0,5 s) = 18 cm ⋅cos(<br />
s<br />
2<br />
= 12,7 cm<br />
t = 0,5 s wird die Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage<br />
−1<br />
⋅ 0,5 s) = 18 cm ⋅cos(<br />
π<br />
)<br />
4<br />
= 18 cm ⋅<br />
die Geschwindigkeit ergibt sich als erste Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes zu<br />
v = y&<br />
= − y ω sin( ω )<br />
Zum Zeitpunkt<br />
ˆ<br />
0 0t<br />
t = 0,5 s<br />
wird die Geschwindigkeit des Körpers<br />
1<br />
2<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 01
π<br />
v(<br />
t = 0,5 s) = − 18 cm ⋅ s<br />
2<br />
= − 20,0 cms<br />
−1<br />
−1<br />
π<br />
⋅ sin( s<br />
2<br />
−1<br />
⋅ 0,5 s) = − 28,3 cms<br />
Bei einer Anfangsauslenkung in die positive Koordinatenrichtung ist die<br />
Geschwindigkeit in der ersten Viertelperiode auf die Ruhlage hin, also in negative<br />
Koordinatenrichtung, gerichtet.<br />
−1<br />
⋅<br />
1<br />
2<br />
2<br />
(e) Seine maximale Geschwindigkeit hat der Körper beim Nulldurchgang. Die<br />
Nulllage wird nach einer Viertelschwingung, also nach<br />
erhält durch stures Einsetzen<br />
π<br />
v(<br />
t = 1s) = − 18 cm ⋅ s<br />
2<br />
= − 28,3 cms<br />
−1<br />
−1<br />
π<br />
⋅ sin( s<br />
2<br />
−1<br />
⋅1s)<br />
= − 28,3 cms<br />
t = T0 = 1,0 s erreicht. Man<br />
4<br />
Eine einfachere Argumentation lautet: Die Geschwindigkeit ist gegeben durch<br />
v = y&<br />
= − y ω sin( ω )<br />
ˆ<br />
0 0t<br />
Für den Betrag der Sinus-Funktion gilt<br />
0 ≤ sin( ω0t<br />
) ≤ 1<br />
deshalb ist der Betrag der maximalen Geschwindigkeit des Körpers gegeben durch<br />
den Vorfaktor im Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz<br />
v<br />
max<br />
= yˆ<br />
ω<br />
0<br />
π<br />
= 18 cm ⋅ s<br />
2<br />
− 1<br />
=<br />
28,3 cms<br />
−1<br />
−1<br />
⋅1<br />
Eine alternative Lösung benutzt das Ergebnis von Teilaufgabe (f); sie wird im<br />
Anschluss an Teilaufgabe (f) besprochen.<br />
(f) Bei Loslassen zum Zeitpunkt t = 0 s ist die Anfangsgeschwindigkeit null und<br />
damit auch die kinetische Energie des Körpers null.<br />
E<br />
( y = yˆ)<br />
kin =<br />
0<br />
Die Gesamtenergie des schwingenden Systems ist gleich der potentiellen Energie<br />
der gespannten Feder zum Zeitpunkt des Loslassens, also bei maximaler<br />
Auslenkung.<br />
1 1<br />
ˆ<br />
2<br />
−1<br />
2<br />
Eges<br />
= Epot<br />
( y = yˆ)<br />
= cy<br />
= ⋅ 0,123 Nm ⋅(0,18 m)<br />
2 2<br />
−3<br />
= 1,99 ⋅10<br />
Nm<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 01
Alternativer Lösungsweg zu Teilaufgabe (e)<br />
Bei bekannter Gesamtenergie<br />
E ges<br />
und Masse m des Körpers kann die<br />
Geschwindigkeit für den Nulldurchgang bestimmt werden. Bei entspannter Feder ist<br />
die potentielle Energie der Feder<br />
E pot ( y = 0) = 0<br />
Die Gesamtenergie beim Nulldurchgang wird allein repräsentiert durch die kinetische<br />
Energie<br />
und<br />
1<br />
E ges = Ekin( y = 0) = mv<br />
2<br />
v<br />
v<br />
2<br />
max<br />
max<br />
2E<br />
=<br />
m<br />
ges<br />
= 7,96 ⋅10<br />
= 0,282 ms<br />
−2<br />
m<br />
2<br />
s<br />
−2<br />
2<br />
max<br />
2 ⋅1,99<br />
⋅10<br />
=<br />
50 ⋅10<br />
− 1<br />
=<br />
−3<br />
−3<br />
kg<br />
28,2 cms<br />
Nm<br />
−1<br />
Die geringfügige Abweichung zum Ergebnis der Teilaufgabe (e) erklärt sich durch<br />
Rundungsfehler.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -5-<br />
Prüfungsaufgabe 01
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 02<br />
Ein Körper (Masse<br />
−1<br />
m = 300 g ) hängt an einer idealen Feder (Federkonstante<br />
c = 5,0 Nm ). Nach einmaligem Anstoß führt das System schwach gedämpfte<br />
Schwingungen aus. Man beobachtet, dass in zehn Schwingungsperioden die<br />
Auslenkungen jeweils auf die Hälfte des Anfangswertes abklingen.<br />
(a) Bestimmen Sie Eigenkreisfrequenz ω 0 , Eigenfrequenz<br />
Schwingungsdauer des ungedämpften Systems.<br />
T 0<br />
(b) Bestimmen Sie den Abklingkoeffizient δ und den Dämpfungsgrad D des<br />
gedämpften Systems.<br />
(c) Welche Länge L muss ein Fadenpendel haben, um mit der Schwingungsdauer<br />
des ungedämpften Federpendels zu schwingen?<br />
(d) In einem Gedankenversuch werden die beiden Pendel auf den Mond gebracht.<br />
Wie ändern sich die Schwingungsdauern von ungedämpftem Federpendel und<br />
Fadenpendel jeweils im Vergleich zur ihrer Schwingungsdauer an der<br />
Erdoberfläche?<br />
f 0<br />
und<br />
(Für die Verhältnisse der Fallbeschleunigungen gilt g g 6 : 1)<br />
Erde : Mond =<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 02
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 02 – Musterlösung<br />
(a) Die Eigenkreisfrequenz ω 0 des ungedämpften Systems erhält man aus<br />
Federkonstante c und angehängter Masse m aus der Beziehung<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
=<br />
damit wird<br />
ω<br />
c<br />
m<br />
= 16,67 s<br />
= 4,08 −<br />
0 s<br />
−2<br />
−1<br />
5,0 Nm 16,67 kgms<br />
= =<br />
0,300 kg<br />
kg<br />
1<br />
−2<br />
Für den Zusammenhang zwischen Eigenkreisfrequenz ω 0 und Eigenfrequenz<br />
also<br />
ω 0 = 2πf 0<br />
f<br />
0<br />
ω0<br />
=<br />
2π<br />
= 0,650 s<br />
4,08 s<br />
=<br />
2π<br />
−1<br />
−1<br />
⋅m<br />
Für den Zusammenhang zwischen Eigenkreisfrequenz ω 0 und Schwingungsdauer<br />
T 0<br />
also<br />
gilt<br />
ω<br />
T<br />
0<br />
0<br />
1<br />
= 2π<br />
T<br />
0<br />
1<br />
= 2π<br />
ω<br />
0<br />
= 1,54 s<br />
2π<br />
=<br />
4,08 s<br />
−1<br />
−1<br />
f 0<br />
gilt<br />
(b) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems lassen sich<br />
darstellen als<br />
−δ t<br />
y = y ˆ 0 ⋅ e cos( ωdt<br />
+ ϕ 0 )<br />
ˆ −δ t<br />
0 d ϕ 0<br />
oder y = y ⋅e<br />
sin( ω t + )<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende<br />
Exponentialfunktion zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
oder<br />
y<br />
y<br />
yˆ<br />
= y 0 e<br />
einh<br />
ˆ<br />
einh<br />
0<br />
= e<br />
−δt<br />
−δt<br />
Logarithmieren liefert<br />
y<br />
ln[<br />
yˆ<br />
einh<br />
0<br />
] = ln[ e<br />
−δ t<br />
] = −δt<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 02
Unter der Annahme ’schwacher Dämpfung’, also 0 < D ≤ 0, 1 gilt für die<br />
Schwingungsdauern mit Dämpfung die Näherung Td<br />
≈ T0<br />
.<br />
Für zehn Schwingungsperioden, also für das Zeitintervall t = 10 T0<br />
, gilt für das<br />
Verhältnis der Auslenkungen<br />
y<br />
p = y<br />
einh =<br />
ˆ0<br />
Es wird also<br />
1<br />
2<br />
1<br />
ln[ ] = −δ ⋅10<br />
⋅1,54 s<br />
2<br />
Der Abklingkoeffizient ergibt sich daraus zu<br />
ln(1) − ln(2) 0 − 0,693<br />
δ = − [ ] = − [ ]<br />
15,4 s 15,4 s<br />
= 4,50 ⋅10<br />
− 2 −1<br />
s<br />
Der Dämpfungsgrad des gedämpften Systems bestimmt sich aus Abklingkoeffizient<br />
und Eigenkreisfrequenz ω zu<br />
δ 0<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
= 1,10 ⋅10<br />
−2<br />
−2<br />
4,50 ⋅10<br />
=<br />
4,08 s<br />
s<br />
−1<br />
−1<br />
Mit 0 < D ≤ 0,1 liegt für das System schwache Dämpfung vor; die oben gemachte<br />
Näherung T ≈ ist gerechtfertigt.<br />
d T 0<br />
(c) Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels (Fadenlänge L ) bei kleinen<br />
Auslenkungen aus der Ruhelage nahe der Erdoberfläche (Fallbeschleunigung)<br />
ist<br />
T<br />
0 = 2<br />
π<br />
L<br />
g<br />
Erde<br />
daraus erhält man für die Fadenlänge<br />
2<br />
T0<br />
gE<br />
(1,54 s) ⋅9,81ms<br />
L = =<br />
2<br />
2<br />
4π<br />
4π<br />
= 58,9 cm<br />
2<br />
−2<br />
= 0,589 m<br />
g E<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 02
(d) Die Schwingungsdauer eines Feder-Masse-Systems hängt nur von den<br />
Eigenschaften der Feder (Federkonstante c ) und der Masse m des angehängten<br />
Körpers ab. Die Schwingungsdauer ändert sich deshalb bei Verbringen auf den<br />
Mond nicht.<br />
Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels hängt von der Fallbeschleunigung ab<br />
(vgl. Teilaufgabe (c)).<br />
Es gilt für die Schwingungsdauern auf der Erde und auf dem Mond<br />
T<br />
Erde<br />
0<br />
L<br />
= 2π<br />
und<br />
g<br />
Erde<br />
T<br />
Mond<br />
0 = 2<br />
π<br />
g<br />
L<br />
Mond<br />
das Verhältnis der beiden Schwingungsdauern wird<br />
oder<br />
T<br />
Mond<br />
0<br />
Erde<br />
0<br />
T<br />
Mond<br />
=<br />
2π<br />
2π<br />
T0 = 6 ⋅T<br />
g<br />
L<br />
Mond<br />
L<br />
g<br />
Erde<br />
Erde<br />
0<br />
=<br />
g<br />
g<br />
Erde<br />
Mond<br />
=<br />
6 ⋅ g<br />
g<br />
Mond<br />
Mond<br />
Wie erwartet nimmt mit kleiner werdender Fallbeschleunigung die Schwingungsdauer<br />
zu.<br />
=<br />
6<br />
1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 02
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 03<br />
Ein Feder-Masse-System (Masse m = 400 g , Federkonstante c = 5,0 Nm ) führt<br />
viskos gedämpfte Schwingungen aus. Die Dämpfungskraft ist proportional zur<br />
Geschwindigkeit des schwingenden Körpers. Bei einer Geschwindigkeit des Körpers<br />
von<br />
−1<br />
v r = 0,50 ms ist der Betrag der Reibungskraft Fr reib = 0,25 N.<br />
(a) Welche Schwingungsdauer<br />
T 0<br />
gehört zum ungedämpften System?<br />
(b) Bestimmen Sie den Abklingkoeffizienten δ , den Dämpfungsgrad D und die<br />
Schwingungsdauer des gedämpften Systems.<br />
T d<br />
(c) Um welchen Bruchteil p nehmen die Auslenkungen in jeweils einer<br />
Schwingungsperiode ab?<br />
(d) Welcher Dämpfungskoeffizient<br />
eingestellt werden?<br />
b aperiod<br />
−1<br />
muss für den aperiodischen Grenzfall<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 03
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 03 – Kurzlösungen<br />
(a) Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
−1<br />
0 = 3,536<br />
s<br />
(b) Dämpfungskoeffizient b = 0,50 kgs .<br />
−1<br />
Abklingkoeffizient δ = 0,625 0 s .<br />
Dämpfungsgrad D = 0,176 8 .<br />
; Schwingungsdauer<br />
Kreisfrequenz (gedämpftes System) ω = 3,48 s .<br />
Schwingungsdauer (gedämpftes System) T d = 1,80 6 s.<br />
−1<br />
(c) Verhältnis der Auslenkungen p = 0,323 .<br />
(d) Dämpfungskoeffizient b = 2,83 kgs<br />
.<br />
aperiod<br />
d<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
T 0 = 1,77 7 s .<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 03
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 03 – Musterlösung<br />
(a) Für ein Feder-Masse-System legen Masse m des Körpers und Federkonstante<br />
c die Eigenkreisfrequenz ungedämpfter Schwingungen eindeutig fest. Es gilt<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
=<br />
c<br />
m<br />
5,0 Nm<br />
=<br />
400 g<br />
= 12,50 s<br />
−2<br />
−1<br />
ω 0<br />
−2<br />
5,0 kgms m<br />
=<br />
0,400 kg<br />
damit wird die Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
−1<br />
0 = 3,536<br />
s<br />
Daraus ergibt sich die Schwingungsdauer des ungedämpften Systems zu<br />
T<br />
0<br />
2π<br />
=<br />
ω<br />
0<br />
= 1,77<br />
2π<br />
=<br />
3,53 s<br />
7<br />
s<br />
6<br />
−1<br />
−1<br />
Alternative Vorgehensweise<br />
Man bestimmt zuerst T0<br />
und anschließend ω 0 ; also<br />
und<br />
T<br />
ω<br />
0<br />
0<br />
= 2π<br />
= 1,77<br />
0<br />
m<br />
c<br />
7<br />
= 3,53<br />
6<br />
= 2π<br />
s<br />
2π<br />
2π<br />
= =<br />
T 1,78 s<br />
s<br />
−1<br />
0,400 kg<br />
5,0 kgms<br />
−2<br />
m<br />
−1<br />
(b) Bestimmung des Dämpfungskoeffizienten b eines geschwindigkeitsproportionalen<br />
Reibungsgesetzes. Für den Betrag der Reibungskraft gilt<br />
r r<br />
F = b ⋅ v<br />
reib<br />
also wird mit den gegebenen Werten der Dämpfungskoeffizient<br />
r<br />
Freib<br />
−2<br />
0,25 N 0,25 kgms<br />
b = r =<br />
=<br />
v<br />
−1<br />
−1<br />
0,50 ms 0,50 ms<br />
= 0,50 kgs<br />
−1<br />
Der Abklingkoeffizient δ bestimmt sich aus Dämpfungskoeffizient b und Masse m<br />
des Körpers zu<br />
δ =<br />
2<br />
b<br />
m<br />
= 0,625<br />
0<br />
s<br />
−1<br />
−1<br />
0,50 kgs<br />
=<br />
2 ⋅ 0,400 kg<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 03
Der Dämpfungsgrad D bestimmt sich aus Abklingkoeffizient δ und<br />
Eigenkreisfrequenz ω 0 zu<br />
Mit<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
= 0,176<br />
0,625<br />
=<br />
3,53<br />
8<br />
6<br />
0<br />
s<br />
s<br />
−1<br />
−1<br />
D ≥ 0,1 liegt für das System starke Dämpfung vor.<br />
Für die Kreisfrequenz eines viskos gedämpften Systems gilt mit Benutzung des<br />
Abklingkoeffizienten δ die Beziehung<br />
ω<br />
2<br />
d<br />
= ω<br />
damit wird<br />
ω<br />
d<br />
2<br />
0<br />
−<br />
= (3,53<br />
6<br />
= 12,10<br />
= 3,48<br />
0<br />
9<br />
s<br />
δ<br />
s<br />
2<br />
−1<br />
s<br />
−1<br />
)<br />
−2<br />
2<br />
− (0,625 s<br />
−1<br />
)<br />
2<br />
= (12,50<br />
3<br />
− 0,3906) s<br />
−2<br />
Alternativer Lösungsweg<br />
Für die Kreisfrequenz eines viskos gedämpften Systems gilt mit Benutzung des<br />
Dämpfungsgrads D<br />
ω<br />
d<br />
= ω<br />
0<br />
= 3,48<br />
1−<br />
D<br />
0<br />
s<br />
2<br />
−1<br />
= 3,53<br />
6<br />
s<br />
−1<br />
⋅<br />
1−<br />
0,176<br />
2<br />
8<br />
= 3,53<br />
6<br />
s<br />
−1<br />
⋅ 0,984<br />
Aus der Kreisfrequenz ωd<br />
ergibt sich die Schwingungsdauer Td<br />
des gedämpften<br />
Systems<br />
T<br />
d<br />
2π<br />
=<br />
ω<br />
d<br />
= 1,80<br />
2π<br />
=<br />
3,48 s<br />
6<br />
s<br />
0<br />
−1<br />
Zur Erinnerung: Die Schwingungsdauer<br />
Teilaufgabe (a)) war<br />
T 0 = 1,77 7<br />
s<br />
T 0<br />
des ungedämpften Systems (vgl.<br />
2<br />
(c) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems lassen sich<br />
darstellen als<br />
−δ t<br />
y = y ˆ 0 ⋅e<br />
cos( ωdt<br />
+ ϕ 0 )<br />
ˆ −δ t<br />
0 d ϕ 0<br />
oder y = y ⋅e<br />
sin( ω t + )<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende<br />
Exponentialfunktion zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
y<br />
= y 0<br />
einh<br />
ˆ<br />
⋅e<br />
−δ t<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 03
oder<br />
y<br />
yˆ<br />
einh<br />
0<br />
= e<br />
−δ<br />
t<br />
Für das Verhältnis p der Auslenkungen im zeitlichen Abstand einer<br />
Schwingungsperiode, also für t = T d , wird<br />
p = e<br />
−δTd<br />
= 0,323<br />
= e<br />
−1<br />
−(0,625 s ) ⋅(1,806<br />
s)<br />
= e<br />
−1,13<br />
(d) Für den aperiodischen Grenzfall ist der Dämpfungsgrad D = 1. Der aperiodische<br />
Grenzfall steht zwischen dem Schwingfall mit D < 1 und dem Kriechfall mit D > 1.<br />
Wegen<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
= 1<br />
wird für den aperiodischen Grenzfall<br />
δ = ω 0<br />
Damit wird der Dämpfungskoeffizient<br />
b<br />
aperiod<br />
= 2mω<br />
0<br />
= 2,83 kgs<br />
= 2 ⋅0,400 kg ⋅3,53<br />
−1<br />
6<br />
s<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 03
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 04<br />
c<br />
An einer idealen Schraubenfeder<br />
−1<br />
(Federkonstante c = 0,1Ncm ) hängt eine<br />
flache Waagschale (Masse M = 100 g)<br />
[vgl. Skizze].<br />
m<br />
M<br />
(a) Welche statische Auslenkung y stat der Feder aus ihrer entspannten Lage bewirkt<br />
die angehängte Waagschale?<br />
Auf die Waagschale lässt man aus H = 20 cm eine kleine Knetkugel (Masse<br />
m = 20 g ) fallen. Nach dem Aufprall bleibt die Kugel auf der Schale liegen.<br />
(b) Welche Fallgeschwindigkeit<br />
v E<br />
hat die Knetkugel unmittelbar vor dem Aufprall?<br />
(c) Welche gemeinsame Geschwindigkeit u 0 haben Schale und Knetmasse<br />
unmittelbar nach dem Aufprall?<br />
Nach dem Aufprall beobachtet man ungedämpfte harmonische Schwingungen des<br />
beschriebenen Systems.<br />
(d) Welche Schwingungsdauer hat das schwingende System?<br />
T 0<br />
−2<br />
Rechnen Sie bitte vereinfachend mit g = 10 ms .<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 04
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 04 – Kurzlösungen<br />
(a) Statische Auslenkung y stat = 10 cm .<br />
−1<br />
(b) Fallgeschwindigkeit bei Aufprall v = 2,0 ms<br />
.<br />
(c) Gemeinsame Geschwindigkeit nach Aufprall u = 0,333 m .<br />
(d) Schwingungsdauer T 0 = 0,688 s .<br />
E<br />
−1<br />
0 s<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 04
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 04 – Musterlösung<br />
(a) Für ein lineares Kraftgesetz ist nach HOOKE die Auslenkung proportional zur<br />
angreifenden Kraft<br />
F = c y ext (die äußere (externe) Kraft wirkt in Richtung der Auslenkung);<br />
damit ist im Gleichgewicht die rücktreibende Kraft der Feder<br />
Frück<br />
= −c<br />
Die äußere Kraft ist die auf die Waagschale wirkende Gewichtskraft<br />
F F = mg<br />
ext<br />
= G<br />
Für die statische Auslenkung aus der Ruhelage der entspannten Feder gilt also<br />
damit<br />
m g =<br />
y<br />
stat<br />
=<br />
c y stat<br />
m g<br />
c<br />
= 10 cm<br />
−2<br />
0,1kg⋅10 ms 0,1kg⋅10 ms<br />
−1<br />
=<br />
=<br />
= 1,0 ⋅10<br />
m<br />
−1<br />
−2<br />
−2<br />
−1<br />
0,1Ncm 0,1kgms (10 m)<br />
−2<br />
y<br />
(b) Die Geschwindigkeit der Knetkugel beim Aufprall ergibt sich – natürlich alles<br />
ohne Luftreibungskräfte – aus dem Energiesatz in der Fassung der Mechanik. Dieser<br />
liefert für den Zeitpunkt<br />
• des Loslassens E (Anfang) 0 E (Anfang) = m g H<br />
kin =<br />
1 2<br />
• des Aufpralls E kin(Ende)<br />
= mvE<br />
E pot (Ende) = 0<br />
2<br />
der Energieerhaltungssatz liefert also die Beziehung<br />
1 2<br />
mgH = mvE<br />
2<br />
damit<br />
und<br />
v<br />
v<br />
2<br />
E<br />
E<br />
=<br />
−2<br />
= 2 gH = 2⋅10 ms ⋅0,20 m = 4,0 m<br />
2,0 ms<br />
−1<br />
2<br />
s<br />
-2<br />
pot<br />
Lösungsvariante (Anwendung kinematischer Beziehungen)<br />
Es gelten ohne Luftreibung die Gesetze des ’freien Falls‘ mit der konstanten<br />
Fallbeschleunigung g = const. ; allgemein<br />
• Weg-Zeit-Gesetz:<br />
1 2<br />
h = gt + v 0t<br />
+ h0<br />
2<br />
• Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: v = gt + v 0<br />
Speziell mit den Bedingungen h 0 (Anfangskoordinate im Nullpunkt)<br />
0 =<br />
und v 0 = 0 (‘ohne Anfangsgeschwindigkeit‘) erhält man<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 04
1 h = gt<br />
2 und v = gt<br />
2<br />
Beide Beziehungen miteinander kombiniert liefern<br />
für<br />
1 v<br />
h = g<br />
2 g<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 v<br />
=<br />
2 g<br />
h = H und v = v E also<br />
2<br />
vE = 2gH<br />
(c) Die Aussage “die Knetkugel bleibt nach dem Stoß auf der Waagschale liegen“<br />
bedeutet; dass sich beide Körper unmittelbar nach dem Stoß mit gleicher,<br />
einheitlicher Geschwindigkeit bewegen. Damit liegt – nach der Definition – ein<br />
vollständig inelastischer Stoß vor. Da nur innere Kräfte wirken gilt der<br />
Impulserhaltungssatz; also<br />
’Impuls der Kugel vor Aufprall’ = ’Impuls des Systems nach Aufprall’, also<br />
mv ( + u<br />
E = M m)<br />
u 0<br />
0<br />
dabei ist die gemeinsame Anfangsgeschwindigkeit der beiden, aneinander<br />
haftenden, Körper unmittelbar nach Aufprall der Knetkugel. Damit wird<br />
u<br />
0<br />
m<br />
= v<br />
( M + m)<br />
= 0,333 ms<br />
E<br />
−1<br />
20 g<br />
=<br />
⋅ 2,0 ms<br />
(100 + 20) g<br />
−1<br />
T 0<br />
(d) Die Schwingungsdauer des Feder-Masse-Systems wird eindeutig durch die<br />
Kenngrößen des schwingungsfähigen Systems bestimmt; diese sind<br />
• Federkonstante c und<br />
• Gesamtmasse ( M + m) des angehängten Körpers.<br />
Für Eigenkreisfrequenz und Schwingungsdauer T gelten die Beziehungen<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
c<br />
=<br />
( M + m)<br />
bzw. gleichberechtigt – mit<br />
T<br />
0<br />
= 2π<br />
( M + m)<br />
c<br />
die Schwingungsdauer wird<br />
T<br />
0<br />
= 2π<br />
= 0,688 s<br />
( M + m)<br />
= 2π<br />
c<br />
ω0<br />
0<br />
ω<br />
0<br />
2π<br />
=<br />
T<br />
0<br />
0,1kgms<br />
0,120 kg<br />
−2<br />
(10<br />
−2<br />
m)<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 04
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 05<br />
Eine kleine Kugel (Masse m = 100 g )<br />
fällt aus der Höhe h = 20 cm auf eine<br />
entspannte und (idealisierend)<br />
masselose Feder (Federkonstante<br />
-1<br />
c = 20 Nm ) (vgl. Abb. A; die Feder<br />
soll reibungsfrei in einem Zylinder<br />
geführt werden).<br />
Die Kugel m haftet auf der Feder und<br />
führt harmonische Schwingungen<br />
aus.<br />
Von Reibungseinflüssen ist<br />
abzusehen.<br />
h<br />
m<br />
y = 0<br />
y 0<br />
y max<br />
+ y<br />
Abb. A Abb. B Abb. C Abb. D<br />
(a) Um welche maximale Strecke y = ymax<br />
(vgl. Abb. C) wird die ursprünglich<br />
entspannte Schraubenfeder zusammengedrückt?<br />
(b) Mit welcher Frequenz schwingt das Feder-Masse-System?<br />
f 0<br />
(c) Um welche Gleichgewichtslage y = y0<br />
(vgl. Abb. D) erfolgt die Schwingung?<br />
(d) Bestimmen Sie die Amplitude<br />
ŷ<br />
der Schwingung.<br />
(e) Wie lauten die Anfangsbedingungen y (0) und y& (0)<br />
für den Zeitpunkt t = 0 des<br />
Auftreffens der Kugel auf die entspannte Feder?<br />
(f) Skizzieren Sie den qualitativen Verlauf der Schwingung y(t) in einem<br />
y,t-Diagramm.<br />
(g) Geben Sie formelmäßig die Funktion y(t) für diese Schwingung an; legen Sie<br />
dabei die in Abb. B festgelegte y-Achse zu Grunde.<br />
Berechnen Sie den Nullphasenwinkel der Schwingung y(t) aus den<br />
Anfangsbedingungen. Hinweis: Der Nullphasenwinkel liegt im 3. Quadranten.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 05
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 05 – Kurzlösungen<br />
(a) Maximale Auslenkung y max = 19,8 cm .<br />
(b) Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
= 14,1 −<br />
0 s<br />
(c) Statische Gleichgewichtslage<br />
ˆ<br />
max 0 =<br />
(d) Amplitude y = y − y 14,8 cm.<br />
(e) Anfangsauslenkung y( 0) = 0 .<br />
1<br />
; Eigenfrequenz<br />
y 0 = 4,9 cm .<br />
f 0 = 2,25 Hz .<br />
Anfangsgeschwindigkeit = Geschwindigkeit bei Aufprall y& (0) = v 0 = 1,98 ms .<br />
(f)-(g) Nullphasenwinkel ϕ 0 = 4,38 ( ϕ0 = 251 im Gradmaß).<br />
Bewegungsgleichung y(<br />
t)<br />
= 4,9 cm + 14,8 cm⋅<br />
cos(14,1s ⋅t<br />
+ 4,38) .<br />
o<br />
−1<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 05
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 05 – Musterlösung<br />
(a) Die Fallhöhe der Kugel bis zur maximalen Stauchung ist ( h + ymax<br />
). Daraus<br />
ergibt sich die Absenkung der potentiellen Energie der Lage<br />
Lage<br />
pot<br />
E = mg( h + ymax )<br />
die in der Feder bei maximaler Stauchung gespeicherte potentielle Energie ist<br />
Feder 1 E pot = cy<br />
2<br />
2<br />
max<br />
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt<br />
1<br />
mg ( h + ymax<br />
) = cy<br />
2<br />
2<br />
max<br />
Dies liefert eine quadratische Gleichung für<br />
1<br />
cy<br />
2<br />
2<br />
max − mgy max − mgh =<br />
Mit der Mitternachtsformel folgt<br />
y<br />
max 1/ 2<br />
mg ±<br />
=<br />
m<br />
2<br />
g<br />
c<br />
2<br />
0<br />
+ 2mghc<br />
ymax<br />
Umformung liefert (jeder Term des Zählers wird durch c dividiert; unter dem<br />
Wurzelzeichen also durch c )<br />
2<br />
2<br />
2<br />
mg m g mg mg ⎛ mg ⎞ ⎛ mg<br />
ymax<br />
1/ 2 = ± + 2h<br />
= ± ⎜ ⎟ + 2h⎜<br />
c 2<br />
c c c ⎝ c ⎠ ⎝ c<br />
Die negative Lösung ist wegen<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
mg<br />
c<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ mg<br />
+ 2h⎜<br />
⎝ c<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
><br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
mg<br />
c<br />
physikalisch sinnlos, also bleibt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
mg ⎛ mg ⎞ ⎛ mg<br />
y max = + ⎜ ⎟ + 2h<br />
⎜<br />
c ⎝ c ⎠ ⎝ c<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
die vorgegebenen Werte eingesetzt, erhält man für die auftretende Größe<br />
mg<br />
c<br />
m<br />
= 0,1kg ⋅ 9,81<br />
2<br />
s<br />
= 4,9 cm<br />
1<br />
⋅<br />
20 (kgm s<br />
−2<br />
)m<br />
−1<br />
damit wird schließlich die maximale Auslenkung<br />
= 49,1⋅10<br />
-3<br />
m<br />
mg<br />
c<br />
y<br />
max<br />
= 0,049 m +<br />
= 0,049 m +<br />
= 19,8 cm<br />
0,049<br />
2<br />
2,20 ⋅10<br />
m<br />
-2<br />
2<br />
+ 2 ⋅0,2 m ⋅0,049 m<br />
m<br />
2<br />
= 0,049 m + 0,148 m = 0,198 m<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 05
(b) Die Eigenkreisfrequenz ω 0 eines Feder-Masse-Systems bestimmt sich aus der<br />
Federkonstante c und der Masse m des angehängten Körpers zu<br />
ω<br />
0<br />
=<br />
c<br />
m<br />
=<br />
= 14,1s<br />
−1<br />
Die Eigenfrequenz<br />
f<br />
0<br />
2π<br />
=<br />
ω<br />
0<br />
2π<br />
=<br />
14,1s<br />
= 2,25 Hz<br />
−2<br />
20 (kgms )m<br />
0,1kg<br />
f 0<br />
−1<br />
wird<br />
−1<br />
(c) Die gesuchte Gleichgewichtslage ist die ’statische Gleichgewichtslage‘, d. h. es<br />
kompensieren sich rücktreibende Federkraft F r rück und Gewichtskraft F r grav auf die<br />
Kugel. Für die Beträge gilt<br />
r<br />
• Gewichtskraft auf die Kugel F grav = mg und<br />
r<br />
• rücktreibende Federkraft F rück = c y0<br />
Damit<br />
m g = c y 0<br />
Dies liefert<br />
y<br />
0<br />
−2<br />
mg 0,1kg⋅9,81ms<br />
= =<br />
c<br />
-2<br />
20(kgms ) ⋅m<br />
= 4,9 cm<br />
-1<br />
= 0,049 m<br />
(d) Die gesuchte Amplitude der Schwingung ist damit<br />
ˆ<br />
0<br />
y = ymax − y = 19,8 cm − 4,9 cm = 14,8 cm<br />
(e) Die Anfangsbedingungen für die Schwingungen sind<br />
y (0) = 0 die entspannte Lage der Feder und<br />
y &( 0) = v die Geschwindigkeit der aufprallenden Kugel.<br />
0<br />
Der Energieerhaltungssatz liefert mit der Fallhöhe h und der Geschwindigkeit<br />
Aufprall<br />
v 0<br />
bei<br />
und<br />
m g h =<br />
v<br />
0<br />
1 mv<br />
2<br />
= 1,98 ms<br />
2<br />
0<br />
= 2g<br />
h =<br />
−1<br />
2 ⋅9,81 ms<br />
−2<br />
⋅0,2m<br />
=<br />
3,92 m<br />
2<br />
s<br />
−2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 05
(f)-(g) Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung für die schwingende Kugel<br />
y t)<br />
= y + yˆ<br />
cos( ω t +<br />
( 0 0 ϕ0<br />
dabei sind vorgegeben oder wurden bereits bestimmt<br />
y 0 = 4,9 cm<br />
ˆ = 14,8 cm<br />
y<br />
ω<br />
= 14,1 −<br />
0 s<br />
1<br />
v 0 = 1,98 ms<br />
−1<br />
)<br />
Bestimmung des Nullphasenwinkels ϕ 0<br />
Zunächst wird gezeigt, dass ϕ 0 im 3. Quadranten liegt; dieser Beweis wurde in der<br />
Prüfung nicht verlangt, man durfte den Hinweis in der Aufgabenstellung benutzen.<br />
Es gilt allgemein (Darstellung der Schwingung als Kosinus-Funktion)<br />
• für die Auslenkung y t)<br />
= y + yˆ<br />
cos( ω t + )<br />
( 0 0 ϕ0<br />
• und die Geschwindigkeit y& t)<br />
= − yˆ<br />
ω sin( ω t + )<br />
Zum Zeitpunkt<br />
t = 0<br />
des Aufpralls ist<br />
• die Auslenkung y ( 0) = 0<br />
( 0 0 ϕ0<br />
• die Geschwindigkeit v ( 0) = y&<br />
(0) = v 0<br />
Diese speziellen Anfangsbedingungen eingesetzt, ergibt<br />
und<br />
y<br />
+ yˆ cosϕ0<br />
0 =<br />
0<br />
− y ˆ ω0 sinϕ0<br />
= v<br />
Die erste dieser Gleichungen liefert<br />
cosϕ<br />
0<br />
y<br />
= −<br />
yˆ<br />
0<br />
= − 0,331<br />
0<br />
= −<br />
4,9cm<br />
14,8cm<br />
die zweite dieser Gleichungen liefert<br />
oder<br />
− y ˆ ω0 sinϕ0<br />
= v<br />
sinϕ<br />
0<br />
v 0<br />
= −<br />
yˆ<br />
ω<br />
0<br />
= − 0,949<br />
0<br />
−1<br />
198cms<br />
= −<br />
14,8cm⋅14,1s<br />
Weil für den Nullphasenwinkel<br />
ϕ 0<br />
−1<br />
sowohl die Kosinusfunktion als auch die<br />
Sinusfunktion ein negatives Vorzeichen haben ( cosϕ 0 < 0 und sin < 0 ) muss ϕ<br />
notwendig im 3. Quadranten liegen.<br />
ϕ 0<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 05
Der Tangens des gesuchten Nullphasenwinkels ergibt sich aus den berechneten<br />
Werten der Sinus- und der Kosinus-Funktion zu<br />
tanϕ<br />
0<br />
sinϕ<br />
=<br />
cos ϕ<br />
= 2,87<br />
0<br />
0<br />
− 0,949<br />
=<br />
− 0,331<br />
Macht man von dem Lösungshinweis gebrauch, dass der Nullphasenwinkel im 3.<br />
Quadranten liegt, dann ist der schnellere Weg zum gleichen Ergebnis der Folgende.<br />
Man nimmt die auf die Anfangsbedingungen (siehe oben) angepassten Gleichungen<br />
yˆ<br />
cosϕ = −y<br />
(1)<br />
0<br />
0<br />
− y ˆ ω0 sinϕ0<br />
= v0<br />
(2)<br />
Division der zweiten Gleichung durch die erste Gleichung ergibt sofort<br />
v0<br />
−<br />
ˆ<br />
−1<br />
sinϕ0<br />
yω0<br />
v 0 198cms<br />
tanϕ0<br />
= = = =<br />
cosϕ<br />
1<br />
0<br />
y0<br />
ω<br />
−<br />
0 y<br />
−<br />
0 14,1s ⋅ 4,9 cm<br />
yˆ<br />
= 2,87<br />
π 3π<br />
Mit der Bedingung ≤ ϕ0<br />
≤ ( ϕ 0 im 3. Quadrant) erhält man<br />
2 2<br />
o<br />
ϕ 0 = 251 im Gradmaß oder ϕ 0 = 4, 38 im Bogenmaß<br />
Damit erhält man letztlich die Bewegungsgleichung für die ungedämpften<br />
Schwingungen der Kugel<br />
y ( t)<br />
= 4,9 cm<br />
+ 14,8 cm⋅<br />
cos(14,1s<br />
−1<br />
⋅t<br />
+<br />
4,38)<br />
Probe: Für den Zeitpunkt t = 0 , also dem Aufprall der Kugel wird<br />
y(0)<br />
= 4,9 cm + 14,8 cm ⋅ cos(4,38)<br />
= 4,9 cm + 14,8 cm ⋅(<br />
−0,33)<br />
= 4,9 cm − 4,8 cm<br />
= 0,1cm ≈ 0 cm<br />
Die geringfügige Abweichung erklärt sich durch Rundungsfehler im Verlauf der<br />
Berechnung<br />
und<br />
y& (0) = −14,8 cm ⋅14,1s<br />
= 197 cm s<br />
−1<br />
−1<br />
⋅ sin(4,38) = −14,8 cm ⋅14,1s<br />
−1<br />
⋅(<br />
−0,945)<br />
Geringfügige Abweichungen erklären sich durch Rundungsfehler im Verlauf der<br />
Berechnungen.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 6 -<br />
Prüfungsaufgabe 05
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 06<br />
c<br />
m S<br />
Um die Masse eines Astronauten während eines<br />
längeren Aufenthalts in einer Raumstation zu<br />
kontrollieren, wird für die Raumstation SKYLAB<br />
das folgende physikalische Messverfahren<br />
benutzt:<br />
Zunächst wird ein Sitz der Masse m S = 12,5 kg<br />
durch eine Feder (Federkonstante c) an eine<br />
Wand der Raumstation gekoppelt und auf<br />
Schienen so geführt, dass der Sitz harmonische<br />
Schwingungen ausführen kann. Die dabei<br />
beobachtete Periodendauer ist T 0,35 s .<br />
Anschließend wird ein Astronaut in den Sitz<br />
geschnallt und das System erneut in<br />
Schwingungen versetzt. Man misst nun eine<br />
Schwingungsdauer T 0,90 s .<br />
0, S+<br />
A =<br />
0, S =<br />
(a) Bestimmen Sie aus diesen Messwerten die Masse<br />
m A<br />
des Astronauten.<br />
(b) Ein Mitastronaut muss die Schwingungen anregen. Welche Arbeit W muss er<br />
aufwenden, damit sich für eine ungedämpfte Schwingung eine<br />
Schwingungsamplitude yˆ =10 cm einstellt?<br />
(c) Bestimmen Sie die größte Geschwindigkeit v max , die der Astronaut während der<br />
Schwingungsbewegungen erreicht?<br />
(d) Infolge schwacher Dämpfung gehen die Auslenkungen in N = 10 Schwingungen<br />
auf jeweils zwei Drittel des Anfangswertes zurück. Welchen Dämpfungsgrad D hat<br />
das schwingende System?<br />
Hinweis: Die Masse der Raumstation ist so groß, dass die Station als Inertialsystem<br />
betrachtet werden darf.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 06
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 06 – Kurzlösungen<br />
(a) Masse Astronaut m A = 70,2 kg .<br />
Feder<br />
(b) Aufgewendete Arbeit W = E pot (max) = 20,2 J .<br />
−1<br />
(c) Größte Geschwindigkeit v = 0,70 m s .<br />
max<br />
− 2 −1<br />
s<br />
(d) Abklingkoeffizient δ = 4,50 ⋅10<br />
; Dämpfungsgrad D = 6,5 ⋅10<br />
.<br />
−3<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 06
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 06 – Musterlösung<br />
(a) Für eine ungedämpfte Schwingung eines Feder-Masse-Systems gilt für die<br />
Schwingungsdauer<br />
T<br />
0<br />
=2π<br />
M<br />
c<br />
Dabei ist M die Masse des angehängten Körpers und c die Federkonstante der<br />
(linearen) Federcharakteristik.<br />
Für die beiden Schwingungsversuche gilt somit (Indices ‘S’ - Sitz und ‘A’ - Astronaut)<br />
T<br />
mS<br />
= bzw.<br />
c<br />
0, S 2π<br />
T<br />
0,S+<br />
A<br />
= 2π<br />
( m<br />
S<br />
+ m<br />
c<br />
Mit dem ersten Schwingungsversuch wird experimentell bei bekannter Masse<br />
Federkonstante c bestimmt; aus der Beziehung für die Schwingungsdauer<br />
man<br />
c = 4π<br />
2<br />
T<br />
m<br />
S<br />
2<br />
0,S<br />
= 4,03 ⋅10<br />
3<br />
= 4π<br />
Nm<br />
-1<br />
2<br />
12,5 kg<br />
(0,35 s)<br />
2<br />
m<br />
⋅<br />
m<br />
Man braucht aber die Federkonstante c aus der ersten Gleichung (Schwingung des<br />
Sitzes allein) gar nicht explizit auszurechen. Da die Feder für beide Versuche die<br />
gleiche ist, fällt bei der Division der beiden Schwingungsdauern T und die<br />
Federkonstante c heraus; quadrieren ergibt<br />
2<br />
0, S+<br />
A ) ( mS<br />
mA<br />
)<br />
=<br />
2<br />
T0,S<br />
) mS<br />
( T +<br />
(<br />
daraus erhält man für die Masse des Astronauten<br />
m<br />
A<br />
( T<br />
= [<br />
( T<br />
2<br />
0,S+<br />
A )<br />
2<br />
0,S )<br />
= 70,2 kg<br />
− 1] m<br />
S<br />
(0,90 s)<br />
= [<br />
(0,35 s)<br />
2<br />
2<br />
A<br />
)<br />
0, S+<br />
A<br />
− 1] ⋅12,5<br />
kg = [6,61 − 1] ⋅12,5<br />
kg<br />
T 0,S<br />
m S<br />
T 0, S<br />
die<br />
erhält<br />
(b) Die vom Mitastronauten aufgewendete Arbeit W wird (1) in potentielle Energie der<br />
Feder und (2) in kinetische Energie des schwingenden Systems (Astronaut + Sitz)<br />
umgesetzt. Im Umkehrpunkt der Schwingung, also bei Maximalauslenkung (=<br />
Amplitude) die kinetische Energie des schwingenden Systems<br />
S+<br />
A<br />
kin =<br />
E 0 weil im Umkehrpunkt der Schwingung die Geschwindigkeit null ist.<br />
Es ist nur die potentielle Energie der Feder zu berücksichtigen. Diese hängt quadratisch<br />
von der Auslenkung ab, also ergibt sich für die Amplitude ŷ<br />
W = E<br />
Feder<br />
pot<br />
= 20,2 J<br />
= c yˆ<br />
2<br />
1<br />
= ⋅ 4,03 ⋅10<br />
2<br />
N<br />
⋅10<br />
m<br />
1 2<br />
3 −2<br />
2<br />
m<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 06
(c) Variante 1<br />
Beim Nulldurchgang der Schwingung ist die potentielle Energie der Feder<br />
Feder<br />
pot =<br />
E 0 weil die Auslenkung null ist.<br />
Die kinetische Energie der beiden schwingenden Körper beim Nulldurchgang ist<br />
1<br />
E +<br />
2<br />
S+<br />
A<br />
kin (max) = ( mS<br />
mA<br />
)<br />
v<br />
2<br />
max<br />
Sie ist gleich der Gesamtenergie, also<br />
1<br />
W = E<br />
+<br />
2<br />
daraus erhält man<br />
v<br />
2<br />
max<br />
S+<br />
A<br />
kin (max) = ( mS<br />
mA<br />
)<br />
2W<br />
=<br />
( m + m<br />
S<br />
A<br />
v<br />
2<br />
max<br />
2 ⋅ 20,2 Nm<br />
=<br />
= 0,489 m<br />
) 82,7 kg<br />
2<br />
s<br />
−2<br />
v<br />
max<br />
= 0,70<br />
m s<br />
−1<br />
(c) Variante 2<br />
Das Weg-Zeit-Gesetz einer ungedämpften harmonischen Schwingung lässt sich durch<br />
eine Sinus- oder eine Kosinus-Schwingung darstellen. Die Geschwindigkeit erhält man<br />
als erste Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit<br />
Darstellung als Sinus-Funktion<br />
Weg-Zeit-Gesetz<br />
y t)<br />
= yˆ<br />
sin( ω t +<br />
( 0 ϕ0<br />
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz<br />
)<br />
Darstellung als Kosinus-Funktion<br />
y t)<br />
= yˆ<br />
cos( ω t +<br />
( 0 ϕ0<br />
y& t)<br />
= yˆ<br />
ω cos( ω t + ) y& t)<br />
= − yˆ<br />
ω sin( ω t + )<br />
( 0 0 ϕ0<br />
dabei ist die Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
0<br />
2π<br />
2π<br />
= =<br />
T 0,90 s<br />
0<br />
= 7,0<br />
s<br />
−1<br />
und die Amplitude<br />
ˆ = 10 cm y<br />
ω 0<br />
( 0 0 ϕ0<br />
des schwingenden Systems<br />
Da der Betrag einer harmonischen Funktion maximal den Wert 1 annehmen kann, also<br />
wegen<br />
0 0 0 ≤<br />
≤ sin( ω t +ϕ ) 1<br />
≤ cos( ω t +ϕ ) 1<br />
0 0 0 ≤<br />
ist der Vorfaktor im Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der Betrag der maximal auftretenden<br />
Geschwindigkeit vmax<br />
)<br />
v<br />
max<br />
= yω ˆ<br />
0<br />
= 0,70<br />
= 10<br />
m s<br />
−1<br />
−1<br />
m⋅<br />
6,98<br />
s<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 06
(d) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems lassen sich<br />
darstellen als<br />
−δ t<br />
y = y ˆ 0 ⋅e<br />
cos( ωdt<br />
+ ϕ 0 )<br />
ˆ −δ t<br />
0 d ϕ 0<br />
oder y = y ⋅ e sin( ω t + )<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende<br />
Exponentialfunktion zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
oder<br />
y<br />
y<br />
yˆ<br />
= y 0<br />
einh<br />
ˆ<br />
einh<br />
0<br />
= e<br />
⋅e<br />
−δt<br />
−δt<br />
Logarithmieren liefert<br />
y<br />
ln[<br />
yˆ<br />
einh<br />
0<br />
] = ln[ e<br />
−δ t<br />
] = −δt<br />
Unter der, später zu überprüfenden, Annahme für den Dämpfungsgrad 0 < D≤ 0,1 wird<br />
mit Td ≈ T 0 für das Zeitintervall t = 10⋅T0<br />
das Verhältnis der Auslenkungen<br />
y<br />
p = y<br />
einh =<br />
ˆ0<br />
Es wird also<br />
2<br />
3<br />
2<br />
ln[ ] = − δ ⋅10<br />
⋅ 0,90 s<br />
3<br />
Der Abklingkoeffizient ergibt sich daraus zu<br />
ln(2) − ln(3) 0,693 −1,099<br />
δ = − [<br />
] = − [<br />
]<br />
9,00 s<br />
9,00 s<br />
= 4,50 ⋅10<br />
− 2 −1<br />
s<br />
Der Dämpfungsgrad ist definiert als<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
=<br />
−2<br />
−1<br />
4,50<br />
⋅10<br />
s<br />
−3<br />
= 0,0065 = 6,5 ⋅10<br />
−1<br />
7,0 s<br />
Damit ist auch die oben gemachte Annahme einer ‘schwachen Dämpfung’, also dir<br />
Forderung D ≤ 0,1 , erfüllt.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -5-<br />
Prüfungsaufgabe 06
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 07<br />
Ein schwingungsfähiges System besteht aus einem gespannten Faden, an dem eine<br />
kleine Kugel befestigt ist. Der Faden wird über zwei Rollen geführt und durch die<br />
Gewichtskraft eines Körpers ‘2‘ gespannt (vgl. Skizze). Die Kugel befindet sich genau<br />
in der Mitte des senkrechten Teils des Fadens. Die Kugel soll nur horizontale Bewegungen<br />
ausführen können.<br />
Machen Sie zur Lösung des Schwingungsproblems folgende vereinfachende Annahmen<br />
• die Schwingungsamplitude sei sehr klein,<br />
• Körper ‘2‘ soll sich nicht mitbewegen und<br />
• der Einfluss des Körpers ‘1‘ auf die Seilkraft sei vernachlässigbar.<br />
Im Faden herrscht damit überall eine konstante Seilkraft.<br />
Kugel<br />
L<br />
m 1<br />
s<br />
m 2<br />
Masse m 1 = 5 g<br />
Radius r = 4 mm<br />
Körper ‘2‘<br />
Masse<br />
Faden<br />
Länge<br />
m 2 = 0,60<br />
kg<br />
L = 30 cm<br />
(a) Geben Sie die rücktreibende Kraft F rück auf die Kugel in Abhängigkeit von einer<br />
kleinen horizontalen Verschiebung s an.<br />
(b) Stellen Sie die Differentialgleichung für diese freie, ungedämpfte Schwingung auf.<br />
Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz ω 0 .<br />
Anschließend wird der schwingende Teil des Systems mit der kleinen Kugel in eine<br />
Flüssigkeit eingetaucht. Die Schwingungen sind nun gedämpft. Die dynamische Viskosität<br />
der Flüssigkeit bei Versuchstemperatur ist η = 0,02 Pa ⋅ s .<br />
(c) Berechnen Sie die Abklingkonstante δ und den Dämpfungsgrad D unter der Annahme<br />
viskoser Reibung (also laminarer Umströmung der Kugel). Der Strömungswiderstand<br />
des Fadens ist vernachlässigbar.<br />
(d) Wie lange dauert es, bis die Amplituden der Schwingungen jeweils auf ein Zehntel<br />
abgeklungen sind?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 07
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 07 – Kurzlösungen<br />
(a) Rücktreibende Kraft (linearisiert)<br />
F<br />
2<br />
≅ −( 2m2<br />
g ) ⋅ s<br />
L<br />
rück .<br />
4m2<br />
g<br />
(b) Differentialgleichung (linearisiert) s& & + ( ) s = 0 .<br />
m L<br />
Eigenkreisfrequenz ω = 125 − .<br />
0 s<br />
(c) Abklingkonstante δ = 0,151 s<br />
−1<br />
.<br />
−3<br />
Dämpfungsgrad D = 1,2 ⋅10<br />
.<br />
(d) Zeitintervall t* = 15,2 s .<br />
1<br />
1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 07
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 07 – Musterlösung<br />
(a) Die (näherungsweise) konstante Kraft<br />
auf den Körper ‘2‘; also gegeben durch<br />
FF ≅ m2<br />
g<br />
F F<br />
im Faden ist gleich der Gewichtskraft<br />
Wird Körper ‘1‘ in horizontaler Richtung ausgelenkt, dann wird die rücktreibende Kraft<br />
auf die Kugel<br />
F<br />
= − 2FF<br />
sinβ<br />
≅ − FF<br />
β<br />
rück 2<br />
Unter der einschränkenden Voraussetzung kleiner Auslenkungen ist der Winkel<br />
β
erhält man für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz<br />
und<br />
ω<br />
ω<br />
−2<br />
2 4m2<br />
g 4 ⋅0,6 kg⋅<br />
9,81ms<br />
−1<br />
0 = =<br />
= 15700 s<br />
m<br />
−3<br />
1 L 0,3 m ⋅5<br />
⋅10<br />
kg<br />
= 125 −<br />
0 s<br />
1<br />
(c) Bei viskoser Reibung gilt ein geschwindigkeitsproportionales Reibungsgesetz<br />
FR<br />
= − bv<br />
für eine laminare Umströmung einer Kugel gilt nach STOKES für die Reibungskraft<br />
F (Stokes) = − (6πηr<br />
) v<br />
R<br />
also gilt für die Dämpfungskonstante<br />
b = 6 πηr<br />
Die Differentialgleichung einer geschwindigkeitsproportional gedämpften Schwingung<br />
lautet<br />
b 2<br />
s &<br />
+ s&<br />
+ ω0<br />
s = 0<br />
m<br />
1<br />
Die Abklingkonstante<br />
b<br />
δ =<br />
2m<br />
1<br />
= 0,151 s<br />
6πηr<br />
=<br />
2m<br />
−1<br />
1<br />
δ<br />
bestimmt sich zu<br />
3π ⋅ 2 ⋅10<br />
=<br />
−2<br />
Nm<br />
5 ⋅10<br />
−2<br />
−3<br />
s ⋅ 4 ⋅10<br />
kg<br />
Der (dimensionslose) Dämpfungsgrad D ist definiert als der Quotient aus Abklingkoeffizient<br />
und Eigenkreisfrequenz ω<br />
D =<br />
δ 0<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
= 1,2 ⋅10<br />
−3<br />
−3<br />
151⋅10<br />
=<br />
125 s<br />
s<br />
−1<br />
−1<br />
−3<br />
m<br />
(d) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Systems lassen sich darstellen als<br />
−δ t<br />
y = y ˆ 0 ⋅ e cos( ωdt<br />
+ ϕ 0 )<br />
ˆ −δ t<br />
0 d ϕ 0<br />
oder y = y ⋅e<br />
sin( ω t + )<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende Exponentialfunktion<br />
zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
y<br />
oder<br />
y<br />
yˆ<br />
= y 0<br />
einh<br />
ˆ<br />
einh<br />
0<br />
= e<br />
⋅e<br />
−δt<br />
−δt<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 07
Logarithmieren liefert<br />
⎛ y<br />
ln<br />
⎜<br />
⎝ yˆ<br />
einh<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ = ln( e<br />
⎠<br />
−δt<br />
) = − δt<br />
auf jeweils ein Zehntel einer Anfangsauslen-<br />
Für das Abklingen im Zeitintervall<br />
kung ergibt sich<br />
damit<br />
1<br />
ln[ ] = − 0,151 s<br />
10<br />
= 15,2 s<br />
− 1 ⋅ t<br />
ln(1) − ln(10) 0 − 2,30<br />
t*<br />
=<br />
=<br />
−1<br />
( − 0,151 s ) ( − 0,151 s<br />
*<br />
−1<br />
t *<br />
)<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 07
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 08<br />
Eine homogene Scheibe aus Stahl wird an einen Stab befestigt. Die Anordnung kann<br />
Pendelschwingungen um den Aufhängepunkt A ausführen (vgl. Skizze).<br />
Scheibe<br />
A<br />
•<br />
L<br />
Radius<br />
Masse<br />
Stab<br />
Länge<br />
R = 3 cm<br />
m sch = 0,2 kg<br />
L = 0,5 m<br />
R<br />
Masse<br />
m st = 0,3<br />
kg<br />
Die axialen Massenträgheitsmomente für Scheibe bzw. Stab senkrecht zur<br />
Zeichenebene durch den jeweiligen Schwerpunkt S sind gegeben durch<br />
1 2<br />
1 2<br />
J sch(S)<br />
= mschR<br />
J st (S) = mstL<br />
2<br />
12<br />
Berechnen Sie die beiden Schwingungsdauern T0a<br />
und T0b<br />
für jeweils ungedämpfte<br />
Schwingungen bei kleinen Amplituden unter folgenden Modell-Annahmen:<br />
(a) Die Masse des Stabs wird vernachlässigt.<br />
(b) Unter Berücksichtigung der Massenverteilung des Stabs.<br />
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Schwerpunktskoordinate des<br />
Gesamtsystems aus Scheibe und Stab.<br />
(c) Um welchen Prozentsatz weichen die Schwingungsdauern T0a<br />
und T0b<br />
in den<br />
beiden Modellen voneinander ab?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 08
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 08 – Kurzlösungen<br />
(a) Massenträgheitsmoment J = J (S) + m L ≈ 0,05009 kg m .<br />
A<br />
sch<br />
phys<br />
0 0a =<br />
Schwingungsdauer T = T 1,42 s .<br />
(b) Gemeinsamer Schwerpunkt Abstand von Drehpunkt A:<br />
Massenträgheitsmoment (STEINER)<br />
J<br />
∗<br />
A<br />
st<br />
= J<br />
st<br />
( A) + J (A) ≈ J (A) + m L =<br />
sch<br />
J ( A) = 0,0250 kg m .<br />
Schwingungsdauer T 0 = 1,32 s .<br />
2<br />
b<br />
st<br />
sch<br />
ΔT<br />
T0b<br />
−T0a<br />
(c) Abweichung = = 0,076<br />
T T<br />
0b<br />
0b<br />
2<br />
sch<br />
2<br />
0,0750 kg m<br />
oder 7,6 % .<br />
2<br />
2<br />
y S = 0,35 m .<br />
.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 08
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 08 – Musterlösung<br />
Beide Modelle stellen physikalische Pendel dar. Räumlich ausgedehnte Körper sind<br />
im Schwerefeld der Erde schwingungsfähig aufgehängt. Das Schwingungsverhalten<br />
wird jeweils durch das Massenträgheitsmoment der Modell-Anordnung bestimmt.<br />
Für ein physikalisches Pendel ist die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen<br />
aus der Ruhelage gegeben durch<br />
phys<br />
T0 = 2π<br />
J A<br />
mgd<br />
mit m Gesamtmasse<br />
g Schwerebeschleunigung<br />
d Abstand Drehpunkt A – Massenmittelpunkt S<br />
J A Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunkts A<br />
(a) Ohne Berücksichtigung des Stabs geht nur das Massenträgheitsmoment der<br />
Scheibe in die Schwingungsdauer ein.<br />
Der Satz von STEINER liefert das Massenträgheitsmoment J A der Scheibe bezüglich<br />
des Drehpunkts A<br />
2 1 2 2<br />
J A = Jsch(S)<br />
+ mschL<br />
= mschR<br />
+ mschL<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
−2<br />
2<br />
−2<br />
2<br />
= (0,2 kg)(0,03 m) + (0,2 kg)(0,5 m) = 0,009⋅10<br />
kg m + 5,0010 ⋅ kg m<br />
2<br />
2<br />
≈ 0,05009 kg m<br />
Für die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt sich<br />
T<br />
phys<br />
0<br />
= T<br />
0a<br />
= 2π<br />
= 1,42 s<br />
J A<br />
= 2π<br />
m g d<br />
JA<br />
= 2π<br />
m g L<br />
0,05009 kg m<br />
−1<br />
(0.2 kg) ⋅(9,81 m s ) ⋅(0,5 m)<br />
dabei ist d = L = ASSch<br />
der Abstand des Massenmittelpunkts der Scheibe vom<br />
Drehpunkt A .<br />
2<br />
2<br />
,<br />
Anmerkung<br />
Hinweis: Diese Rechnung gaukelt eine vorgespielte Genauigkeit vor, denn die<br />
physikalischen Größen sind jeweils nur auf eine gültige Ziffer angegeben. Damit soll<br />
aber gezeigt werden, dass der Hauptbeitrag von der Verschiebung des<br />
Massenmittelpunkts der Scheibe gegen den Aufhängepunkt, also dem STEINERschen<br />
Beitrag, herrührt. Ohne Berücksichtigung der Massenverteilung der Stange ist in sehr<br />
guter Näherung<br />
J ≈ m<br />
A<br />
Sch<br />
L<br />
2<br />
m Sch<br />
das ist aber das Massenträgheitsmoment eines materiellen Punktes (Masse )<br />
im Abstand L von der Drehachse. Das Schwingungsverhalten der Scheibe alleine,<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 08
ohne Berücksichtung der Stange, kann näherungsweise als das eines<br />
mathematischen Pendels beschrieben werden.<br />
Die Modellvorstellungen für ein mathematisches Pendel sind<br />
• ein materieller Punkt (Massenpunkt)<br />
• ’befestigt’ am Ende eines starren, nicht dehnbaren und masselosen Drahts.<br />
Für ein mathematisches Pendel ist die Schwingungsdauer gegeben durch<br />
T<br />
math<br />
0<br />
= 2π<br />
L<br />
g<br />
= 1,42 s<br />
= 2π<br />
0,5 m<br />
9,81 m s<br />
−1<br />
Es bestätigt sich, dass in diesem Fall die Scheibe (ohne Berücksichtigung der<br />
Massenverteilung des Stabs) mit sehr guter Näherung als mathematisches Pendel<br />
betrachtet werden kann.<br />
(b) Um die Schwingungsdauer des Gesamtsystems aus Scheibe und Stab<br />
berechnen zu können, benötigt man den Abstand des gemeinsamen<br />
Schwerpunkts vom Drehpunkt A und das neue Massenträgheitsmoment .<br />
y S<br />
∗<br />
J A<br />
y S<br />
0<br />
• A<br />
S st<br />
•S<br />
• S sch<br />
Das Massenträgheitsmoment<br />
die Anordnung aus Scheibe und<br />
Stab ist nach STEINER<br />
y<br />
L<br />
∗<br />
J A<br />
für<br />
Aus Symmetriegründen liegt der<br />
Massenmittelpunkt der Stange in der<br />
Stangenmitte.<br />
y S<br />
Die Koordinate des Massenmittelpunkts<br />
berechnet sich folgendermaßen<br />
(eindimensionale Anordnung)<br />
∑mi<br />
⋅ y L<br />
i mst<br />
+ mschL<br />
i<br />
y<br />
2<br />
S = =<br />
∑ mi<br />
mst<br />
+ msch<br />
i<br />
0,5 m<br />
(0,3 kg)( ) + (0,2 kg)(0,5 m)<br />
=<br />
2<br />
0,2 kg + 0,3 kg<br />
= 0,35 m<br />
∗<br />
2<br />
A = Jst<br />
A) + Jsch(A)<br />
= Jst<br />
(A) + Jsch(S)<br />
+ mschL<br />
≈ Jst<br />
(A)<br />
J ( + m L<br />
sch<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 08
Massenträgheitsmoment der Stange bezüglich des Drehpunkts A<br />
J<br />
st<br />
L 2 1 2 L 2 1<br />
(A) = Jst<br />
( S)<br />
+ mst<br />
( ) = mst<br />
L + mst<br />
( ) = mst<br />
L<br />
2 12<br />
2 3<br />
= 0,0250 kg m<br />
Mit dem Massenträgheitsmoment der Scheibe J<br />
Teilaufgabe (a) folgt<br />
∗<br />
A<br />
2<br />
2<br />
J = 0,0250 kgm + 0,0500 kgm = 0,0750 kgm<br />
.<br />
2<br />
A<br />
2<br />
=<br />
1<br />
(0,3<br />
3<br />
( A) ≈ 0,0500 kgm<br />
2<br />
2<br />
kg)(0,5 m)<br />
Für ein physikalisches Pendel (Scheibe und Stab) ergibt sich die Schwingungsdauer<br />
T<br />
0b<br />
= 2π<br />
= 1,32 s<br />
∗<br />
A<br />
J<br />
m g y<br />
S<br />
= 2π<br />
0,0750 kg m<br />
(0,2 kg + 0,3 kg) ⋅(9,81 m s<br />
2<br />
−2<br />
) ⋅(0,35<br />
m)<br />
dabei ist d = y S = AS der Abstand des gemeinsamen Massenmittelpunkts S von<br />
Scheibe und Stab vom Drehpunkt A .<br />
aus<br />
2<br />
(c) Die Abweichung der in den Teilaufgaben (a) und (b) in den beiden<br />
Modellrechnungen bestimmten Schwingungsdauern T und T beträgt<br />
ΔT<br />
T<br />
0b<br />
T<br />
=<br />
0b<br />
T<br />
−T<br />
0b<br />
= 0,076<br />
0a<br />
1,42 s −1,32<br />
s<br />
=<br />
1,32 s<br />
Dies entspricht einer Abweichung von 7,6 % .<br />
0a<br />
0b<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -5-<br />
Prüfungsaufgabe 08
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 09<br />
Diese Aufgabe wurde in Zusammenhang mit Laborübungen gestellt. Im Labor spielt<br />
die ’Fehlerrechnung’ eine wichtige Rolle.<br />
Ein physikalisches Pendel besteht aus einer schweren Scheibe, die in der Mitte einer<br />
dünnen, massiven, im Punkt D drehbar gelagerten Stange befestigt ist (vgl. Skizze).<br />
Das Pendel befindet sich am Ort der Norm-Schwerebeschleunigung<br />
−2<br />
[ g = 9,806 ms ].<br />
Hinweis: Rechnen sie bitte durchweg mit vier gültigen Ziffern.<br />
D<br />
L<br />
m Sch<br />
r<br />
m St<br />
Scheibe<br />
Masse<br />
Radius<br />
Stange<br />
Masse<br />
Länge<br />
m Sch = 5,000<br />
kg<br />
r = 0,1500 m<br />
m St = 1,300 kg<br />
L = 1,000 m<br />
Das Pendel wird zu Schwingungen mit kleiner Amplitude angeregt. Berechnen Sie<br />
die Eigenschwingungsdauer T 0 für ungedämpfte Schwingungen des physikalischen<br />
Pendels.<br />
(a) Sie wollen Ihr Rechenergebnis überprüfen und messen die Schwingungsdauer<br />
insgesamt zehn mal für jeweils zehn Schwingungen mit folgenden Ergebnissen:<br />
10 T 0<br />
s<br />
14,90 15,00 14,80 15,10 15,00 14,80 14,90 15,10 14,90 15,00<br />
Berechnen Sie aus Ihren zehn Messergebnissen den ’Bestwert’<br />
T 1<br />
für die Schwingungsdauer.<br />
Wie groß ist der Unterschied Δ T = T 0 −T 1 zwischen dem berechneten<br />
Wert und dem experimentell bestimmten Bestwert T ?<br />
T0<br />
1<br />
(b) Der Grund für die Differenz der beiden Schwingungsdauern könnte in der Dämpfung<br />
des Systems liegen. Berechnen sie unter dieser Annahme aus dem Verhältnis<br />
T 0 /T 1 den Dämpfungsgrad D der Schwingungen.<br />
(c) Auf welchen Bruchteil nehmen die Ausschläge in einer Schwingungsperiode ab?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 09
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 09 – Kurzlösungen<br />
(a) Gesamtmasse des Pendels<br />
m = 6,300 kg<br />
.<br />
Abstand Drehpunkt-Massenmittelpunkt<br />
d = 0,500 m .<br />
Massenträgheitsmoment (STEINER) = 1,740 kgm .<br />
Schwingungsdauer T 0 = 1,491<br />
5 s .<br />
J D<br />
(b) Arithmetischer Mittelwert T 1 = 1,495 s .<br />
Dämpfungsgrad D = 0,0731 .<br />
y<br />
(c) Rückgang der Auslenkungen 1 2<br />
= 0,631 7 ; (auf etwa der Anfangsauslenkung).<br />
y<br />
3<br />
0<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 09
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 09 – Musterlösung<br />
(a) Für ein physikalisches Pendel ist die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen<br />
aus der Ruhelage gegeben durch<br />
phys<br />
T0 = 2π<br />
JD<br />
mgd<br />
mit m Gesamtmasse<br />
g Schwerebeschleunigung<br />
d Abstand Drehpunkt D – Massenmittelpunkt S<br />
J D Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunkts D<br />
Die Gesamtmasse des Pendels ist<br />
m = m + m<br />
Sch<br />
= 6,300 kg<br />
St<br />
=<br />
(5,0<br />
+ 1,3) kg<br />
Der Abstand d zwischen Drehpunkt D und Massenmittelpunkt S ist aus Symmetriegründen<br />
1,00 m<br />
d = L =<br />
2 2<br />
= 0,500 m<br />
Das Massenträgheitsmoment<br />
STEINERschen Satzes<br />
also<br />
J<br />
Sch<br />
D<br />
J D<br />
=<br />
= J<br />
= J<br />
=<br />
Sch<br />
S<br />
St<br />
D<br />
1<br />
(<br />
12<br />
+<br />
+ m<br />
J<br />
Sch<br />
Sch<br />
D<br />
2<br />
⋅1,300⋅1<br />
⎛ L<br />
2 ⎟ ⎞<br />
⎜<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
J D<br />
( 0,1083 + 0,0563 + 1,575 )<br />
= 1,740 kgm<br />
2<br />
=<br />
1<br />
12<br />
+<br />
2 1<br />
mSt<br />
L + m<br />
2<br />
1<br />
⋅5,000⋅0,1500<br />
2<br />
damit wird die Schwingungsdauer<br />
T<br />
0<br />
= 2π<br />
= 1,491<br />
s<br />
bezüglich des Drehpunkts D unter Anwendung des<br />
Sch<br />
2<br />
kgm<br />
1,740 kgm<br />
= 2π<br />
−2<br />
6,300 kg9,806 ⋅ m s ⋅0,5000<br />
m<br />
5<br />
2<br />
+<br />
2<br />
R<br />
2<br />
+ ( m<br />
St<br />
+ m<br />
6,300⋅0,5000<br />
2<br />
0,0563 s<br />
Sch<br />
L<br />
)( )<br />
2<br />
) kgm<br />
2<br />
2<br />
2<br />
(b) Der arithmetische Mittelwert für die zehn Messungen ist für jeweils zehn Schwingungen<br />
∑<br />
i<br />
10<br />
T i<br />
10 T 1 = = 14,95 s<br />
10<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 09
damit wird der Mittelwert für eine Schwingungsdauer<br />
T<br />
14,95 s<br />
=<br />
10<br />
1 =<br />
1,495 s<br />
Die Differenz aus berechnetem Wert und Mittelwert aus den Messungen ist<br />
ΔT<br />
= T<br />
0<br />
−T<br />
= 4 ⋅10<br />
1<br />
−3<br />
=<br />
s<br />
( 1,491 − 1,495 )<br />
s<br />
(c) Die Kreisfrequenz ω bei viskoser Dämpfung hängt ab von<br />
d<br />
• der Eigenkreisfrequenz ω , 0<br />
• dem Dämpfungsgrad D.<br />
Es gilt dabei der Zusammenhang<br />
ω<br />
d<br />
wegen<br />
= ω<br />
π<br />
ω =<br />
2<br />
T<br />
0<br />
1−D<br />
2<br />
wird daraus die Beziehung für die Schwingungsdauern<br />
und<br />
T<br />
T<br />
D<br />
0<br />
1<br />
2<br />
D =<br />
=<br />
1−<br />
D<br />
T<br />
= 1 − (<br />
T<br />
0,0731<br />
2<br />
0<br />
1<br />
)<br />
2<br />
oder<br />
= 1 − 0,9947 = 0,0053<br />
Die Schwingungen eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems lassen sich darstellen<br />
als<br />
−δ t<br />
y = y ˆ 0 ⋅ e cos( ωdt<br />
+ ϕ 0 ) oder y = y ˆ 0 ⋅ e sin( ωdt<br />
+ ϕ 0 )<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende Exponentialfunktion<br />
zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
y<br />
einh = yˆ<br />
0<br />
e<br />
−δt<br />
für zwei Ausschläge im zeitlichen Abstand einer Schwingungsperiode gilt<br />
y<br />
y<br />
0<br />
1<br />
= yˆ<br />
0<br />
= yˆ<br />
0<br />
e<br />
e<br />
−δt<br />
−δ(<br />
t + T<br />
d<br />
)<br />
= yˆ<br />
0<br />
e<br />
−δt<br />
e<br />
−δT<br />
d<br />
Damit wird das Verhältnis der Auslenkungen und y im Abstand einer Schwingungsperiode<br />
T d<br />
−δ t<br />
y1<br />
0<br />
y<br />
y<br />
1<br />
0<br />
=<br />
yˆ<br />
0<br />
e<br />
yˆ<br />
−δt<br />
0<br />
e<br />
e<br />
−δt<br />
−δTd<br />
= e<br />
−δTd<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 09
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 10<br />
L<br />
S<br />
D<br />
R<br />
Eine massive Vollkugel aus Aluminium hängt an einem<br />
dünnen Stahldraht. Die Kugel kann<br />
• Pendelschwingungen um den Aufhängepunkt D ,<br />
• Drehschwingungen um die Achse D − S durch<br />
den Schwerpunkt S<br />
ausführen.<br />
Man beobachtet, dass die Schwingungsdauern T 0 ungedämpfter<br />
Schwingungen für beide Schwingungsarten<br />
gleich sind.<br />
(a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T 0 für die ungedämpfte Pendelbewegung<br />
bei kleinen Amplituden<br />
math<br />
(1) in der Näherung als mathematisches Pendel ( ) und<br />
phys<br />
(2) als physikalisches Pendel ( T 0<br />
). Die Masse des Drahtes soll dabei vernachlässigt<br />
werden können.<br />
(b) Bestimmen Sie die Drehfederkonstante c * für die Verdrillung (Torsion) des<br />
phys<br />
Drahts. Benutzen Sie dazu die Schwingungsdauer ( ) aus Teilaufgabe (a).<br />
(c) Der Luftwiderstand für die Pendelschwingungen in Teilaufgabe (a) ist zwar sehr<br />
klein; man beobachtet aber, dass in jeweils 15 Schwingungsperioden die Auslenkungen<br />
auf ihres Anfangswertes abnehmen.<br />
7<br />
10<br />
Berechnen Sie daraus den Abklingkoeffizienten δ .<br />
(d) Bei laminarer Strömung ist der Luftwiderstand der Kugel proportional zur Geschwindigkeit<br />
und der Bewegung entgegengerichtet; also Freib<br />
= − bv .<br />
Bestimmen Sie unter dieser Annahme den Reibungskoeffizienten b des Reibungsgesetzes?<br />
T 0<br />
T 0<br />
Geometrie und Daten für die Aluminium-Kugel:<br />
Länge des Drahtes L = 0,25 m ,<br />
Radius der Kugel R = 0,07 m ,<br />
−3<br />
Dichte ρ = 2,70 ⋅10<br />
kgm .<br />
3<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 10
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 10 – Kurzlösungen<br />
math<br />
(a) Schwingungsdauer mathematisches Pendel T 0 = 1,135 s .<br />
phys<br />
Schwingungsdauer physikalisches Pendels T 0<br />
= 1,146 s.<br />
Masse Aluminiumkugel m = 3,88 kg .<br />
Massenträgheitsmomente J = 7,60 ⋅10<br />
kg m ; J = 0,405 kg m .<br />
(b) Eigenkreisfrequenz<br />
S<br />
1<br />
ω 0 = 2π ⋅ .<br />
T<br />
phys<br />
0<br />
Drehfederkonstante c* = 0,229 N m .<br />
− 2 −1<br />
s<br />
(c) Abklingkoeffizient δ = 2,08 ⋅10<br />
.<br />
−3<br />
2<br />
D<br />
2<br />
−3<br />
Dämpfungsgrad D = 3,8 ⋅10<br />
.<br />
(d) Reibungskoeffizient<br />
2δ<br />
D<br />
−1<br />
= 0,164 kgs<br />
2<br />
S<br />
J<br />
b =<br />
L<br />
; Abklingkoeffizient<br />
2<br />
S<br />
b L<br />
δ = .<br />
2J<br />
D<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 10
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 10 – Musterlösung<br />
(a) Definition eines mathematischen Pendels:<br />
• ein Körper der Masse m – behandelt als materieller Punkt<br />
• an einem starren, nicht dehnbaren masselosen Faden der Länge L<br />
In der Näherung 'mathematisches Pendel' gilt für die Schwingungsdauer – beschränkt<br />
auf kleine Auslenkungen aus der Ruhelage (Linearisierung) –<br />
math LS<br />
T0 = 2π dabei ist L S = ( L + R)<br />
= 0,32 m<br />
g<br />
T<br />
math<br />
0<br />
= 2π<br />
= 1,135 s<br />
0,32 m<br />
9,81ms<br />
−2<br />
In der Näherung 'physikalisches Pendel' gilt für die Schwingungsdauer – wieder beschränkt<br />
auf kleine Auslenkungen aus der Ruhelage –<br />
T<br />
phys<br />
0<br />
= 2<br />
π<br />
JD<br />
m g L<br />
Dabei ist<br />
m Gesamtmasse<br />
g Schwerebeschleunigung<br />
S<br />
d Abstand zwischen Drehpunkt D und Massenmittelpunkt S<br />
J D Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunkts D<br />
Das Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunkts D ergibt sich nach<br />
J D<br />
STEINER zu<br />
2 2 2 2 2<br />
J D = m R + mLS<br />
= m ⋅(<br />
R + LS<br />
2<br />
)<br />
5<br />
5<br />
Zahlenwerte (obwohl man diese explizit erst in den Teilaufgaben (b) und (c) braucht):<br />
Die Masse der Aluminiumkugel ergibt sich aus Dichte ρ und Kugelvolumen V zu<br />
m = ρ ⋅ π R<br />
3<br />
= 3,88 kg<br />
4 3<br />
3 −3<br />
−2<br />
3<br />
= 2,70 ⋅10<br />
kg m<br />
4<br />
⋅ π ⋅(7,0<br />
⋅10<br />
3<br />
damit werden die beiden Massenträgheitsmomente<br />
und<br />
J<br />
J<br />
S<br />
D<br />
2 2<br />
= m R = 0,40 ⋅ 3,88<br />
5<br />
−3<br />
2<br />
= 7,60 ⋅10<br />
kg m<br />
= 7,60 ⋅10<br />
−3<br />
= 0,405 kg m<br />
kg m<br />
2<br />
2<br />
kg ⋅(7,0<br />
⋅10<br />
+ 3,88 kg ⋅ 0,32<br />
−2<br />
2<br />
m<br />
m)<br />
2<br />
2<br />
m)<br />
JS<br />
und<br />
JD<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 10
Die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt sich zu<br />
T<br />
phys<br />
0<br />
= 2π ⋅<br />
= T<br />
math<br />
0<br />
= 1,146 s<br />
m[(2 / 5) R<br />
(1+<br />
2<br />
5<br />
R<br />
L<br />
2<br />
m g L<br />
2<br />
2<br />
S<br />
+ L<br />
S<br />
2<br />
S<br />
]<br />
= 2π ⋅<br />
) = 1,135 s ⋅<br />
LS<br />
2 R<br />
(1+<br />
g 5 L<br />
(1+<br />
2<br />
5<br />
(7 ⋅10<br />
2<br />
2<br />
S<br />
−2<br />
(3,2 ⋅10<br />
−1<br />
) = 2π ⋅<br />
m)<br />
2<br />
m)<br />
2<br />
L<br />
S<br />
g<br />
(1+<br />
) = 1,135 s ⋅<br />
⋅<br />
2<br />
5<br />
R<br />
L<br />
1,019<br />
Die Masse der Aluminium-Kugel kürzt sich heraus, die Zahlenwerte der Massenträgheitsmomente<br />
braucht man nicht explizit, die vorgegeben Geometrie-Daten sind ausreichend<br />
für die Bestimmung der Schwingungsdauer<br />
phys<br />
.<br />
(b) Bei einer linearen Abhängigkeit des rücktreibenden Drehmoments M Rück vom<br />
Verdrillungswinkel ϕ gilt mit der Drehfederkonstante c * als Proportionalitätskonstante<br />
M = − c * ϕ<br />
Rück<br />
M Rück ist das einzige auftretende Rückstellmoment; zusammen mit dem Massenträgheitsmoment<br />
J D des Körpers bezüglich der Drehachse ergibt das NEWTONsche<br />
Grundgesetz für Rotationen<br />
M = M = J ϕ&<br />
ges<br />
Rück<br />
D &<br />
Daraus erhält man allgemein die Differentialgleichung einer ungedämpften Drehschwingung<br />
− c * ϕ = JK<br />
ϕ&&<br />
c *<br />
ϕ&&<br />
+ ϕ = 0<br />
J<br />
D<br />
Durch Koeffizientenvergleich mit der Standard-Differentialgleichung<br />
ϕ& &<br />
+<br />
ω<br />
2<br />
0 ϕ =<br />
0<br />
erhält man für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz<br />
2 c *<br />
ω 0 =<br />
J<br />
D<br />
Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe (a) bestimmt sich die Eigenkreisfrequenz zu<br />
1<br />
ω 0 = 2π ⋅<br />
T<br />
phys<br />
0<br />
Damit erhält man für die Drehfederkonstante<br />
2<br />
c*<br />
= ( m R<br />
5<br />
2<br />
= 0,229 N m<br />
4 π<br />
) (<br />
( T<br />
2<br />
phys<br />
0<br />
)<br />
2<br />
) = 7,60 ⋅10<br />
−3<br />
kg m<br />
2<br />
T 0<br />
2<br />
4 π<br />
⋅<br />
(1,146 s)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
S<br />
)<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 10
(c) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Systems lassen sich darstellen als<br />
ϕ = ϕ<br />
max<br />
−δ<br />
−δ t<br />
⋅e t cos( ωdt<br />
+ ϕ0 ) oder ϕ = ϕmax<br />
⋅e<br />
sin( ωdt<br />
+ ϕ0<br />
)<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende Exponentialfunktion<br />
zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
ϕ<br />
oder<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
einh<br />
einh<br />
max<br />
= ϕ<br />
=<br />
max<br />
e −δt<br />
e −δt<br />
Logarithmieren liefert<br />
⎛ ϕ<br />
ln<br />
⎜<br />
⎝ ϕ<br />
einh<br />
max<br />
⎞<br />
⎟ = − δ t<br />
⎠<br />
Nach n = 15 Schwingungsperioden, also für den Zeitpunkt t = 15 ⋅T 0<br />
, beobachtet<br />
man<br />
phys<br />
einh 15 ⋅<br />
0<br />
) = 0, 7<br />
ϕ ( T ϕ<br />
also gilt<br />
und<br />
⎛ 0,7 ⋅ ϕ<br />
ln<br />
⎜<br />
⎝ ϕ<br />
max<br />
max<br />
max<br />
⎞<br />
⎟ = −(<br />
δ ⋅15<br />
⋅1,146<br />
s)<br />
⎠<br />
ln( 0,7) − 0,357<br />
δ =<br />
=<br />
= 2,08 ⋅10<br />
( −15<br />
⋅1,146<br />
s) ( −15<br />
⋅1,146<br />
s)<br />
− 2 −1<br />
s<br />
Dabei wurde für einen Dämpfungsgrad D < 0, 1 die Näherung T ≈ T benutzt.<br />
Diese Näherung kann nun überprüft werden. Es ist<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
phys<br />
0<br />
T<br />
= δ<br />
2π<br />
= 2,08 ⋅10<br />
−2<br />
s<br />
−1<br />
1,146 s<br />
⋅ = 3,8 ⋅10<br />
2π<br />
Damit ist die benutzte Näherung gerechtfertigt.<br />
−3<br />
phys<br />
d<br />
phys<br />
phys<br />
0<br />
(d) Das Reibungsmoment M reib bringt in die Differentialgleichung einen Term ein,<br />
der proportional zur (Geschwindigkeit bzw.) Winkelgeschwindigkeit ist. Der Betrag<br />
des Reibungsmoments ist:<br />
M = F L = ( b v)<br />
L = b ( L ϕ&<br />
L<br />
reib reib S<br />
S S )<br />
S<br />
Denn die Verknüpfung zwischen der linearen Geschwindigkeit v der Kugel auf einer<br />
Kreisbahn vom Radius L S und der zugehörigen Winkelgeschwindigkeit ω ist gegeben<br />
durch<br />
v = L S ω = L S ϕ&<br />
Damit ergibt sich für die Differentialgleichung der gedämpften Schwingung – wieder<br />
beschränkt auf kleine Auslenkungen aus der Ruhelage –<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 10
J<br />
D<br />
ϕ&&<br />
+ b L<br />
b L<br />
ϕ&&<br />
+<br />
J<br />
2<br />
S<br />
2<br />
S<br />
D<br />
ϕ&<br />
+ m g L<br />
ϕ&<br />
+<br />
m g L<br />
J<br />
D<br />
S<br />
S<br />
ϕ = 0<br />
ϕ = 0<br />
Methodentransfer aus der Standard-Differentialgleichung für das Feder-Masse-<br />
System mit Dämpfung<br />
y &<br />
+ 2δ<br />
y&<br />
+ ω 0 y = 0<br />
liefert die Eigenkreisfrequenz<br />
D<br />
2<br />
2 m g LS<br />
ω 0 =<br />
(vgl. auch Teilaufgabe (a))<br />
J<br />
und den Zusammenhang zwischen Reibungskoeffizient b und Abklingkonstante δ<br />
2<br />
S<br />
b L<br />
δ =<br />
also<br />
2J<br />
D<br />
aus Teilaufgabe (a) erhält man für den Dämpfungskoef-<br />
Mit den Zahlenwerten für<br />
fizienten<br />
= 0,164 kgs<br />
−1<br />
−1<br />
2 ⋅0,0207<br />
s<br />
b =<br />
0,32<br />
2<br />
m<br />
2<br />
J D<br />
⋅0,405<br />
kg m<br />
2δ<br />
J<br />
b =<br />
L<br />
D<br />
2<br />
S<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 6 -<br />
Prüfungsaufgabe 10
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 11<br />
Ein physikalisches Pendel besteht aus zwei gleichen, schweren Kugeln (Radius r),<br />
die auf einen dünnen Stab gesteckt sind, der durch die Zentren der beiden Kugeln<br />
geht (vgl. Skizze). Die Masse des Stabes sei vernachlässigbar. Das Pendel ist im<br />
Punkt D drehbar gelagert.<br />
Angaben zur Geometrie:<br />
L1<br />
= 0,3 m<br />
L2<br />
= 0,2 m<br />
r = 0,1m<br />
L 2<br />
L 1<br />
D<br />
g r<br />
r<br />
(a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T 0 für freie, ungedämpfte Schwingungen<br />
bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage.<br />
Die Bewegung des Pendels ist durch eine schwache, geschwindigkeitsproportionale<br />
Reibungskraft gedämpft. Man beobachtet, dass die Winkelauslenkungen nach<br />
jeweils fünf Schwingungsperioden auf die Hälfte abnehmen.<br />
(b) Berechnen Sie die Abklingkonstante δ und den Dämpfungsgrad D für diese<br />
gedämpften Schwingungen.<br />
(c) Auf welchen Bruchteil p der Anfangsauslenkung ist die Auslenkung nach<br />
insgesamt n = 20 Schwingungen zurückgegangen?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 11
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 11 – Kurzlösungen<br />
(a) Abstand Drehpunktes D Massenmittelpunkt S d = 0,05 m .<br />
2<br />
Differentialgleichung (linearisiert) β & m g d<br />
+ β = 0 .<br />
J<br />
Massenträgheitsmoment (mit STEINER) J = J + J = m ⋅13,8⋅10<br />
m .<br />
JD<br />
Schwingungsdauer T 0 = 2π<br />
= 2,36 s .<br />
2mgd<br />
− 2 −1<br />
s<br />
(b) Abklingkoeffizient δ = 5,87 ⋅10<br />
;<br />
Dämpfungsgrad D = 2,20 ⋅10<br />
(c) Bruchteil<br />
− 2 <<br />
1 1 1 1 ⎛ 1⎞<br />
1<br />
p = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ = .<br />
2 2 2 2 ⎝ 2 ⎠ 16<br />
4<br />
D<br />
D<br />
D1<br />
D2<br />
0,1 (schwache Dämpfung).<br />
−2<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 11
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 11 – Musterlösung<br />
(a) Der Massenmittelpunkt S des physischen Pendels liegt aus Symmetriegründen<br />
(identische Kugeln) und der Idealisierung eines 'masselosen' Stabs genau in der<br />
Mitte zwischen den beiden Kugelmittelpunkten, also jeweils 0,25 m von den<br />
Kugelmittelpunkten entfernt. Damit wird der Abstand d zwischen dem<br />
Massenmittelpunkt S des Pendels und dem Drehpunkt D<br />
d = 0,05 m unterhalb des Drehpunktes D<br />
Das gleiche Ergebnis liefert die sture Berechnung des Massenmittelpunktes nach<br />
seiner Definition<br />
∑mi<br />
⋅ y i m ⋅ 0 + m ⋅(<br />
L1<br />
+ L2<br />
) ( L1<br />
+ L2<br />
)<br />
yS<br />
= =<br />
= = 0,25 m<br />
m m + m<br />
2<br />
∑<br />
i<br />
dabei ist es unerheblich, in welchen Massenmittelpunkt der Nullpunkt des<br />
Koordinatensystems gelegt wird. Außerdem müssen die Massen der beiden Kugeln<br />
gar nicht explizit bekannt sein.<br />
Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage wird der Betrag des rücktreibenden<br />
Drehmoments<br />
M = − ( mges ) g d sinβ = − (2 m)<br />
g d sinβ ≅ − 2m g d β<br />
Rück<br />
Bei der Berechnung des Drehmoments wird die Gesamtmasse des Pendels als im<br />
Massenmittelpunkt vereinigt angenommen.<br />
Die Linearisierung sin β ≅ β gilt für die Näherung ’kleiner Auslenkungen’, also β
Die Beziehung für das Massenträgheitsmoment im Zähler dieser Gleichung<br />
enthält die Masse m ; die sich gegen die Masse m im Nenner herauskürzt. Die<br />
Masse m braucht also explizit gar nicht bekannt zu sein.<br />
J D<br />
Das Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunkts D ergibt sich als<br />
Summe aus den beiden Massenträgheitsmomenten JD1<br />
und J D 2 der beiden Kugeln<br />
bezüglich des Drehpunkts D . Berücksichtigung des STEINERschen Satzes liefert<br />
also<br />
J<br />
J<br />
J<br />
D1<br />
D2<br />
D<br />
2<br />
= m r<br />
5<br />
2<br />
= m r<br />
5<br />
= J<br />
D1<br />
4<br />
= m ( r<br />
5<br />
2<br />
2<br />
+ J<br />
2<br />
+<br />
D2<br />
+<br />
+ L<br />
= m ⋅13,8<br />
⋅10<br />
mL<br />
=<br />
mL<br />
2<br />
(<br />
5<br />
2<br />
1<br />
−2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
m r<br />
+ L<br />
m<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ mL<br />
2<br />
1<br />
) +<br />
2<br />
(<br />
5<br />
) = m ⋅(0,8<br />
⋅10<br />
m r<br />
−2<br />
2<br />
m<br />
2<br />
J D<br />
+ m L<br />
+<br />
2<br />
2<br />
)<br />
9 ⋅10<br />
−2<br />
m<br />
2<br />
+ 4 ⋅10<br />
Damit wird die Schwingungsdauer T 0 [die Masse m in Zähler und Nenner kürzt sich<br />
heraus, braucht also explizit gar nicht bekannt zu sein].<br />
T<br />
0<br />
= 2π<br />
= 2,36 s<br />
JD<br />
2mgd<br />
= 2π<br />
m ⋅13,8<br />
⋅10<br />
2 ⋅ m ⋅9,81ms<br />
−2<br />
−2<br />
m<br />
−2<br />
⋅0,05 m<br />
−2<br />
m<br />
2<br />
)<br />
(b) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Systems lassen sich darstellen als<br />
ϕ = ϕ<br />
max<br />
−δ<br />
−δ t<br />
⋅e t cos( ωdt<br />
+ ϕ0 ) oder ϕ = ϕmax<br />
⋅e<br />
sin( ωdt<br />
+ ϕ0<br />
)<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende<br />
Exponentialfunktion zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
ϕ<br />
oder<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
einh<br />
einh<br />
max<br />
= ϕ<br />
=<br />
max<br />
e −δ<br />
t<br />
e −δt<br />
Logarithmieren liefert<br />
⎛ ϕ<br />
ln<br />
⎜<br />
⎝ ϕ<br />
einh<br />
max<br />
⎞<br />
⎟ = − δ t<br />
⎠<br />
bei schwacher Dämpfung ist Td ≅ T 0 (diese Annahme muss am Ende überprüft<br />
werden) und man erhält für fünf Schwingungsperioden eine Abnahme der<br />
Auslenkungen auf die Hälfte, also<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 11
⎛ 1<br />
⎜ ϕ<br />
ln⎜<br />
2<br />
⎜ ϕ<br />
⎝<br />
also<br />
wird<br />
max<br />
max<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ = − δ⋅ 5T<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 1 ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟ = − δ⋅ 5T<br />
⎝ 2 ⎠<br />
ln1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− ln2 = −δ⋅5T<br />
da ln 1 = 0<br />
ln2<br />
δ =<br />
5T<br />
0<br />
= 5,87 ⋅10<br />
ln2<br />
=<br />
5⋅<br />
2,36 s<br />
−2<br />
s<br />
−1<br />
Daraus erhält man den Dämpfungsgrad<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
δT0<br />
=<br />
2π<br />
= 2,20 ⋅10<br />
−2<br />
< 0,1<br />
Damit ist die oben gemachte Annahme 'schwache Dämpfung' bestätigt.<br />
(c) Für den Bruchteil, auf den die Anfangsauslenkung nach n = 20 Schwingungen<br />
zurückgegangen ist, gilt mit Td<br />
≅ T0<br />
⎛ ϕeinh<br />
⎞<br />
ln( p)<br />
= ln<br />
⎜<br />
⎟ = − δ (20 ⋅Td<br />
) ≅ 4( − δ ⋅5T0<br />
)<br />
⎝ ϕmax<br />
⎠<br />
mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe (b1)<br />
δ ( 5 T 0 ) = ln2<br />
geht das ohne Zahlenwerte und Taschenrechner<br />
ln( p)<br />
= − 4 ⋅ln2<br />
= ln(2<br />
p = 2<br />
p =<br />
−4<br />
1<br />
16<br />
−4<br />
Argumentation ganz ohne Rechnung:<br />
)<br />
In jeweils fünf Schwingungsperioden geht die Auslenkung auf die Hälfte zurück. Also<br />
in vier dieser (willkürlichen) Zeiteinheiten vier Mal auf jeweils die Hälfte; der Bruchteil<br />
wird<br />
1 1 1 1 ⎛ 1⎞<br />
p = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ =<br />
2 2 2 2 ⎝ 2 ⎠<br />
4<br />
1<br />
16<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 11
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 12<br />
Ein quadratischer Rahmen besteht aus vier dünnen Stäben<br />
A<br />
der Länge L . Der Rahmen wird an einer Ecke A drehbar<br />
L<br />
L<br />
aufgehängt. Der Rahmen wird in der Zeichenebene aus der<br />
Ruhelage ausgelenkt und schwingt anschießend frei in<br />
dieser Ebene mit der Schwingungsdauer T 0 = 2,00 s .<br />
(a) Berechnen Sie die Länge L eines Stabes unter<br />
Vernachlässigung von Reibungseinflüssen und unter L<br />
L<br />
Beschränkung auf kleine Ausschläge der<br />
Schwingungsbewegung.<br />
Durch einen Defekt im Lager wird die Schwingung gedämpft. Das Reibungsmoment<br />
ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Rahmens. Infolge dieser Dämpfung<br />
vergrößert sich die Schwingungsdauer des Rahmens um 1 %.<br />
(b) Bestimmen Sie den Dämpfungsgrad D und den Abklingkoeffizienten δ der<br />
gedämpften Schwingung.<br />
(c) Welchen Betrag hat die Auslenkung nach insgesamt drei Schwingungen, wenn<br />
o<br />
sie zu Beginn βˆ 0 = 6 war?<br />
Hinweis: Das Massenträgheitsmoment eines dünnen Stabes (Masse m , Länge L )<br />
bezüglich einer Achse, die senkrecht zur Stabachse durch den Schwerpunkt geht,<br />
1 2<br />
beträgt J S = mL .<br />
12<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 12
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 12 – Kurzlösungen<br />
(a) Massenträgheitsmoment Rahmen<br />
Gesamtmasse Rahmen m = 4m Stab .<br />
Stablänge<br />
2<br />
3 2T0<br />
g<br />
L = = 0,843 m .<br />
2<br />
20 π<br />
(b) Schwingungsdauer T = ,01⋅T<br />
2,02 s .<br />
d 1 0 =<br />
10 2<br />
J A = mStab<br />
L .<br />
3<br />
ωd<br />
1<br />
Verhältnis der Kreisfrequenzen = = 0, 990 .<br />
ω 1,01<br />
Dämpfungsgrad D = 0,141.<br />
Abklingkoeffizient δ = D ω = 0,443 − .<br />
0<br />
0 s<br />
(c) Winkelauslenkung β( 3T<br />
d ) = 6 ⋅0,069<br />
= 0,42 .<br />
o<br />
1<br />
o<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 12
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 12 – Musterlösung<br />
(a) Für ein physikalisches Pendel gilt für ’kleine Auslenkungen’ aus der Ruhelage für<br />
die Schwingungsdauer<br />
Mit<br />
phys<br />
T0 = 2π<br />
J A<br />
m g d<br />
J A Massenträgheitsmoment bezüglich einer Drehachse durch A<br />
m Gesamtmasse des Rahmens<br />
g Erdbeschleunigung<br />
d Abstand ( AS ) zwischen Drehpunkt A und Gesamtmassenmittelpunkt S<br />
Kleine Auslenkungen sind die einschränkende Bedingung, um die<br />
Differentialgleichung zu linearisieren (also die Näherung sin β ≈ β für β
Es werden damit<br />
1 2 L 3 2<br />
J A1 = 2 ⋅ mStab<br />
⋅(<br />
L + ⋅ ) = mStab<br />
L<br />
12 4 3 3<br />
2<br />
1 2 5 2 3 2 ⋅16<br />
2 8<br />
J A2 = 2 ⋅ mStab<br />
⋅(<br />
L + L ⋅ ) = mStab<br />
⋅ L = mStab<br />
L<br />
12 4 3 12<br />
3<br />
2<br />
2<br />
Das gesamte Massenträgheitsmoment des Rahmens wird<br />
J<br />
A<br />
= J<br />
A1<br />
10<br />
= m<br />
3<br />
+ J<br />
A2<br />
Stab<br />
L<br />
2<br />
= m<br />
3<br />
2<br />
Stab<br />
L<br />
2<br />
8<br />
+ m<br />
3<br />
Stab<br />
Die Gesamtmasse des Rahmens erhält man durch Addition der Einzelmassen<br />
m =<br />
4m Stab<br />
L<br />
2<br />
Der Massenmittelpunkt S eines quadratischen Rahmens liegt aus Symmetriegründen<br />
im Zentrum des Quadrats. Der Abstand zwischen Drehpunkt A und<br />
Massenmittelpunkt S ist damit gleich der halben Diagonale des Quadrats, also<br />
d =<br />
2<br />
2<br />
L<br />
Diese Werte eingesetzt in die (quadrierte) Gleichung für die Schwingungsdauer<br />
ergibt<br />
10 2<br />
( ) m L<br />
J<br />
Stab<br />
2<br />
2 2 A 2<br />
L L<br />
T<br />
3<br />
2 10 ⋅ ⋅ 2 20π<br />
0 = (2π)<br />
= 4π<br />
= π =<br />
m g d<br />
2 3g<br />
2 3 2 g<br />
4mStab<br />
g ( ) L<br />
2<br />
Daraus ergibt sich die Stablänge L zu<br />
2<br />
3 2T0<br />
g<br />
L =<br />
2<br />
20 π<br />
= 0,843 m<br />
3<br />
=<br />
2 ⋅(2,00 s) ⋅ 9,81ms<br />
2<br />
20 π<br />
2<br />
−2<br />
(b) Die Schwingungsdauer<br />
T 0<br />
Mit<br />
; also gilt<br />
T<br />
ω<br />
= 1,01⋅T0<br />
T d<br />
= 1,01⋅<br />
2,00 s<br />
d =<br />
0<br />
1<br />
= 2π ⋅<br />
T<br />
0<br />
und<br />
ω<br />
d<br />
bei Vorliegen von Dämpfung ist um 1 % größer als<br />
2,02 s<br />
1<br />
= 2π ⋅<br />
T<br />
d<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 12
wird das Verhältnis der Kreisfrequenzen<br />
ω<br />
ω<br />
d<br />
0<br />
2π<br />
T0<br />
T<br />
= ⋅ =<br />
T 2π<br />
T<br />
d<br />
0<br />
d<br />
T0<br />
=<br />
1,01⋅T<br />
Der Zusammenhang zwischen<br />
gemäß<br />
ω<br />
Damit<br />
D<br />
2<br />
d<br />
2<br />
= ω<br />
2<br />
0<br />
ω<br />
= 1−<br />
(<br />
ω<br />
D = 0,141<br />
(1−<br />
D<br />
2<br />
d<br />
2<br />
0<br />
2<br />
)<br />
0<br />
) = 1−<br />
(0,990)<br />
2<br />
=<br />
1<br />
1,01<br />
= 0,990<br />
ωd<br />
und ω 0 wird bestimmt vom Dämpfungsgrad D ,<br />
= 0,020<br />
Abklingkoeffizient δ , Dämpfungsgrad D und Eigenkreisfrequenz ω 0 sind verknüpft<br />
gemäß<br />
2π<br />
2π<br />
δ = D ω0<br />
= D = 0,141⋅<br />
T<br />
1 0 2,00s<br />
−<br />
= 0,443 s<br />
(c) Das Abklingen der Schwingungsauslenkungen bei viskoser Reibung wird durch<br />
die Einhüllende einer Exponential-Funktion beschrieben; also<br />
−δt<br />
( t)<br />
= βˆ<br />
⋅e<br />
β 0<br />
Damit wird die Winkelauslenkung der Schwingung nach drei Schwingungsperioden,<br />
also t = 3 ⋅T<br />
d = 6,06 s<br />
β(3T<br />
d<br />
) = 6<br />
= 6<br />
o<br />
o<br />
⋅e<br />
−(0,443 s<br />
−1<br />
⋅0,069<br />
= 0,42<br />
⋅3⋅2,02 s)<br />
o<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 12
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 13<br />
Mit dem POHLschen Drehpendel werden Drehschwingungen untersucht.<br />
In einer ersten Messung wird für insgesamt zehn Schwingungen eines ungedämpften<br />
Systems eine Gesamtzeit t = 22,5 s gemessen.<br />
Um das System viskos zu dämpfen, wird in einem zweiten Versuch eine<br />
Wirbelstrombremse eingeschaltet. Man beobachtet in zehn Schwingungsperioden<br />
eine Abnahme der Auslenkungen (abgelesen auf einem Skalenring) von anfangs 50<br />
Skalenteilen auf 10 Skalenteile.<br />
Bei einer viskos gedämpften Schwingung nehmen die Auslenkungen exponentiell mit<br />
der Zeit ab, gemäß<br />
−δ⋅t<br />
( t)<br />
= βˆ<br />
⋅e<br />
β 0<br />
Bestimmen Sie aus diesen Angaben<br />
(a) den Abklingkoeffizienten δ und<br />
(b) den Dämpfungsgrad D des schwingenden Systems.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 13
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 13 – Kurzlösungen<br />
(a) Abklingkoeffizient δ = 0,0715 s<br />
−1<br />
.<br />
(b) Schwingungsdauer T 0 = 2,25 s .<br />
−1<br />
0 s<br />
Eigenkreisfrequenz ω = 2,79 .<br />
− 2 <<br />
Dämpfungsgrad D = 2,56 ⋅ 10 0,1 .<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 13
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 13 – Musterlösung<br />
(a) Die Auslenkungen eines viskos gedämpften schwingenden Systems klingen<br />
exponentiell ab; also gilt<br />
β(<br />
t)<br />
= βˆ<br />
0 e<br />
−δt<br />
oder umgestellt<br />
β(<br />
t)<br />
= e<br />
βˆ<br />
0<br />
−δ<br />
t<br />
Logarithmieren dieser Beziehung liefert<br />
⎛ t ⎞<br />
⎜<br />
β(<br />
)<br />
ln ⎟<br />
= ln( e<br />
⎝ βˆ<br />
0 ⎠<br />
−δt<br />
) = − δt<br />
Mit der Näherung Td<br />
≈ T0<br />
für Dämpfungsgrade D < 0, 10 wird für Z = 10<br />
Schwingungsperioden, also für eine Gesamtzeit von tZ = 10Td<br />
≈ 10T0<br />
oder<br />
⎛ β(<br />
t = 10T0<br />
) ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟ = − δ ⋅10T<br />
⎝ β(<br />
t = 0) ⎠<br />
⎛ β(<br />
t = 10T<br />
ln⎜<br />
⎝ β(<br />
t = 0)<br />
δ = −<br />
10T<br />
Zahlenwerte<br />
= 0,0715 s<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
) ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 10 ⎞ ⎛ 10 ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟ ln⎜<br />
⎟<br />
50 50 ln1−<br />
ln5 0 −1,61<br />
δ = −<br />
⎝ ⎠<br />
= −<br />
⎝ ⎠<br />
= − = −<br />
22,5 s 22,5 s 22,5 s 22,5 s<br />
0<br />
(b) Der Dämpfungsgrad D ist definiert als das Verhältnis aus Abklingkoeffizient<br />
δ und Eigenkreisfrequenz ω0<br />
D =<br />
δ<br />
ω 0<br />
Die Schwingungsdauer<br />
T<br />
0<br />
Z 22,5 s<br />
= t =<br />
Z 10<br />
= 2,25 s<br />
T 0<br />
für die ungedämpfte Schwingung ist<br />
daraus bestimmt sich die Eigenkreisfrequenz zu<br />
ω<br />
0<br />
2π<br />
2π<br />
= =<br />
Z 2,25 s<br />
= 2,79 s<br />
-1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 13
Der Dämpfungsgrad wird damit<br />
= 2,56 ⋅10<br />
−2<br />
7,15 ⋅10<br />
D =<br />
2,79 s<br />
−1<br />
−2<br />
s<br />
−1<br />
Damit ist die Forderung ’schwache Dämpfung‘ ( 0 < D ≤ 0, 10 ) erfüllt und für die<br />
Schwingungsdauern im gedämpften und ungedämpften Fall die benutzte Näherung<br />
T d ≈ T 0 erlaubt.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 13
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 14<br />
In einem Vorversuch wird die Drehfederkonstante einer Torsionsfeder zu<br />
∗<br />
c = 0,1Nm bestimmt. Die Drehfeder wird mit einem breiten Kupferring samt<br />
Speichen, zu einem POHLschen Drehpendel zusammengebaut.<br />
In einem ersten Versuch wird die Schwingungsdauer dieses Drehpendels ohne<br />
äußere Dämpfung zu T 0 = 2,0 s bestimmt.<br />
In einem zweiten Versuch wird das Drehpendel durch eine Wirbelstrombremse<br />
gedämpft. Man beobachtet, dass die Auslenkungen nach jeweils drei Schwingungen<br />
um 10 % zurückgehen.<br />
(a) Berechnen Sie die Abklingkoeffizient δ und den Dämpfungsgrad D der<br />
gedämpften Schwingung.<br />
(b) Welcher Dämpfungskoeffizient<br />
aperiodischen Grenzfall?<br />
∗<br />
b ap<br />
bestimmt für dieses System den<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 14
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 14 – Kurzlösungen<br />
− 2 −1<br />
s<br />
(a) Abklingkoeffizient δ = 1,76⋅10<br />
.<br />
Eigenkreisfrequenz<br />
Dämpfungsgrad D =<br />
ω<br />
2π<br />
−1<br />
0 = = π s<br />
T0<br />
5,6 ⋅10<br />
− 3 <<br />
.<br />
0,1 (schwache Dämpfung).<br />
(b) Dämpfungskoeffizient b = 6,410 ⋅ kg m s .<br />
∗<br />
ap<br />
−2<br />
2<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 14
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 14 – Musterlösung<br />
(a) Bei viskoser Dämpfung durch die Wirbelstrombremse ist die Einhüllkurve einer<br />
abklingenden Drehschwingung eine Exponentialfunktion, gemäß<br />
−δt<br />
( t)<br />
= βˆ<br />
e<br />
β 0<br />
oder umgestellt<br />
β(<br />
t)<br />
−δ<br />
t<br />
= e<br />
βˆ<br />
0<br />
Logarithmieren dieser Beziehung liefert<br />
⎛ t ⎞<br />
⎜<br />
β(<br />
)<br />
ln ⎟<br />
= ln( e<br />
⎝ βˆ<br />
0 ⎠<br />
−δ<br />
t<br />
) = − δt<br />
Unter der – später zu überprüfenden – Voraussetzung ’schwache Dämpfung’, also<br />
einem Dämpfungsgrad 0 < D ≤ 0,1 , darf die Periodendauer der gedämpften<br />
Schwingung gleich der der ungedämpften Schwingung gesetzt werden, also<br />
T<br />
d ≈ T0<br />
=<br />
2,0s<br />
Für den Zeitpunkt t = 3T 0 wird für die Auslenkung beobachtet<br />
β( 3T<br />
) = 0,9 βˆ<br />
0<br />
0<br />
die oben hergeleitete Beziehung liefert für diese Werte<br />
⎛ β(3T<br />
ln⎜<br />
ˆ<br />
⎝ β0<br />
δ = −<br />
3T<br />
= 1,76⋅10<br />
0<br />
−2<br />
0<br />
) ⎞ ⎛ 0,9 βˆ<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ ln⎜<br />
⎟<br />
ˆ<br />
⎠ ⎝ β0<br />
= −<br />
⎠<br />
3 ⋅ 2,0 s<br />
s<br />
−1<br />
= −<br />
ln(0,9)<br />
6,0 s<br />
Der Dämpfungsgrad D ist definiert als Quotient aus Abklingkoeffizient δ<br />
Eigenkreisfrequenz<br />
D =<br />
δ<br />
ω 0<br />
ω 0<br />
Die Eigenkreisfrequenz<br />
T 0<br />
zu<br />
ω<br />
0<br />
2π<br />
=<br />
T<br />
0<br />
= π s<br />
2π<br />
=<br />
2,0 s<br />
−1<br />
ω 0<br />
und<br />
bestimmt sich aus der gemessenen Schwingungsdauer<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 14
Damit wird der Dämpfungsgrad<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
= 5,6 ⋅10<br />
1,76⋅10<br />
=<br />
π s<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
s<br />
−1<br />
d. h., es liegt (sehr) schwache Dämpfung vor, und damit ist die oben gemachte<br />
Näherung T ≈ erlaubt.<br />
d T 0<br />
(b) Der Abklingkoeffizient δ ist darstellbar aus Dämpfungskoeffizient b *<br />
Massenträgheitsmoment J als<br />
∗<br />
b<br />
δ =<br />
[Analogie zum Federpendel mit<br />
2J<br />
oder umgestellt<br />
∗<br />
b = 2 δ J<br />
Für den aperiodischen Grenzfall ist der Dämpfungsgrad<br />
D<br />
= 1<br />
also gilt für den aperiodischen Grenzfall<br />
δ =<br />
ω 0<br />
b<br />
δ = ]<br />
2 m<br />
Damit kann das Massenträgheitsmoment aus der Eigenkreisfrequenz ω und der<br />
Drehfederkonstanten<br />
Eigenkreisfrequenz<br />
ω 2<br />
c ∗<br />
∗<br />
c<br />
berechnet werden. Es gilt für das Quadrat der<br />
0 =<br />
[Analogie zum Federpendel mit<br />
J<br />
und<br />
J 0<br />
c<br />
=<br />
m<br />
ω0 2 ]<br />
oder für das Massenträgheitsmoment des Kupferrings mit Speichen<br />
∗<br />
2<br />
0<br />
2<br />
c ∗ T<br />
J = = c<br />
2<br />
ω0 4 π<br />
Damit ergibt sich der Dämpfungskoeffizient<br />
∗<br />
b ap<br />
für den aperiodischen Grenzfall zu<br />
b<br />
∗<br />
ap<br />
= 2 δJ<br />
= 2 ω<br />
=<br />
6,4 ⋅10<br />
−2<br />
0<br />
kg m<br />
2<br />
s<br />
0<br />
−1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2 π T<br />
J = 2 c *<br />
T 4 π<br />
c<br />
=<br />
∗<br />
T<br />
π<br />
0<br />
=<br />
0,1 Nm ⋅ 2,0 s<br />
π<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 14
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 15<br />
Drei gleiche, dünne Stäbe (Länge<br />
L = 30 cm , Masse m = 0,2 kg ), sind durch<br />
zwei (masselose) Gelenke zu einem<br />
rechtwinkligen U verbunden. Der mittlere<br />
Stab ist in horizontaler Lage in seinem<br />
Schwerpunkt an einem vertikalen elastischen<br />
Torsionsdraht aufgehängt; die beiden<br />
äußeren Stäbe hängen dabei parallel<br />
zum Torsionsdraht senkrecht nach unten.<br />
Die Gelenke seien zunächst steif.<br />
L<br />
L<br />
L<br />
g r<br />
(a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment der Stabanordnung für die mit<br />
dem Draht zusammenfallende Dreh- und Symmetrieachse.<br />
Das Massenträgheitsmoment eines (dünnen) Stabs (Länge L und Masse m )<br />
bzgl. einer zur Stabachse senkrechten Schwerpunktachse ist gegeben durch<br />
1 J<br />
2<br />
st = mL .<br />
12<br />
(b) Das Stab-U wird von Hand aus der Ruhelage insgesamt zwanzig Mal um die vertikale<br />
Drahtachse gedreht und dann losgelassen. Es kehrt darauf als Torsionsschwinger<br />
in 20 Sekunden zur Ruhelage zurück und setzt anschließend seine<br />
ungedämpften harmonischen Schwingungen fort.<br />
Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ω 01 dieses Drehpendels.<br />
(c) Berechnen Sie aus den Ergebnissen der Teilaufgaben (a) und (b) die Drehfederkonstante<br />
c * des Aufhängedrahts.<br />
(d) Welche Winkelgeschwindigkeit hat die U-Stab-Anordnung beim Durchgang durch<br />
die Ruhelage?<br />
(e) Welche Arbeit W Drill war vor Beginn der Schwingung insgesamt zur Verdrillung<br />
aufzuwenden?<br />
Im Augenblick des 'Nulldurchgangs' – also bei maximaler Winkelgeschwindigkeit –<br />
werden die beiden Gelenke durch ein Steuersignal berührungsfrei aus ihrer Blockierung<br />
entriegelt und die zwei freiwerdenden Seitenstäbe (z. B. mit in den Gelenken<br />
eingebauten gespannten Federn) um die beiden Enden des Mittelstabs nach außen<br />
in die Horizontale geschwenkt. Aus der U-Form entsteht so ein gerader Stab. Der<br />
Vorgang läuft in einer, im Vergleich zur Schwingungsdauer, sehr kurzen Zeit ab.<br />
(f) Welches Massenträgheitsmoment J 2 hat diese Anordnung bezüglich der Fadenachse?<br />
(g) Auf welchen Wert ändert sich die maximale Winkelgeschwindigkeit bei Nulldurchgang<br />
der Schwingung durch diese geometrische Formänderung?<br />
J 1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 15
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 15 – Kurzlösungen<br />
−2<br />
2<br />
1 m<br />
(a) Massenträgheitsmoment U-Stab J = 1,05 ⋅10<br />
kg .<br />
−1<br />
−1<br />
01 s<br />
(b) Eigenkreisfrequenz ω = 7,9 ⋅10<br />
.<br />
(c) Drehfederkonstante c*<br />
= 6,55 ⋅10<br />
Nm .<br />
(d) Maximale Winkelgeschwindigkeit ˆ<br />
−1<br />
β & = β ⋅ ω = 9,9 .<br />
(e) Verdrillungsarbeit W = 5,17 ⋅10<br />
J.<br />
Drill<br />
−5<br />
1max<br />
1 01 s<br />
(f) Massenträgheitsmoment J = 4,05 ⋅10<br />
kg .<br />
−1<br />
−2<br />
2<br />
2 m<br />
1<br />
(g) Drehimpulserhaltung; Maximale Winkelgeschwindigkeit β & = 2,57 − .<br />
2 max s<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 15
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 15 – Musterlösung<br />
J 1<br />
(a) Das Massenträgheitsmoment der Stäbe in U-Anordnung setzt sich additiv aus<br />
den Massenträgheitsmomenten der drei einzelnen Stäbe zusammen. Die Einzelbeiträge<br />
der drei Stäbe sind<br />
• Ein horizontaler Stab<br />
• Zwei vertikale Stäbe<br />
J =<br />
H1<br />
1<br />
12<br />
m L<br />
2<br />
L<br />
2<br />
2<br />
V1 2 m ( )<br />
2J =<br />
Bei einem dünnen Stab (Durchmesser
(d) Eine ungedämpfte harmonische Torsionsschwingung wird beschrieben durch<br />
β = βˆ<br />
1 cos( ω01t<br />
+ ϕ<br />
0<br />
)<br />
(Bei der Wahl einer Kosinus-Funktion zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung<br />
wird wegen der Anfangsbedingung 'Loslassen ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit'<br />
der Nullphasenwinkel ϕ 0 = 0 .)<br />
Die Winkelgeschwindigkeit β & ergibt sich als zeitliche Ableitung der Auslenkwinkel-<br />
Zeit-Funktion allgemein als<br />
β & = − βˆ<br />
ω sin( ω )<br />
1 01 01t<br />
Der Betrag ihres Maximalwerts ist der Vorfaktor der Sinusfunktion, denn der Betrag<br />
der Sinus-Funktion ist beschränkt auf den Bereich 0 ≤ sin( ω01t ) ≤ 1; also wird der<br />
Betrag der maximalen Winkelgeschwindigkeit<br />
ˆ<br />
−2<br />
−1<br />
β & = β ⋅ ω = 20 ⋅ 2π ⋅7,9<br />
⋅10<br />
s<br />
1max<br />
1<br />
= 9,9 s<br />
01<br />
−1<br />
Alternative: Der erste Nulldurchgang mit dem maximalen Betrag der Winkelgeschwindigkeit<br />
wird nach einem Viertel einer Schwingungsperiode erreicht, also zum<br />
T 0<br />
Zeitpunkt t = . Damit wird das Argument der Sinus-Funktion<br />
4<br />
2π<br />
T0<br />
π<br />
( ω01t<br />
) = ⋅ =<br />
T0<br />
4 2<br />
und der zugehörige Wert der Sinus-Funktion<br />
π<br />
sin(<br />
ω01 t ) = sin = 1.<br />
2<br />
Damit ergibt sich wieder das vorige Ergebnis.<br />
Das negative Vorzeichen bedeutet: Bei positiver Anfangsauslenkung ist die Geschwindigkeit<br />
beim ersten Nulldurchgang in die negative Koordinatenrichtung gerichtet.<br />
(e) Die aufzuwendende Verdrillungsarbeit ist proportional dem Quadrat des Verdrillungswinkels,<br />
gemäß<br />
1 2<br />
1 2<br />
W Drill = c * βDr<br />
(analog zum Federpendel W Feder = c y )<br />
2<br />
2<br />
mit c * aus Teilaufgabe (c) und dem gesamten Verdrillungswinkel aus 20 vollen Umdrehungen<br />
β Dr = (20 ⋅ 2π)<br />
(Winkelangaben immer im Bogenmaß!)<br />
wird<br />
1<br />
−5<br />
2<br />
WDrill<br />
= ⋅ 6,55 ⋅10<br />
Nm ⋅(20<br />
⋅ 2π)<br />
2<br />
−1<br />
= 5,17 ⋅10<br />
J<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 15
(f) Das Massenträgheitsmoment nach der Entriegelung ist das einer Stange der Gesamtmasse<br />
mges = 3 m und der Gesamtlänge Lges = 3L<br />
für eine Achse durch ihren<br />
Massenmittelpunkt senkrecht zur Stange, also<br />
J<br />
2<br />
1<br />
2 27 2 9<br />
= (3m)<br />
(3L)<br />
= m L = m L<br />
12<br />
12 4<br />
= 4,05 ⋅10<br />
−2<br />
kgm<br />
2<br />
2<br />
(g) Da bei der berührungsfreien Befreiung der Blockierung im Nulldurchgang keine<br />
äußeren Drehmomente auf das Torsionspendel wirken, bleibt der Drehimpuls L r des<br />
Systems nach Betrag und Richtung erhalten. Es gilt also für die Beträge<br />
r r<br />
L = L<br />
J<br />
1<br />
β&<br />
1max<br />
1max<br />
= J<br />
oder schließlich<br />
β &<br />
2 max<br />
J<br />
=<br />
J<br />
1<br />
2<br />
2 max<br />
2<br />
β&<br />
β&<br />
= 2,57 s<br />
2 max<br />
1max<br />
−1<br />
1,05 ⋅10<br />
=<br />
4,05 ⋅10<br />
−1<br />
−2<br />
kgm<br />
kgm<br />
2<br />
2<br />
⋅9,9<br />
s<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 15
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 16<br />
Eine homogene Scheibe (Masse m = 10,0 kg ) wird für zwei<br />
Schwingungsexperimente benutzt. Es soll jeweils Reibungsfreiheit gelten. S ist der<br />
Massenmittelpunkt und P der jeweilige Drehpunkt für die Schwingungen (vgl.<br />
Skizze).<br />
Experiment (A)<br />
Die Scheibe soll in horizontaler Lage<br />
Drehschwingungen um eine Drehachse<br />
senkrecht zur Scheibe durch den Punkt<br />
P ausführen. Das Rückstellmoment<br />
bewirkt eine Spiralfeder (vgl. Skizze).<br />
S<br />
d<br />
P<br />
Ein Vorversuch zur Bestimmung der<br />
Drehfederkonstante c liefert als<br />
Ergebnis: Eine Verdrillung um den<br />
o<br />
Winkel β = 45 erfordert ein äußeres<br />
Drehmoment M = (π / 2) Nm.<br />
∗<br />
(a) Bestimmen Sie die Drehfederkonstante<br />
∗<br />
c<br />
der Spiralfeder.<br />
(b) Für insgesamt Z = 10 Schwingungen der Scheibe misst man eine Zeit von<br />
t1 = 24,5 s . Bestimmen Sie aus diesen Angaben das Massenträgheitsmoment<br />
der Scheibe.<br />
JP<br />
Experiment (B)<br />
Anschließend wird die Feder entfernt und die Scheibe mit horizontaler Drehachse<br />
durch P im Schwerefeld der Erde zu Pendelbewegungen angeregt.<br />
(c) Für wiederum Z = 10 Schwingungen in dieser Anordnung misst man eine Zeit<br />
von t2 = 11,0 s . Bestimmen Sie den Abstand d = PS zwischen<br />
Massenmittelpunkt S und Aufhängepunkt P.<br />
(d) Welche Pendellänge L hat ein mathematisches Pendel, das die gleiche<br />
Schwingungsdauer hat wie das Pendel in Experiment (B)?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 16
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 16 – Kurzlösungen<br />
(a) Drehfederkonstante c = 2 Nm .<br />
(b) Massenträgheitsmoment J = 0,304 kgm<br />
.<br />
∗<br />
P<br />
(c) Abstand Drehpunkt-Massenmittelpunkt d = PS = 0,100 m .<br />
(d) Fadenpendel – Fadenlänge L = 0,306 m .<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 16
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 16 – Musterlösung<br />
(a) Für ein lineares Momentengesetz gilt – mit der Drehfederkonstante c<br />
Proportionalitätskonstante – für den Zusammenhang zwischen äußerem<br />
Drehmoment M und Winkelauslenkung β<br />
ext<br />
∗<br />
als<br />
M = c<br />
∗ ext β (analog zum HOOKEschen Gesetz für eine ideale Feder F = cy )<br />
daraus wird (der Drehwinkel ist im Bogenmaß einzusetzen)<br />
π<br />
Nm<br />
∗ Mext<br />
c = =<br />
2<br />
= 2 Nm<br />
β π<br />
4<br />
ext<br />
(b) Die Schwingungsdauer eines Drehpendels bestimmt sich aus<br />
∗<br />
Massenträgheitsmoment J und Drehfederkonstante c gemäß<br />
Dreh JP<br />
T0 = 2 π<br />
(analog zum Federpendel T<br />
∗<br />
c<br />
daraus erhält man für das Massenträgheitsmoment<br />
J<br />
P<br />
∗<br />
c T<br />
=<br />
4π<br />
2<br />
0<br />
2<br />
=<br />
= 0,304 kgm<br />
2 (kgm s<br />
2<br />
−2<br />
) m ⋅ 2,45<br />
4π<br />
2<br />
2<br />
s<br />
2<br />
m<br />
c<br />
Federpendel<br />
0<br />
= 2π<br />
)<br />
(c) Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels unter der Einschränkung<br />
’kleine Auslenkungen’ (nach Linearisierung der Differentialgleichung) ist gegeben<br />
durch<br />
phys<br />
T0 = 2π<br />
JP<br />
m g d<br />
mit m Gesamtmasse<br />
g Schwerebeschleunigung<br />
d Abstand zwischen Drehpunkt P und Massenmittelpunkt S<br />
J P Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunkts P<br />
Quadrieren und Auflösen nach dem Abstand Drehpunkt-Massenmittelpunkt<br />
liefert<br />
4π<br />
d =<br />
m g ( T<br />
= 0,100 m<br />
2<br />
JP<br />
phys<br />
0<br />
)<br />
2<br />
2<br />
4π<br />
⋅0,304<br />
kg m<br />
=<br />
−2<br />
10 kg⋅10<br />
m s ⋅1,1<br />
2<br />
2<br />
s<br />
2<br />
d = PS<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 16
(d) Ein Fadenpendel hat, wieder unter der Einschränkung ’kleine Auslenkungen’ aus<br />
der Ruhelage (nach Linearisierung der Differentialgleichung) eine Schwingungsdauer<br />
von<br />
T<br />
math<br />
0<br />
= 2π<br />
L<br />
g<br />
mit L Länge des Pendels<br />
g Schwerebeschleunigung<br />
mit der Forderung<br />
phys math<br />
0<br />
T0<br />
T =<br />
wird nach Quadrieren und Umstellung die Fadenlänge<br />
( T<br />
L =<br />
phys 2<br />
0<br />
)<br />
2<br />
4π<br />
= 0,306 m<br />
2<br />
g 1,1 s<br />
=<br />
2<br />
⋅10<br />
m s<br />
4π<br />
2<br />
−2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 16
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 17<br />
An einer langen Schraubenfeder ist ein hantelförmiger<br />
Körper angeschweißt (vgl. Skizze). Dieses<br />
Feder-Masse-System kann vertikale Längsschwingungen<br />
und gleichzeitig Drehschwingungen<br />
um die Federachse ausführen. Die beiden<br />
Schwingungszustände sind über die gemeinsame<br />
Feder miteinander gekoppelt. Nach WILBERFORCE<br />
kann man die besonderen Phänomene der Kopplungsschwingungen<br />
dann deutlich demonstrieren,<br />
wenn die Eigenfrequenzen der Längs- und der<br />
Drehschwingung gleich sind. In diesem Fall treten<br />
(bei geeigneten Anfangsbedingungen) Schwebungen<br />
auf und die Energie oszilliert von einem<br />
Schwingungszustand in den anderen und wieder<br />
zurück.<br />
m<br />
∗<br />
c; c<br />
L<br />
L<br />
m = 0,032 kg<br />
L = 0,04 m<br />
r = 0,<br />
01m<br />
g r<br />
r<br />
m<br />
(a) Belastet man die Feder mit der Gewichtskraft der Hantel (vgl. Skizze), dann verlängert<br />
sich die Feder um s 1 = 0,37 m . Die Hantel besteht aus einem – idealisierend<br />
masselosen – Stab und den beiden Kugeln. Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz<br />
für die vertikalen ungedämpften Längsschwingungen des Feder-<br />
ω 0,L<br />
pendels.<br />
(b) Dreht man in der Ruhelage die Hantel fünf Mal vollständig um die vertikale<br />
Schraubenachse, dann ist dazu ein äußeres Drehmoment von<br />
M<br />
ext<br />
= 5,6 ⋅10<br />
−2<br />
Nm aufzuwenden, um die Hantel statisch ruhig zu halten. Welche<br />
Eigenkreisfrequenz<br />
ω 0,Dr<br />
haben reine Drehschwingungen der Hantel?<br />
(c) Mit den angegebenen Maßen ist die Bedingung für ausgeprägte Kopplungsschwingungen<br />
(Schwebungen) nicht erfüllt. Welcher Abstand der Kugeln von<br />
der Drehachse muss eingestellt werden, damit<br />
0, Dr = ω0,L<br />
L res<br />
ω gilt?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 17
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 17 – Kurzlösungen<br />
(a) Federkonstante c = 1,70 Nm .<br />
-1<br />
0, L s<br />
Längsschwingungen – Eigenkreisfrequenz ω = 5,15 .<br />
(b) Drehfederkonstante (oder Winkelrichtgröße) c*<br />
= 1,79 ⋅10<br />
Nm (rad ) ;<br />
Massenträgheitsmoment (STEINER) J = 1,05 ⋅10<br />
kg m ;<br />
Drehschwingungen – Eigenkreisfrequenz ω = 4,13 .<br />
(c) Resonanzbedingung<br />
Massenträgheitsmoment<br />
ω .<br />
0, Dr = ω0,<br />
L<br />
Resonanz – Länge L res = 3,31cm .<br />
−4<br />
2 2 2<br />
J res = 2mLres<br />
+ 2 mr ;<br />
5<br />
2<br />
−3<br />
−1<br />
0, Dr s<br />
-1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 17
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 17 – Musterlösung<br />
F ext<br />
(a) Die Federkonstante c für die Längsschwingungen ergibt sich für eine ideale Feder<br />
nach HOOKE aus der äußeren Kraft , hier der Gewichtskraft der beiden Kugeln,<br />
und der sich einstellenden Auslenkung<br />
mit<br />
wird<br />
F ext = c s 1<br />
F = F 2m g<br />
ext grav =<br />
F<br />
c =<br />
s<br />
grav<br />
1<br />
2mg<br />
=<br />
s<br />
= 1,697 Nm<br />
1<br />
2 ⋅0,032 kg ⋅9,81ms<br />
=<br />
0,37 m<br />
Die Eigenkreisfrequenz ω 0L für Längsschwingungen des Feder-Masse-Systems ergibt<br />
sich aus Federkonstante c und der Masse ( 2m)<br />
der angehängten Hantel zu<br />
-2<br />
s 1<br />
ω<br />
0,L<br />
=<br />
c<br />
=<br />
2m<br />
= 5,149<br />
s<br />
-1<br />
2m g<br />
⋅<br />
s<br />
1<br />
1<br />
2m<br />
=<br />
g<br />
s<br />
1<br />
=<br />
9,81ms<br />
0,37m<br />
−2<br />
(b) Die Drehfederkonstante (oder Winkelrichtgröße) c * ergibt sich für eine ideale<br />
Drehfeder aus dem äußeren Drehmoment und dem sich dadurch einstellenden<br />
Auslenkwinkel<br />
M ext = c *ϕ 1<br />
also für<br />
c*<br />
= M<br />
ϕ<br />
ϕ 1<br />
ϕ1 = 5 ⋅ 2π<br />
(rad)<br />
ext<br />
1<br />
= 1,789 ⋅10<br />
5,6 ⋅10<br />
Nm<br />
=<br />
5 ⋅ 2π<br />
−3<br />
−2<br />
Nm (rad<br />
-1<br />
M ext<br />
(Drehwinkelangabe im Bogenmaß)<br />
)<br />
Die Eigenkreisfrequenz<br />
ω 0,Dr<br />
für Drehschwingungen des Drehpendel-Systems ergibt<br />
sich aus Drehfederkonstante c * und dem Massenträgheitsmoment J der angehängten<br />
Hantel zu<br />
ω 0, Dr =<br />
c *<br />
J<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 17
Das Massenträgheitsmoment der Hantel mit zwei Kugeln ist mit STEINER-Anteil (die<br />
Kugeln sind um die Strecke L aus der Drehachse verschoben)<br />
2 2 2 2 2<br />
J = 2 [ mr + mL ] = 2m<br />
[ r + L<br />
5<br />
5<br />
= 0,064 kg ⋅[0,4<br />
+ 16] ⋅10<br />
= 1,050 ⋅10<br />
−4<br />
kg m<br />
2<br />
−4<br />
damit wird die Eigenkreisfrequenz<br />
m<br />
2<br />
2<br />
] = 2 ⋅ 0,032 kg ⋅[<br />
2<br />
5<br />
⋅(1,0<br />
⋅10<br />
ω 0, Dr der Drehschwingungen<br />
−2<br />
m)<br />
2<br />
+ (4,0 ⋅10<br />
−2<br />
m)<br />
2<br />
]<br />
ω<br />
0,Dr<br />
=<br />
c *<br />
J<br />
=<br />
1,789 ⋅10<br />
−3<br />
1,050 ⋅10<br />
(kgms<br />
−4<br />
-2<br />
kg m<br />
) m<br />
2<br />
=<br />
17,04 s<br />
−2<br />
= 4,128 s<br />
−1<br />
(c) Die Resonanzbedingung<br />
c =<br />
m<br />
c<br />
J<br />
*<br />
2 res<br />
oder umgeformt<br />
c*<br />
2m = J<br />
c<br />
res<br />
Das Massenträgheitsmoment<br />
erhält man analog zu Teilaufgabe (b) für eine Verschiebung<br />
der Kugeln um<br />
2 2<br />
J res = 2mLres<br />
+ 2 mr<br />
5<br />
Eingesetzt ergibt sich<br />
c*<br />
2m<br />
c<br />
c*<br />
c<br />
= 2mL<br />
= L<br />
2<br />
res<br />
2<br />
res<br />
L res<br />
2<br />
2<br />
+ 2 mr<br />
5<br />
2 2<br />
+ r<br />
5<br />
ω ist erfüllt für<br />
0, Dr = ω0,<br />
L<br />
J res<br />
2<br />
aus der Drehachse<br />
damit wird die erforderliche Länge für die Resonanzbedingung<br />
L<br />
2<br />
res<br />
c*<br />
2<br />
= − r<br />
c 5<br />
2<br />
= 10,94 ⋅10<br />
und schließlich<br />
L res = 3,307 cm<br />
−4<br />
m<br />
2<br />
−3<br />
1,789 ⋅10<br />
Nm<br />
=<br />
−<br />
-1<br />
1,697 Nm<br />
2<br />
5<br />
⋅(1,0<br />
⋅10<br />
−2<br />
m)<br />
2<br />
= (10,54 + 0,40) ⋅10<br />
−4<br />
m<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 17
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 18<br />
r<br />
L<br />
β<br />
D<br />
m<br />
(a) Berechnen Sie die Eigenfrequenz<br />
die stabile Lage<br />
f 01<br />
β 0 = 0 für kleine Winkelamplituden.<br />
∗<br />
Das skizzierte schwingungsfähige<br />
System besteht aus einer dünnen<br />
Stange, die im Punkt D reibungsfrei<br />
gelagert ist. Die – idealisierend als<br />
masselos zu betrachtende – Stange trägt<br />
oberhalb des Drehpunktes D im Abstand<br />
L = 0,30 m eine Kugel (Masse<br />
m = 3,50 kg ; Radius r = 0,050 m ).<br />
An der Stange ist in D eine Spiralfeder<br />
angebracht, die in der senkrechten Lage<br />
β 0 kein Drehmoment ausübt.<br />
0 =<br />
Die Drehfederkonstante ist c0 = 45 Nm .<br />
Das System schwingt im Schwerefeld<br />
der Erde.<br />
für freie ungedämpfte Schwingungen um<br />
(b) Wenn die Drehfederkonstante c klein wird, kann das System bei β 0 = 0 labil<br />
werden. Das System schwingt dann nicht mehr um diese senkrechte Lage.<br />
∗<br />
Berechnen Sie die Federkonstante c 1 , bei der die Stabilität gerade<br />
verschwindet.<br />
Für c<br />
β = −<br />
∗ ∗<br />
0 < c 1<br />
2 β links<br />
besitzt das System bei den Winkelpositionen β1 = β rechts und<br />
auf der rechten und der linken Seite zwei stabile Gleichgewichtslagen.<br />
(c) Welchen Wert muss die Drehfederkonstante haben, damit die Stange in<br />
diesen beiden Gleichgewichtslagen gerade waagrecht liegt?<br />
(d) Berechnen Sie die Eigenfrequenz f 02 für freie ungedämpfte Schwingungen um<br />
π<br />
die rechte Gleichgewichtslage β 1 = (in der Näherung für kleine Amplituden).<br />
2<br />
π<br />
Hinweis und Lösungshilfe: Setzen Sie β = ( + γ)<br />
und geben Sie die Gleichungen<br />
2<br />
für einen kleinen Auslenkwinkel γ an.<br />
∗<br />
c 2<br />
∗<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 18
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 18 – Kurzlösungen<br />
(a) Drehmoment (linearisiert) M = M + M = − c β + ( m g)<br />
⋅ ( Lβ)<br />
.<br />
res<br />
rück<br />
ausl<br />
∗<br />
Differentialgleichung (linearisiert): − c β + mgLβ<br />
= β&<br />
.<br />
∗<br />
0<br />
0 J D<br />
Massenträgheitsmoment (STEINER) J = 3,19 ⋅10<br />
kgm<br />
.<br />
Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
= 10,4 −<br />
01 s<br />
1<br />
D<br />
−1<br />
; Eigenfrequenz<br />
2 c0<br />
− mgL<br />
(b) Grenzbedingung für Stabilität nach (a) ω =<br />
0 .<br />
Drehfederkonstante c1 = mg L = 0,30 Nm .<br />
r r<br />
(c) Gleichgewichtsbedingung M rück = M .<br />
Drehfederkonstante c2 = 6,56 Nm.<br />
∗<br />
∗<br />
ausl<br />
∗<br />
2<br />
01 =<br />
J D<br />
ω01<br />
−1<br />
f 01 = = 1,66 s .<br />
2π<br />
∗ π<br />
(d) Gleichgewichtsbedingung (vgl. Teilaufgabe (c)):( c 2 − m g L)<br />
= 0 .<br />
2<br />
c2<br />
Schwingungsdifferentialgleichung & γ<br />
+ γ = 0 .<br />
J<br />
Eigenkreisfrequenz = 4,54 −1<br />
1<br />
ω<br />
; Kreisfrequenz f = 0,722 − .<br />
02 s<br />
∗<br />
D<br />
02 s<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 18
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 18 – Musterlösung<br />
(a) Bei Auslenkung des schwingungsfähigen Systems aus der vertikalen Ruhelage<br />
wirken folgende Drehmomente (Vorzeichen und Beträge) auf die Anordnung<br />
• ein rückstellendes Drehmoment (negatives Vorzeichen) der Drehfeder<br />
∗<br />
M rück = − c 0 β (analog dem HOOKEschen Gesetz für eine ideale Feder),<br />
• ein auslenkendes Drehmoment (positives Vorzeichen) durch die<br />
Massenverteilung des Systems<br />
M = ( m g)(<br />
L sinβ)<br />
ausl<br />
Für kleine Auslenkwinkel aus der Ruhelage, also für β
Damit erhält man<br />
ω<br />
2<br />
01<br />
c<br />
=<br />
∗<br />
0 −<br />
J D<br />
= 108,8 s<br />
mgL<br />
−2<br />
=<br />
45,0 Nm − 3,50 kg ⋅9,81 ms<br />
0,319 kgm<br />
2<br />
−2<br />
⋅0,30<br />
m<br />
=<br />
( 45,0 −10,3)<br />
kgm<br />
0,319 kgm<br />
2<br />
2<br />
s<br />
−2<br />
und die Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
= 10,4 −<br />
01 s<br />
1<br />
daraus ergibt sich die Eigenfrequenz<br />
ω<br />
01<br />
−1<br />
01 = = 1,66 s<br />
f<br />
2π<br />
Mit kleiner werdender Drehfederkonstante<br />
kann das System 'kippen'. Die<br />
Grenzbedingung für Stabilität ist erreicht, wenn in der Beziehung für die<br />
Eigenkreisfrequenz nach Teilaufgabe (a)<br />
ω<br />
2<br />
01<br />
∗<br />
c0<br />
− mgL<br />
=<br />
J D<br />
der Zähler verschwindet, also null wird.<br />
Diese Bedingung für Kippen liefert für die zugehörige Drehfederkonstante<br />
∗<br />
c 0 − m g L = 0<br />
Die Drehfederkonstante<br />
c<br />
∗<br />
1<br />
c 1 *<br />
= m g L = 3,50 kg⋅9,81ms<br />
= 0,30 Nm<br />
∗<br />
c 0<br />
bestimmt sich zu<br />
−2<br />
⋅0,30 m<br />
∗<br />
c 1<br />
(c) Die Gleichgewichtsbedingung fordert, dass das resultierende Gesamt-<br />
Drehmoment verschwindet, also gilt<br />
∑ M r<br />
= 0<br />
Damit gilt für die Beträge des rücktreibenden und des auslenkenden Drehmoments<br />
die Forderung<br />
r r<br />
M rück = M ausl<br />
Für die waagrechte Lage, also für<br />
r<br />
M = L(<br />
m g)<br />
ausl<br />
damit wird<br />
L ( m g)<br />
= c2<br />
∗<br />
π<br />
2<br />
und<br />
π<br />
β rechts = ist<br />
2<br />
M r<br />
= c<br />
rück<br />
∗<br />
2<br />
π<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 18
und<br />
c<br />
∗<br />
2<br />
2<br />
= ⋅ m g L = ⋅3,50 kg⋅9,81ms<br />
π π<br />
= 6,56 Nm<br />
2 −2<br />
⋅0,30 m<br />
(d) In Analogie zu Teilaufgabe (a) gilt<br />
J<br />
D<br />
β &<br />
= − c<br />
∗<br />
2<br />
β +<br />
mg Lsinβ<br />
π<br />
Mit der Setzung β = ( + γ)<br />
wird daraus<br />
2<br />
2<br />
d π<br />
∗ π<br />
π<br />
J D ( + γ)<br />
= − c2<br />
( + γ)<br />
+ m g L sin( + γ)<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
2<br />
2<br />
π<br />
oder mit der trigonometrischen Identität sin( + γ)<br />
= cos γ umgeschrieben<br />
2<br />
∗ π ∗<br />
J D<br />
& γ<br />
= − c2 − c2<br />
γ + m g Lcos<br />
γ<br />
2<br />
Für kleine Auslenkwinkel aus der neuen Ruhelage, also für γ
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 19<br />
Eine Analysenwaage aus dem physikalischen Praktikum (vgl. Abb. 1) soll durch ein<br />
leichter zu berechnendes Modell (vgl. Abb. 2) simuliert werden. Der Waagebalken<br />
mit Schalen und Gewichten wird ersetzt durch eine lange dünne Stange der Länge<br />
L und Masse m (der Radius der Stange ist wesentlich kleiner als die Länge). Der<br />
St<br />
St<br />
Zeiger wird ebenfalls simuliert durch eine sehr dünne Stange der Länge<br />
Masse .<br />
m Z<br />
L Z<br />
und der<br />
Abb. 1<br />
Abb. 2<br />
L<br />
St<br />
D<br />
L Z<br />
β<br />
g r<br />
Daten zur Geometrie und den Massen der Körper:<br />
Waagebalken: Masse<br />
mSt = 120 g, Länge<br />
Zeiger: Masse m Z = 25 g , Länge<br />
L St = 30 cm .<br />
L Z = 20 cm .<br />
(a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment des starren Systems<br />
Waagebalken mit Zeiger bezüglich der Drehachse durch D senkrecht zur<br />
Zeichenebene. Das Massenträgheitsmoment einer langen dünnen Stange für<br />
eine Achse durch den Schwerpunkt (senkrecht zur Zeichenebene) ist<br />
1 2<br />
J S = mL .<br />
12<br />
(b) Stellen Sie die Differentialgleichung für ungedämpfte Drehschwingungen (sehr)<br />
kleiner Amplitude auf.<br />
(c) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz ω 0 und die Schwingungsdauer<br />
Modell-Systems.<br />
Durch Reibungsverluste sind die Schwingungen der Waage schwach gedämpft. Man<br />
beobachtet, dass die Ausschläge nach jeweils sieben Schwingungen auf ein Fünftel<br />
des Anfangswertes abnehmen.<br />
(d) Bestimmen Sie den Dämpfungsgrad D und den Abklingkoeffizienten δ .<br />
(e) Um welchen Anteil (Prozentangabe) ist die Schwingungsdauer<br />
gedämpften Schwingung größer als die der ungedämpften Schwingung ?<br />
J D<br />
T d<br />
der<br />
T 0<br />
T 0<br />
des<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 19
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 19 – Kurzlösungen<br />
(a) Massenträgheitsmoment Stange J = 9,0 ⋅10<br />
kgm<br />
.<br />
St, D<br />
Massenträgheitsmoment Zeiger J = 3,33 ⋅10<br />
kg .<br />
−4<br />
−4<br />
2<br />
Z, D<br />
m<br />
Gesamtes Massenträgheitsmoment J = 1,23 ⋅10<br />
kgm<br />
.<br />
(b) Rücktreibendes Drehmoment Zeiger<br />
(linearisiert) M<br />
rück<br />
Lz<br />
Lz<br />
= −( mz<br />
g)<br />
⋅ ( sinβ)<br />
≈ −mz<br />
g<br />
2<br />
2<br />
z z<br />
Differentialgleichung (linearisiert) β& m g L<br />
+ β = 0 .<br />
2J<br />
D<br />
(c) Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
0 s<br />
D<br />
−3<br />
β .<br />
1<br />
= 4,47 −<br />
2π<br />
; Schwingungsdauer T 0 = = 1,41s<br />
.<br />
ω<br />
(d) Abklingkoeffizient = 0,164 s<br />
−1<br />
−<br />
δ ; Dämpfungsgrad D = 3,67 ⋅10<br />
2 < 0, 1.<br />
(e) Schwingungsdauern (Reihenentwicklung)<br />
T<br />
T 1<br />
= ⋅T0<br />
. Abweichung weniger als 0,1 %.<br />
1−<br />
D 2<br />
0<br />
2<br />
d ≈ (1+<br />
D ) T0<br />
≈ 1, 001<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 19
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 19 – Musterlösung<br />
Vorbemerkung zum angegebenen Modell: Der Begriff ’Stange’ beinhaltet, dass die<br />
Querabmessungen sehr klein sind gegen die Länge der Stange; dabei ist die<br />
geometrische Form des Querschnitts (rechteckig, rund oder x-Profil) unerheblich. Bei<br />
der Berechnung des Massenträgheitsmoments geht die Querschnittsfläche in das<br />
Volumen und damit in die Gesamtmasse ein.<br />
Sind die Querabmessungen nicht mehr vernachlässigbar, z. B. für einen Backstein,<br />
dann gehen in die Massenträgheitsmomente zwei Abmessungen ein.<br />
(a) Der Waagebalken dreht sich – aus Symmetriegründen – um eine Achse durch<br />
den eigenen Schwerpunkt. Für das Massenträgheitsmoment gilt mit r
Mit den obigen Beziehungen für M = M und folgt daraus<br />
− m<br />
z<br />
oder<br />
β&<br />
m<br />
+<br />
Lz<br />
g<br />
2<br />
g L<br />
β = J<br />
D<br />
z z<br />
β =<br />
2J<br />
D<br />
β&<br />
0<br />
res<br />
rück<br />
J D<br />
(c) Durch Koeffizientenvergleich mit der Standard-Differentialgleichung<br />
β &<br />
+ ω<br />
2<br />
0 β =<br />
0<br />
erhält man für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
mz<br />
g L<br />
=<br />
2J<br />
D<br />
= 20,0 s<br />
z<br />
−2<br />
und die Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
= 4,47 −<br />
0 s<br />
1<br />
−3<br />
−2<br />
25 ⋅10<br />
kg ⋅9,81ms<br />
⋅0,20 m<br />
=<br />
−3<br />
2<br />
2 ⋅1,23<br />
⋅10<br />
kgm<br />
und die Schwingungsdauer für die ungedämpfte Schwingung des Modellsystems<br />
2π<br />
T 0 = = 1,41s .<br />
ω<br />
0<br />
(d) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Systems lassen sich darstellen als<br />
ϕ = ϕ<br />
max<br />
−δ<br />
−δ t<br />
⋅e t cos( ωdt<br />
+ ϕ0 ) oder ϕ = ϕmax<br />
⋅e<br />
sin( ωdt<br />
+ ϕ0<br />
)<br />
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende<br />
Exponentialfunktion zu untersuchen; also den Zeitverlauf von<br />
oder<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
einh<br />
einh<br />
max<br />
= ϕ<br />
=<br />
max<br />
e −δt<br />
e −δt<br />
Logarithmieren liefert<br />
⎛ ϕ<br />
ln<br />
⎜<br />
⎝ ϕ<br />
einh<br />
max<br />
⎞<br />
⎟ = − δ t<br />
⎠<br />
bei schwacher Dämpfung ist Td ≅ T 0<br />
werden).<br />
(diese Annahme muss am Ende überprüft<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 19
ϕ<br />
Mit den Vorgaben<br />
ϕ<br />
Zeitintervall<br />
= 0,164 s<br />
t = 7 ⋅T 0<br />
⎛ 1 ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
5<br />
δ = −<br />
⎝ ⎠<br />
7 ⋅1,41s<br />
−1<br />
einh =<br />
max<br />
1<br />
5<br />
für jeweils sieben Schwingungsperioden, also für ein<br />
wird der Abklingkoeffizient<br />
ln1−<br />
ln5 ln5<br />
= − =<br />
7 ⋅1,41s<br />
7 ⋅1,41s<br />
Der Dämpfungsgrad ergibt sich aus Abklingkoeffizient δ und Eigenkreisfrequenz ω 0<br />
zu<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0<br />
= 3,67 ⋅10<br />
0,164 s<br />
=<br />
4,47 s<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
Damit liegt mit einem Dämpfungsgrad 0 < D ≤ 0, 10 für das System ’schwache<br />
Dämpfung’ vor und die benutzte Näherung T d = T0<br />
war gerechtfertigt.<br />
(e) Die Eigenkreisfrequenzen und die Schwingungsdauern für die Bedingungen mit<br />
und ohne Dämpfung sind über den Dämpfungsgrad miteinander verknüpft<br />
ω<br />
ω<br />
d<br />
0<br />
=<br />
2 T<br />
1− D =<br />
T<br />
damit wird schließlich<br />
T0<br />
Td = = 1, 001⋅T<br />
2<br />
1−<br />
D<br />
0<br />
d<br />
, wegen T<br />
0<br />
= 2π<br />
ω<br />
Da die Berechnung – wegen D
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 20<br />
Ein Rad hat die Masse m = 1,5 kg , den Innendurchmesser<br />
Außendurchmesser d a = 220 mm .<br />
d i = 180 mm und den<br />
In einem ersten Versuch (vgl. Skizze 1) wird das Rad an einem Nagel im Punkt A<br />
aufgehängt. Man lässt es (bei kleinen Auslenkwinkeln aus der Ruhelage) im Schwerefeld<br />
der Erde pendeln. Die gemessene Periodendauer aus mehreren Messungen<br />
ist T 0a = 1,20 s .<br />
(a) Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment<br />
den Massenmittelpunkt.<br />
J S<br />
bezüglich der Radachse durch<br />
A<br />
P 1<br />
a 1<br />
c 1<br />
S<br />
d i<br />
d a<br />
S<br />
S<br />
c 2<br />
P 2<br />
a 2<br />
Skizze 1<br />
Skizze 2<br />
In einem zweiten Versuch (vgl. Skizze 2) wird das Rad im Schwerpunkt S reibungsfrei<br />
gelagert. In den Punkten und P sind Federn mit den Federkonstanten<br />
−1<br />
P1<br />
2<br />
c1 = c2<br />
= c = 1,20 Ncm<br />
befestigt. Im Ruhezustand bilden die starren Verbindungen<br />
und a Tangenten an den äußeren Radumfang.<br />
a1<br />
2<br />
(b) Stellen Sie die Differentialgleichung für die Drehschwingungen des Rades auf.<br />
Dies soll wieder unter der Voraussetzung kleiner Winkelausschläge erfolgen.<br />
(c) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz ω 0c und die Periodendauer T 0c der Drehschwingungen<br />
um S.<br />
Aufstecken von zwei Flügeln (Masse vernachlässigbar) auf die Felge führt zu einer<br />
Dämpfung des schwingungsfähigen Systems. Man beobachtet anschließend, dass<br />
die Winkelausschläge in jeweils fünf Schwingungsperioden auf die Hälfte des Anfangswerts<br />
abnehmen.<br />
(d) Bestimmen Sie den Dämpfungsgrad D des Systems.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 20
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 20 – Kurzlösungen<br />
(a) Massenträgheitsmoment (STEINER)<br />
mdg mRigT0a<br />
J A = = .<br />
2<br />
ω 4 π<br />
−2<br />
2<br />
0a<br />
Massenträgheitsmoment J = 3,62 ⋅10<br />
kgm<br />
.<br />
(b) Kleiner Auslenkwinkel β ; Bogenlänge<br />
Federn in Parallelanordnung<br />
S<br />
cres = 2c<br />
.<br />
2<br />
R = Federdehnung y ;<br />
Rücktreibendes Drehmoment M = −2[<br />
c y]<br />
R = −(2c<br />
R ) β .<br />
rück<br />
2 a<br />
Differentialgleichung β& c R<br />
+ β = 0 .<br />
J<br />
(c) Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
0c<br />
S<br />
2<br />
= 8,96 s<br />
−<br />
1<br />
(d) Abklingkoeffizient δ = 0,198 s<br />
− .<br />
Dämpfungsgrad<br />
1<br />
a<br />
a<br />
2<br />
a<br />
y<br />
β = .<br />
R a<br />
; Schwingungsdauer T 0c = 0,70 s .<br />
D = 0,022 < 0,1 (schwache Dämpfung).<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 20
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 20 – Musterlösung<br />
(a) Für ein physikalisches Pendel gilt bei kleinen Auslenkwinkeln aus der Ruhelage<br />
für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz ω<br />
mit<br />
ω<br />
2<br />
0a<br />
=<br />
m d g<br />
J<br />
A<br />
m Gesamtmasse des Pendels<br />
d Abstand zwischen Aufhängepunkt A und Massenmittelpunkt S<br />
Di<br />
d = AS = Ri<br />
= halber Innendurchmesser<br />
2<br />
g Fallbeschleunigung<br />
J A Massenträgheitsmoment der Anordnung bezüglich einer Achse durch<br />
den Aufhängepunkt A<br />
Der Zusammenhang zwischen Eigenkreisfrequenz ω 0a und Schwingungsdauer<br />
ist<br />
ω<br />
0a<br />
1<br />
= 2π ⋅ T<br />
0a<br />
Daraus erhält man das Massenträgheitsmoment<br />
Aufhängepunkts A<br />
J<br />
A<br />
mdg<br />
=<br />
ω<br />
2<br />
0a<br />
mRigT<br />
=<br />
4 π<br />
0a<br />
2<br />
J A<br />
0a<br />
J A<br />
bezüglich des<br />
Das Massenträgheitsmoment bezüglich des Aufhängepunkts und das Massenträgheitsmoment<br />
JS<br />
bezüglich des Massenmittelpunkts S sind über den STEINERschen<br />
Satz verknüpft<br />
2<br />
J = J + ma dabei ist a = R<br />
A<br />
S<br />
Daraus wird<br />
J<br />
S<br />
2<br />
0a<br />
2<br />
= 1,50 kg ⋅9,0<br />
⋅10<br />
= 1,35 ⋅10<br />
= 3,62 ⋅10<br />
−1<br />
−2<br />
kgm<br />
−2<br />
kgm⋅(0,365<br />
− 0,09) m<br />
2<br />
2<br />
1,20 s<br />
m ⋅ (<br />
2<br />
4π<br />
2<br />
i<br />
der<br />
2<br />
0a<br />
2<br />
⋅9,81 ms<br />
Abstand<br />
T<br />
2 T<br />
= ( mRi<br />
g)<br />
− ( mRi<br />
) = mRi<br />
( g − Ri<br />
)<br />
4π<br />
4π<br />
−2<br />
AS<br />
− 9,0 ⋅10<br />
−2<br />
m)<br />
T 0a<br />
(b) Die tangential am Außendurchmesser angreifenden Federkräfte üben ein Drehmoment<br />
auf das Rad aus und bewirken Drehschwingungen. Da für eine ideale Feder<br />
Stauchung und Dehnung äquivalent sind, addieren sich die von den beiden Federn<br />
ausgeübten Drehmomente in Parallelschaltung.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 20
Bei Linksdrehung des Rades wird die obere Feder gedehnt und die untere um den<br />
gleichen Betrag gestaucht; beide Auslenkungen bewirken ein rücktreibendes Drehmoment.<br />
Den Zusammenhang zwischen der linearen Auslenkung y einer der beiden Federn<br />
und dem Drehwinkel β liefert die Definition des Winkels im Bogenmaß, also<br />
Winkel ϕ =<br />
Bogenlänge s Federdehnung y<br />
=<br />
Radius R Außenradius R<br />
denn für kleine Auslenkwinkel β ist die Bogenlänge gleich der Federdehnung y . Also<br />
gilt<br />
y<br />
β = oder y = R a ⋅β<br />
R a<br />
Die von einer Feder ausgeübte rücktreibende Kraft ist mit<br />
a<br />
c c = c<br />
1 = 2<br />
Frück<br />
= −c y<br />
Das von beiden Federn ausgeübte rücktreibende Drehmoment wird damit<br />
M<br />
rück<br />
2<br />
a<br />
= −2[<br />
c y]<br />
R = −(2c<br />
R ) β<br />
a<br />
(eine Feder wird gedehnt, eine gestaucht, d. h. die Federn sind in Parallelanordnung).<br />
Nach dem NEWTONschen Grundgesetz für Drehbewegungen bewirken Drehmomente<br />
Winkelbeschleunigungen gemäß<br />
M = J α = J β&<br />
res<br />
S<br />
2<br />
β && c R<br />
+<br />
J<br />
S<br />
dabei ist<br />
M rück = M res<br />
Das ergibt (unter der Einschränkung kleiner Auslenkwinkel β und angenommener<br />
Reibungsfreiheit) die Differentialgleichung einer harmonischen, ungedämpften Drehschwingung<br />
2<br />
J β && + 2c R β = 0<br />
S<br />
S<br />
a<br />
2<br />
a<br />
β = 0<br />
(c) Für die Eigenkreisfrequenz des Systems erhält man durch Koeffizientenvergleich<br />
mit der Standard-Gleichung für ungedämpfte Schwingungen<br />
2<br />
y& & + ω 0 y =<br />
0<br />
für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
2<br />
0c<br />
2c R<br />
=<br />
J<br />
S<br />
2<br />
a<br />
= 80,22 s<br />
2 ⋅1,2<br />
=<br />
−2<br />
kgms<br />
−2<br />
(10<br />
3,62 ⋅10<br />
−2<br />
−2<br />
m)<br />
−1<br />
kgm<br />
2<br />
2<br />
⋅ 0,11<br />
m<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 20
und für die Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
0c<br />
= 8,96 s<br />
−<br />
Damit wird die Schwingungsdauer<br />
T<br />
0c<br />
2π<br />
=<br />
ω<br />
0c<br />
= 0,70 s<br />
1<br />
2π<br />
=<br />
8,96 s<br />
−1<br />
(d) Die Abnahme der Winkelausschläge in gleichen Zeitintervallen um jeweils den<br />
gleichen Faktor ist Kennzeichen eines Reibungsmoments, das proportional zur Winkelgeschwindigkeit<br />
ist; dies führt zu einer exponentiellen Abnahme der Winkelausschläge<br />
ˆ −δt<br />
β t)<br />
= β ⋅e<br />
⋅cos(<br />
ω t + )<br />
( 0 d ϕ0<br />
Es gilt allgemein für die Hüllfunktion<br />
−δ t<br />
( t)<br />
= βˆ<br />
⋅ e<br />
βHüll<br />
0<br />
umgeformt und logarithmiert erhält man<br />
⎛ β<br />
ln ⎜<br />
⎝<br />
( t)<br />
⎞<br />
⎟<br />
= −δt<br />
βˆ<br />
0 ⎠<br />
Hüll<br />
Für den vorliegenden Fall wird, zunächst unter der später nachzuprüfenden Annahme<br />
schwacher Dämpfung ( 0 < D ≤ 0, 1), also für Td<br />
≅ T0c<br />
.<br />
⎛ 1 ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟ = −δ(5Td<br />
) ≅ −δ(5T<br />
⎝ 2 ⎠<br />
ln2 0,693<br />
δ = = s<br />
5T<br />
5 ⋅0,70<br />
0<br />
= 0,198 s<br />
−1<br />
0c<br />
−1<br />
Damit wird schließlich der Dämpfungsgrad D<br />
D =<br />
δ<br />
ω<br />
0c<br />
= 0,022<br />
0,198 s<br />
=<br />
8,96 s<br />
−1<br />
−1<br />
)<br />
Damit wird die oben gemachte Annahme schwacher Dämpfung ( 0 < D ≤ 0,1 ) bestätigt<br />
und die Näherung T ≅ gerechtfertigt.<br />
d T 0c<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 20
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 21<br />
Eine Schwingtür ( H = 2,00 m , B = 0,80 m , D = 0,03 m , Dichte ρ = 0,9 gcm ) wird<br />
von einer Torsionsfeder (Winkelrichtgröße c * = 40 Nm ) in ihre Ruhelage<br />
zurückgezogen. Die Reibung bei der Rotation um die Achse A sei vernachlässigbar.<br />
A<br />
−3<br />
P<br />
L<br />
z<br />
H<br />
F R<br />
x<br />
y<br />
D<br />
B<br />
A<br />
(a) Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment<br />
Achse A.<br />
J A<br />
, bezüglich einer Rotation um die<br />
Ein Öldämpfer erzeugt eine geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft F = −b<br />
⋅v<br />
die im Punkt P, mit dem Abstand L = 30 cm von der Achse A tangential angreift.<br />
R ,<br />
(b) Wie lautet die Differentialgleichung für gedämpfte harmonische Bewegungen der<br />
Tür.<br />
(c) Welche Schwingungsdauer<br />
Reibungskoeffizienten<br />
b<br />
T d<br />
−1<br />
1 = 110 kgs<br />
der Tür stellt sich ein, wenn der Betrag des<br />
Die Schwingtür soll sich von einem vorgegebenen Öffnungswinkel aus ohne<br />
Anfangswinkelgeschwindigkeit schließen.<br />
(d) Wie muss der Reibungskoeffizient b 2 gewählt werden, wenn sich die Tür<br />
schnellst möglich schließen soll?<br />
ist?<br />
Hinweis: Das Massenträgheitsmoment J z(S) um die z -Achse durch den<br />
m 2 2<br />
Massenmittelpunkt S ist J z(S)<br />
= ( B + D ).<br />
12<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 1 -<br />
Prüfungsaufgabe 21
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 21 – Kurzlösungen<br />
(a) Gesamtmasse m = 43,2kg.<br />
Massenträgheitsmoment (STEINER) J A = 9,22 kgm .<br />
(b) Rücktreibendes Drehmoment<br />
M = − c * β .<br />
Rück<br />
2<br />
Reibungsmoment M = F L = − ( b v)<br />
L = − b ( ωL)<br />
L = − ( b L ) β&<br />
.<br />
Reib<br />
Reib<br />
1 *<br />
Differentialgleichung β& b L<br />
+ β&<br />
c<br />
+ β = 0 .<br />
J J<br />
(c) Quadrat der Eigenkreisfrequenz ω = 4,34 − .<br />
Abklingkoeffizient δ = 0,537 s<br />
− .<br />
Kreisfrequenz<br />
d<br />
= 2,01s<br />
−<br />
(d) Aperiodischer Grenzfall δ = ω 0 ;<br />
ω<br />
1<br />
A<br />
2<br />
1<br />
A<br />
1<br />
2<br />
0 s<br />
Reibungskoeffizient b = b = 411 kgs<br />
.<br />
ap<br />
; Schwingungsdauer T d = 3,13 s .<br />
2<br />
−1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 2 -<br />
Prüfungsaufgabe 21
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 21 – Musterlösung<br />
(a) Zur Berechnung des Massenträgheitsmoments braucht man die Gesamtmasse<br />
m der Türe. Diese ergibt sich aus Dichte und Geometrie zu<br />
m = ρDBH<br />
= 900 kgm<br />
= 43,2 kg<br />
−3<br />
⋅ 2,0m ⋅0,8m<br />
⋅3<br />
⋅10<br />
J A<br />
Das Massenträgheitsmoment für die Bezugsachse A ergibt sich für die<br />
vorgegebene Geometrie aus dem STEINERschen Satz zu<br />
J<br />
A<br />
= J<br />
z<br />
B 2 1 2<br />
(S) + m(<br />
) = m ( B + D<br />
2 12<br />
1<br />
= ⋅ 43,2 kg ⋅[(8<br />
⋅10<br />
12<br />
= (2,31+<br />
6,91) kgm<br />
= 9,22 kgm<br />
(b) Der Betrag des Rückstellmoments<br />
Auslenkwinkel β<br />
M<br />
Rück<br />
= − c * β<br />
Der Betrag des Reibungsmoments<br />
M<br />
Reib =<br />
F<br />
Reib<br />
L<br />
2<br />
F Reib<br />
2<br />
2<br />
-1<br />
) + m<br />
)<br />
M Reib<br />
2<br />
M Rück<br />
−2<br />
1<br />
B<br />
4<br />
2<br />
+ (3 ⋅10<br />
m<br />
−2<br />
)<br />
2<br />
] m<br />
2<br />
1<br />
+ 43,2 kg ⋅ (8 ⋅10<br />
4<br />
der Torsionsfeder ist proportional zum<br />
ausgeübt durch den Öldämpfer ist<br />
Dabei ist die Reibungskraft bei viskoser Reibung proportional zur<br />
Geschwindigkeit und dieser entgegengerichtet<br />
= − b v<br />
FReib<br />
1<br />
Der Zusammenhang zwischen Lineargeschwindigkeit v eines Elements der Türe<br />
und der Winkelgeschwindigkeit ω der Türe für einen Abstand L von der Drehachse<br />
ist<br />
v = ωL<br />
Die drei letzten Gleichungen liefern zusammengenommen für den Betrag des<br />
Reibungsmoments<br />
2<br />
M = F L = − ( b v)<br />
L = − b ( ωL)<br />
L = − ( b L ) β&<br />
Reib<br />
Reib<br />
1<br />
1<br />
Ein resultierendes Drehmoment aus den Kräften FRück<br />
und FReib<br />
bewirkt nach<br />
NEWTON eine Winkelbeschleunigung α gemäß<br />
M = J α = J β&<br />
res<br />
A<br />
Damit ergibt sich schließlich<br />
M = M + M<br />
A<br />
res Rück Reib<br />
β & 2<br />
= − c β − b β&<br />
1<br />
JA * L<br />
1<br />
-1<br />
)<br />
2<br />
m<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 3 -<br />
Prüfungsaufgabe 21
Nach Umstellen erhält man für die Bewegung der Tür die Differentialgleichung einer<br />
viskos gedämpften harmonischen Schwingung<br />
β&&<br />
+<br />
A<br />
2<br />
b 1L<br />
J<br />
β&<br />
+<br />
c *<br />
β = 0<br />
J<br />
A<br />
(c) Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Differentialgleichung einer<br />
viskos gedämpften Drehschwingung<br />
β &&<br />
+ 2δβ&<br />
+ ω<br />
2<br />
0 β =<br />
0<br />
erhält man für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz ω 0<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
=<br />
c<br />
J<br />
A<br />
= 4,34 s<br />
−2<br />
−2<br />
* 40 kgms m<br />
=<br />
2<br />
9,21 kgm<br />
und für den Abklingkoeffizienten δ der gedämpften Schwingung<br />
2<br />
b1<br />
L<br />
δ =<br />
2J<br />
A<br />
= 0,537 s<br />
−1<br />
−1<br />
110 kgs ⋅ 0,09 m<br />
=<br />
2<br />
2 ⋅9,21kgm<br />
2<br />
Für die Kreisfrequenz ω d einer (geschwindigkeitsproportional) gedämpften<br />
Schwingung gilt die Beziehung<br />
und<br />
ω<br />
ω<br />
2<br />
d<br />
d<br />
= ω<br />
2<br />
0<br />
− δ<br />
= 4,05 s<br />
= 2,01s<br />
−<br />
2<br />
−2<br />
1<br />
= 4,34 s<br />
−2<br />
− 0,29 s<br />
Damit ergibt sich die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung zu<br />
2π<br />
2π<br />
Td<br />
= =<br />
ω<br />
−1<br />
d 2,01s<br />
= 3,13 s<br />
−2<br />
(d) Bei Auslenken und Loslassen ohne eine Anfangswinkelgeschwindigkeit, also mit<br />
ω( t = 0) = β&<br />
( t = 0) = 0 ; geht die Tür im aperiodischen Grenzfall am schnellsten unter<br />
einen vorgegebenen Grenzwert zurück (die e-Funktion ist stets ungleich null). Für<br />
den Fall des Loslassens ohne Anfangsgeschwindigkeit geschieht dies ohne<br />
Überschwingen.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 4 -<br />
Prüfungsaufgabe 21
Für den aperiodischen Grenzfall ist die Eigenkreisfrequenz ω 0 gleich dem<br />
Abklingkoeffizient δ ; also<br />
δ<br />
D = = 1 oder δ = ω0<br />
ω<br />
0<br />
Mit den Werten für den Abklingkoeffizienten δ und der Eigenkreisfrequenz<br />
Teilaufgabe (c) erhält man<br />
ω<br />
0<br />
b2<br />
L<br />
= δ =<br />
2J<br />
A<br />
2<br />
Der Reibungskoeffizient b 2 für den aperiodischen Grenzfall wird damit<br />
b<br />
ap<br />
= b<br />
2<br />
2JA<br />
ω<br />
=<br />
2<br />
L<br />
= 411kgs<br />
−1<br />
0<br />
2 ⋅9,21 kgm<br />
=<br />
9 ⋅10<br />
2<br />
−2<br />
⋅ 2,01 s<br />
m<br />
2<br />
−1<br />
ω 0<br />
aus<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> - 5 -<br />
Prüfungsaufgabe 21
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 22<br />
D<br />
d<br />
M<br />
a<br />
A<br />
Eine homogene Kreisscheibe (Masse m = 2 kg , Durchmesser D = 0,5 m ) kann sich<br />
reibungsfrei um ihre horizontale Symmetrieachse drehen. Der Achsenquerschnitt ist<br />
sehr klein und vernachlässigbar.<br />
(a) Welches Massenträgheitsmoment<br />
Scheibenachse<br />
A ?<br />
J A,voll<br />
hat die Scheibe bezogen auf ihre<br />
Aus der Scheibe wird ein kreisrundes Loch geschnitten (Lochdurchmesser<br />
d = 10 cm , die Lochmitte M ist a = 15 cm von der Scheibenachse A entfernt).<br />
(b) Berechnen Sie das neue Massenträgheitsmoment<br />
J A,Loch<br />
Scheibe – wieder bezogen auf die Scheibenachse A (vgl. Skizze).<br />
für die gelochte<br />
(c) Die fehlende Materie in der Bohrung macht die Scheibe zu einem physikalischen<br />
Pendel. Bestimmen Sie für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage die<br />
Winkelrichtgröße c * .<br />
Anleitung: Ein gleich großes zweites, achsensymmetrisch zum ersten in die<br />
Scheibe geschnittenes Loch brächte den Massenmittelpunkt wieder in die<br />
Drehachse A , und damit bliebe die Anordnung frei von Drehmomenten.<br />
(d) Welche Eigenfrequenz f 0 hat das ungedämpft schwingende Scheibenpendel mit<br />
Loch?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 22
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 22 – Kurzlösungen<br />
−2<br />
2<br />
A, voll<br />
m<br />
(a) Massenträgheitsmoment J = 6,25 ⋅10<br />
kg .<br />
(b) Massenträgheitsmomente J = J + .<br />
−2<br />
Masse m = 8 ⋅10<br />
kg .<br />
Loch<br />
A, voll A,Loch JLoch<br />
-2 2<br />
A, Loch<br />
m<br />
Massenträgheitsmoment (Scheibe mit Loch) J = 6,06 ⋅10 kg .<br />
(c) Rücktreibendes Drehmoments (linearisiert)<br />
Drehfederkonstante<br />
(d) Eigenkreisfrequenz<br />
M = − m g aβ)<br />
= −c<br />
* β .<br />
rück<br />
c * = mLoch g a = 0,118 Nm<br />
.<br />
A,Loch<br />
Schwingungsdauer T 0 = 4,50 s .<br />
( Loch<br />
2 c *<br />
−1<br />
ω 0 = ; Eigenfrequenz f0 = 0,222 s .<br />
J<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 22
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 22 – Musterlösung<br />
(a) Das Massenträgheitsmoment einer homogenen zylindrischen Voll-Scheibe – also<br />
ohne Loch – ist<br />
1 2 1 2<br />
2<br />
J A,voll = mR = mD = 0,125 ⋅ 2 kg ⋅(0,5 m)<br />
2 8<br />
−2<br />
2<br />
= 6,25 ⋅10<br />
kgm<br />
(b) Massenträgheitsmomente sind additiv. Das Massenträgheitsmoment der Voll-<br />
Scheibe J A,voll setzt sich zusammen aus dem Massenträgheitsmoment der Scheibe<br />
mit Loch J A,Loch und dem Massenträgheitsmoment des Lochs JLoch<br />
ausgefüllt mit<br />
Materie. Also<br />
J = J +<br />
A, voll A,Loch JLoch<br />
J Loch<br />
Der Anteil des Loches am Massenträgheitsmoment muss vom<br />
Massenträgheitsmoment der Vollscheibe abgezogen werden.<br />
J A,voll<br />
Zur Berechnung von JLoch<br />
benötigt man die Masse mLoch<br />
des ausgeschnittenen<br />
Lochs. Dazu überlegt man Folgendes: Die Scheibe ist homogen und sie hat überall<br />
die gleiche Dicke; deshalb verhalten sich die Massenanteile wie die zugehörigen<br />
Flächen (Dichte des Materials ρ , Dicke der Scheibe d , Flächenelement ΔA<br />
); also<br />
ΔM<br />
= ρV<br />
= ρ ΔAd<br />
= const. ⋅ ΔA<br />
Damit wird das Verhältnis der Masse des ausgebohrten Lochs<br />
Scheibe m<br />
m<br />
m<br />
Loch<br />
πr<br />
=<br />
πR<br />
2<br />
2<br />
d<br />
=<br />
D<br />
Daraus bestimmt sich die Masse<br />
m<br />
Loch<br />
2<br />
⎛ d ⎞ ⎛ 10cm ⎞<br />
= ⎜ ⎟ m = ⎜ ⎟<br />
⎝ D ⎠ ⎝ 50cm ⎠<br />
−2<br />
= 8 ⋅10<br />
kg<br />
2<br />
2<br />
2<br />
m Loch<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⋅ 2,0 kg = ⎜ ⎟<br />
⎝ 5 ⎠<br />
m Loch<br />
aus der Gesamtmasse m zu<br />
2<br />
⋅ 2,0 kg<br />
zur Masse der<br />
Das Massenträgheitsmoment für das mit Materie 'gefüllte' Loch ist, einschließlich des<br />
STEINERschen Anteils<br />
2<br />
1 2<br />
2<br />
2 1 2<br />
2 d<br />
J Loch = mLoch<br />
r + mLoch<br />
a = mLoch<br />
d + mLoch<br />
a = mLoch(<br />
+ a<br />
2<br />
8<br />
8<br />
Das Massenträgheitsmoment für die zylindrische Scheibe mit Loch wird damit<br />
J<br />
A.Loch<br />
= J<br />
A,voll<br />
− J<br />
= 6,25 ⋅10<br />
= 6,06 ⋅10<br />
−2<br />
-2<br />
Loch<br />
kgm<br />
kgm<br />
= m<br />
2<br />
2<br />
−<br />
2<br />
D<br />
8<br />
−<br />
8 ⋅10<br />
m<br />
−2<br />
Loch<br />
⎛<br />
⎜<br />
d<br />
⎝ 8<br />
2<br />
+ a<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ −1<br />
(10 m)<br />
kg ⋅ ⎜<br />
⎝ 8<br />
2<br />
+<br />
(1,5 ⋅10<br />
−1<br />
m)<br />
2<br />
)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 22
Ein zweites, symmetrisch gebohrtes Loch stellte die Symmetrie wieder her, der<br />
Massenmittelpunkt wäre wieder in der Mitte der Scheibe, also in der Drehachse und<br />
damit ergäbe sich kein resultierendes Drehmoment. Die Scheibe mit Doppelloch<br />
kann frei um die Achse rotieren.<br />
Dieses symmetrisch angeordnete Loch, gefüllt mit Materie, übt nach Auslenken aus<br />
der Ruhelage (der tiefsten Lage unterhalb der Drehachse A gelegen) ein<br />
Drehmoment bezüglich der Drehachse A aus; dieses Drehmoment versucht das<br />
System in die Ruhelage zurück zu treiben.<br />
Der Betrag des Drehmoments ist<br />
M = F a sinβ = ( m g)<br />
a sinβ<br />
rück<br />
grav<br />
Loch<br />
A<br />
A<br />
kein rücktreibendes<br />
Drehmoment<br />
rücktreibendes<br />
Drehmoment<br />
Für kleine Auslenkungswinkel aus der Ruhelage gilt die Näherung<br />
sin β ≈ β<br />
Damit wird der Betrag des rücktreibenden Drehmoments proportional zum<br />
Auslenkwinkel.<br />
M = − m g aβ)<br />
= −c<br />
* β<br />
rück<br />
( Loch<br />
Dieser lineare Zusammenhang ist Voraussetzung für ungedämpfte harmonische<br />
Schwingungen. Die Proportionalitätskonstante c * entspricht der Drehfederkonstante<br />
für Drehschwingungen; sie ergibt sich zu<br />
c*<br />
= mLoch<br />
g a = 8 ⋅10<br />
= 0,118 Nm<br />
−2<br />
kg⋅9,81ms<br />
−2<br />
⋅1,5<br />
⋅10<br />
−1<br />
m<br />
(d) Die Grundgleichung für Drehbewegungen nach NEWTON lautet<br />
M<br />
rück<br />
2<br />
d β<br />
= J = J β&<br />
2<br />
dt<br />
Mit den Teilergebnissen von (b) und (c) folgt<br />
− c * β = J β&<br />
A,Loch<br />
Damit ergibt sich für die Schwingung die Differentialgleichung<br />
β&<br />
+<br />
c *<br />
β = 0<br />
J<br />
A,Loch<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 22
Koeffizientenvergleich mit der Standard-Differentialgleichung für harmonische<br />
Drehschwingungen<br />
β &<br />
+<br />
ω<br />
2<br />
0 β =<br />
0<br />
liefert als Beziehung für die Eigenkreisfrequenz<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
c *<br />
=<br />
J<br />
A,Loch<br />
Daraus ergibt sich die Eigenfrequenz des physikalischen Pendels – mit der<br />
Einschränkung ’kleine Auslenkungen’ aus der Ruhelage<br />
f<br />
0<br />
ω0<br />
= =<br />
2π<br />
1<br />
2π<br />
= 0,222 s<br />
−1<br />
c *<br />
J<br />
A,Loch<br />
=<br />
1<br />
2π<br />
oder für die Schwingungsdauer<br />
T<br />
0<br />
1<br />
= = f<br />
0<br />
= 4,50 s<br />
1<br />
0,222s<br />
0,118 kgms<br />
6,06 kg m<br />
−2<br />
2<br />
m<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -5-<br />
Prüfungsaufgabe 22
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 23<br />
Auf einer horizontalen geraden Gleitkissenbahn kann sich ein Gleiter ' G1' (Masse<br />
25<br />
m 1 = kg ) reibungsfrei bewegen. Seine Bewegung wird bestimmt durch eine<br />
9<br />
ideale Feder, die zwischen Gleiter ' G1' und einer festen Wand angebracht ist (vgl.<br />
Skizze).<br />
G 2<br />
G 1<br />
C B A<br />
Bei entspannter Feder befindet sich der Gleiter ' G1' am Ort 'B'<br />
(sämtliche<br />
Ortskoordinaten werden jeweils von der gleichen Kante des Gleiters aus gemessen).<br />
Eine äußere Kraft ( F ext = 20 N ) drückt die Feder zusammen und verschiebt dabei<br />
den Gleiter ' G1' um die Strecke BA = y 1 = 20 cm ; der Gleiter ' G1' befindet sich<br />
danach am Ort ' A' . Er wird anschließend am Ort ' A'<br />
ohne Anfangsgeschwindigkeit<br />
losgelassen.<br />
(a) Mit welcher Frequenz f schwingt der Gleiter ' G1'<br />
nach Loslassen?<br />
01<br />
(b) Welche Geschwindigkeit v hat der Gleiter ' G1'<br />
am Ort 'C'<br />
?<br />
Der Abstand vom Punkt<br />
C<br />
1<br />
B' ist BC = y 2 = 3 ⋅ y .<br />
2<br />
' 1<br />
1<br />
Am Ort ' C' steht ein zweiter Gleiter ' G2'<br />
(Masse m 2 = m 1 ).<br />
4<br />
Bei seiner Schwingungsbewegung stößt Gleiter ' G1' auf Gleiter ' G2'<br />
. Nach dem<br />
Stoß haften die beiden Gleiter durch einen Klettenverschluss aneinander. Der in der<br />
Zeitspanne des Zusammenstoßes zurückgelegte Weg soll vernachlässigt werden<br />
können.<br />
(c) Welche gemeinsame Geschwindigkeit u gem haben die beiden gekoppelten<br />
Gleiter unmittelbar nach dem Zusammenstoß?<br />
(d) Welche Eigenkreisfrequenz ω02<br />
und welche Schwingungsdauer T02<br />
gehören zu<br />
der Schwingung des gekoppelten Systems nach dem Stoß?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 23
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 23 – Kurzlösungen<br />
(a) Eigenfrequenz f = 0,95 −1<br />
.<br />
01 s<br />
(b) Geschwindigkeit Gleiter Ort – 'C' v = − 0,60 ms .<br />
(c) Vollständig inelastischer Stoß – gemeinsame Geschwindigkeit<br />
u<br />
gem<br />
= −<br />
0,48 ms<br />
−1<br />
(d) Eigenkreisfrequenz<br />
.<br />
ω<br />
02 s<br />
C<br />
−1<br />
1<br />
= 5,4 − ; Schwingungsdauer T 02 = 1,17 s .<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 23
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 23 – Musterlösung<br />
(a) Für ein lineares Kraftgesetz ist nach HOOKE die Auslenkung proportional zur<br />
angreifenden Kraft<br />
F = c y ext (die äußere Kraft wirkt in Richtung der Auslenkung);<br />
Eine äußere Kraft<br />
entspannten Feder um<br />
idealen Feder zu<br />
F<br />
c = y<br />
ext<br />
1<br />
=<br />
20 N<br />
0,2 m<br />
F ext = 20 N<br />
y<br />
= 100<br />
1 = 0,20 m<br />
N<br />
m<br />
bewirkt eine Auslenkung aus der Ruhelage der<br />
. Damit bestimmt sich die Federkonstante einer<br />
Die Eigenkreisfrequenz ω01<br />
bzw. die Schwingungsdauer T01<br />
des Feder-Masse-<br />
Systems wird eindeutig durch die Kenngrößen des schwingungsfähigen Systems<br />
bestimmt; diese sind<br />
Federkonstante c der Feder und<br />
Masse m des Gleiters ' G1'<br />
1<br />
Für die Eigenkreisfrequenz<br />
und<br />
ω<br />
ω<br />
2<br />
01<br />
=<br />
c<br />
m<br />
1<br />
=<br />
= 36,0 s<br />
= 6,0 −<br />
01 s<br />
100 Nm<br />
25<br />
kg<br />
9<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
Die Eigenfrequenz wird mit<br />
ω 01 = 2π<br />
f 01<br />
f<br />
01<br />
ω01<br />
=<br />
2π<br />
= 0,95 s<br />
6,0 s<br />
=<br />
2π<br />
−1<br />
−1<br />
ω 01<br />
gilt die Beziehung<br />
−2<br />
900 kgms<br />
=<br />
25 kg<br />
m<br />
−1<br />
(b) Die Schwingungen des Feder-Gleiter-Systems werden durch eine harmonische<br />
Funktion beschrieben. Da die Bewegung aus dem Umkehrpunkt der Schwingung<br />
[ y = yˆ = y 1 ] ohne Anfangsgeschwindigkeit startet, wählt man zweckmäßigerweise zur<br />
allgemeinen Beschreibung eine Kosinus-Funktion<br />
y = y ⋅cos(<br />
ω t + )<br />
ˆ<br />
01 ϕ0<br />
denn dann ist notwendigerweise die Amplitude gleich der Anfangsauslenkung y ˆ = y1<br />
und der Nullphasenwinkel wird vereinfachend ϕ 0 = 0 .<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 23
Die Zeitabhängigkeit der Geschwindigkeit erhält man – für alle Zeiten – durch<br />
Ableiten<br />
v t)<br />
= y& ( t)<br />
= − yˆ<br />
ω ⋅ sin( ω ) [dabei ist bereits ϕ 0 gesetzt].<br />
( 01 01t<br />
Die Geschwindigkeit am Ort ' C' kann also über die Bestimmung des Zeitpunkts tC<br />
,<br />
an dem der Ort 'C' erreicht wird, bestimmt werden.<br />
Dafür gilt nach dem Auslenkung-Zeit-Gesetz<br />
y<br />
C<br />
= y<br />
damit wird<br />
also<br />
cos( ω<br />
2<br />
01<br />
= y<br />
t<br />
C<br />
1<br />
⋅cos( ω tC )<br />
y<br />
) =<br />
y<br />
2<br />
1<br />
1<br />
= −<br />
2<br />
3<br />
01<br />
−<br />
=<br />
( ω01 t C ) = arc cos( −<br />
5 π<br />
( ω01<br />
t C ) =<br />
6<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
y<br />
3 ⋅ y<br />
daraus ergibt sich der Zeitpunkt der Kopplung<br />
t<br />
C<br />
5π<br />
=<br />
6ω<br />
01<br />
= 0,463 s<br />
5 π<br />
=<br />
6 ⋅ 6,0 s<br />
−1<br />
1<br />
3)<br />
1<br />
Diesen Zeitpunkt t C braucht man aber gar nicht explizit auszurechnen; denn im<br />
Argument der Sinus-Funktion im Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz tritt ebenfalls nur die<br />
5<br />
Kombination ( C ) π<br />
ω01t = auf.<br />
6<br />
Für die Geschwindigkeit des Gleiters am Ort<br />
v<br />
v<br />
C<br />
C<br />
= y&<br />
( t = t<br />
C<br />
) = − y<br />
1<br />
= − 0,2 m ⋅ 6,0 s<br />
= − 0,60 ms<br />
−1<br />
ω<br />
−1<br />
01<br />
⋅ sin( ω<br />
01<br />
t<br />
C<br />
'C' gilt<br />
5 π<br />
⋅ sin( ) = − 0,2 m ⋅ 6,0 s<br />
6<br />
)<br />
Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Bewegungsrichtung im Zeitpunkt des<br />
Zusammenstoßes der als positiv genommenen Richtung der anfänglichen Stauchung<br />
entgegengerichtet ist.<br />
−1<br />
⋅<br />
1<br />
2<br />
0 =<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 23
Alternativer Lösungsweg<br />
Ein zweiter Weg zur Bestimmung der Geschwindigkeit des Gleiters am Ort 'C'<br />
benutzt den Satz von der Erhaltung der Energie in seiner Fassung der Mechanik, da<br />
die Schwingungsbewegung reibungsfrei erfolgen soll. Zu jedem Zeitpunkt muss die<br />
Summe aus der potentiellen Energie der Feder und der kinetischen Energie des<br />
bewegten Gleiters gleich der Gesamtenergie des schwingungsfähigen Systems sein.<br />
Die Gesamtenergie des Systems ist aber durch die Stauchung der Feder zu Beginn<br />
des Versuchs eindeutig festgelegt.<br />
Für die potentielle Energie einer gedehnten oder gestauchten Feder gilt allgemein<br />
Feder 1 E<br />
2<br />
pot = c y<br />
2<br />
Für die kinetische Energie des bewegten Gleiters gilt<br />
Gleiter 1 2<br />
E kin = m1<br />
v<br />
2<br />
Für die Orte ' C' und ' A'<br />
liefert der Erhaltungssatz der Energie in seiner Fassung der<br />
Mechanik die Identität<br />
mit<br />
Feder<br />
pot<br />
Gleiter<br />
kin<br />
Feder<br />
pot<br />
E (C) + E (C) = E (A) + E<br />
Gleiter<br />
Gleiter<br />
kin<br />
E kin (A) = 0<br />
Damit lässt sich die kinetische Energie des Gleiters am Ort 'C'<br />
Mit<br />
und<br />
wird<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
Gleiter<br />
kin<br />
Feder<br />
pot<br />
Feder<br />
pot<br />
Gleiter<br />
kin<br />
(C) = E<br />
Feder<br />
pot<br />
(A) − E<br />
1 2 1<br />
(A) = c y1<br />
= ⋅100<br />
2 2<br />
= 2,00 Nm<br />
Feder<br />
pot<br />
N<br />
m<br />
(C)<br />
⋅(0,20 m)<br />
2<br />
(A)<br />
1 2 1 1 2 1 3 2 3<br />
(C) = c y 2 = c(<br />
− 3 ⋅ y1)<br />
= ⋅ c y1<br />
= ⋅E<br />
2 2 2<br />
2 4 4<br />
= 1,50 Nm<br />
1 2 Feder<br />
(C) = m 1v<br />
C = Epot<br />
(A) − E<br />
2<br />
= 0,50 Nm<br />
Feder<br />
pot<br />
Feder<br />
pot<br />
ausdrücken als<br />
(A)<br />
(C) = (2,0 −1,50)<br />
Nm<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -5-<br />
Prüfungsaufgabe 23
Daraus ergibt sich<br />
und<br />
v<br />
v<br />
2<br />
C<br />
2 ⋅ 0,50 Nm 9,00 kgms<br />
=<br />
=<br />
25<br />
25 kg<br />
kg<br />
9<br />
m<br />
= 0,36<br />
s<br />
= (<br />
C ±<br />
)<br />
2<br />
2<br />
m<br />
0,60<br />
s<br />
−2<br />
⋅m<br />
Weil die Bewegung nach links (in negative Koordinatenrichtung) erfolgt, muss das<br />
negative Vorzeichen gewählt werden.<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -6-<br />
Prüfungsaufgabe 23
(c) Die Aussage “die Gleiter koppeln beim Stoß“ bedeutet, dass sich beide Gleiter<br />
unmittelbar nach dem Stoß mit gleicher, einheitlicher Geschwindigkeit weiter<br />
bewegen. Damit liegt – nach der Definition – ein vollständig inelastischer Stoß vor.<br />
Da keine äußeren Kräfte in Bewegungsrichtung wirken ändert sich der Impuls des<br />
Systems nicht, es gilt der Satz von der Erhaltung des Impulses.<br />
also<br />
m v = ( m + m u<br />
1 C 1 2 )<br />
gem<br />
dabei ist u gem die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Gleiter unmittelbar nach<br />
dem Koppeln beim Stoß.<br />
m1<br />
m1<br />
4<br />
−1<br />
ugem<br />
= ⋅vC<br />
=<br />
⋅v<br />
C = ⋅(<br />
− 0,60 ms )<br />
( m1<br />
+ m2<br />
)<br />
1 5<br />
( m1<br />
+ m1)<br />
4<br />
−1<br />
= − 0,48 ms<br />
Die gemeinsame Bewegung ist ebenfalls nach links gerichtet<br />
(in negative Koordinatenrichtung).<br />
Eigenkreisfrequenz ω 0 , Eigenfrequenz f0<br />
und Schwingungsdauer T0<br />
ändern sich,<br />
wenn bei ungeänderter Feder(konstante) die Masse des angehängten Körpers<br />
verändert wird. Damit wird<br />
und<br />
ω<br />
ω<br />
2<br />
02<br />
c<br />
=<br />
1<br />
( m1<br />
+ m<br />
4<br />
−2<br />
= 28,8 s<br />
= 5,4 −<br />
02 s<br />
damit wird<br />
2π<br />
2π<br />
T02<br />
= =<br />
ω02<br />
5,4 s<br />
= 1,17 s<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
100 Nm<br />
=<br />
5 25<br />
) ⋅ kg<br />
4 9<br />
−1<br />
−2<br />
3600 kgms<br />
=<br />
125 kg<br />
m<br />
−1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -7-<br />
Prüfungsaufgabe 23
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 24<br />
In einem Messgerät führt eine homogene Metallscheibe (Masse m , Radius<br />
R = 10 cm ) Pendelschwingungen – bei kleinen Winkelausschlägen – um eine Achse<br />
senkrecht zur Scheibenebene durch den Punkt P, aus (vgl. Skizze).<br />
P<br />
A<br />
S<br />
x<br />
R<br />
g r<br />
Das axiale Massenträgheitsmoment<br />
J S<br />
der Scheibe bezüglich einer Achse senkrecht<br />
1 2<br />
zur Scheibenebene durch den Schwerpunkt S ist gegeben durch J S = mR .<br />
2<br />
In einem ersten Versuch schwingt die Scheibe ungedämpft.<br />
(a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T0<br />
und die Eigenkreisfrequenz ω 0 der<br />
Scheibe.<br />
In einem zweiten Versuch lässt man die Scheibe in einem zähen Öl schwingen.<br />
Man beobachtet eine exponentielle Abnahme der Ausschläge und misst bei starker<br />
Dämpfung eine Schwingungsdauer , die um 5 % größer ist als T .<br />
Td<br />
0<br />
(b) Bestimmen Sie den Dämpfungsgrad D und den Abklingkoeffizienten δ .<br />
In einem dritten Versuch soll die Scheibe wieder ungedämpft schwingen. Dabei soll<br />
die Drehachse senkrecht zur Scheibenebene durch den Punkt A gehen, der<br />
zwischen Schwerpunkt S und Punkt P liegt (vgl. Skizze).<br />
(c) In welchem Abstand x =<br />
Schwingungsdauer T A ( x )<br />
(d) Berechnen Sie T A ( x min ).<br />
x min<br />
müsste man die Achse anbringen, damit die<br />
am kleinsten wird?<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 24
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 24 – Kurzlösungen<br />
3 2<br />
(a) Massenträgheitsmoment (STEINERscher Satz) J P = m R .<br />
2<br />
1<br />
Eigenkreisfrequenz ω0 = 8,09 s<br />
− ; Schwingungsdauer T 0 = 0,777 s .<br />
1<br />
(b) Dämpfungsgrad D = 0,305 ; Abklingkoeffizient δ = 2,47 s<br />
− .<br />
(c) Massenträgheitsmoment Abstand x = AS wird<br />
1 2 2<br />
J A = mR + mx .<br />
2<br />
⎛ 1 2 2 ⎞<br />
⎜ mR + mx ⎟ 2 2<br />
2<br />
2 2<br />
4π<br />
R<br />
Schwingungsdauer(Quadrat) T A ( x)<br />
= (2π)<br />
⎝<br />
⎠<br />
= ⋅(<br />
+ x)<br />
.<br />
mgx g 2x<br />
1<br />
’Extremum‘ x min = 2R<br />
= 7,07 cm .<br />
2<br />
[Der negative Wert der Wurzel ist physikalisch sinnlos].<br />
(d) Schwingungsdauer T A, = 0,754 s .<br />
min<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 24
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 24 – Musterlösung<br />
(a) Die Scheibe kann im Schwerefeld der Erde schwingen. Für ein physikalisches<br />
Pendel ist die Eigenkreisfrequenz bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage<br />
gegeben durch<br />
ω<br />
mit m<br />
g<br />
2<br />
0<br />
=<br />
m g d m g (PS)<br />
=<br />
J J<br />
P<br />
P<br />
Gesamtmasse<br />
Schwerebeschleunigung<br />
d = PS Abstand zwischen Drehpunkt P und Massenmittelpunkt S<br />
J P<br />
Massenträgheitsmoment bezüglich des Drehpunkts P<br />
Der Schwerpunkt liegt aus Symmetriegründen im Mittelpunkt der Scheibe. Der<br />
Abstand d = PS zwischen Aufhängepunkt P und Schwerpunkt S ist damit gleich dem<br />
Radius R der Scheibe.<br />
Das Massenträgheitsmoment<br />
dem STEINERschen Satz zu<br />
J P<br />
2 1 2 2 3<br />
J P = JS<br />
+ mR = mR + m R = mR<br />
2<br />
2<br />
Für die Eigenkreisfrequenz<br />
ω 0<br />
bezüglich des Drehpunkts berechnet sich nach<br />
2<br />
erhält man mit den o. g. Werten<br />
und<br />
ω<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
m g R<br />
=<br />
J<br />
P<br />
= 65,4s<br />
= 8,09 −<br />
0 s<br />
m g R<br />
=<br />
3 2<br />
m R<br />
2<br />
−2<br />
Die Schwingungsdauer wird<br />
T<br />
0<br />
2π<br />
=<br />
ω<br />
0<br />
= 0,777 s<br />
1<br />
2π<br />
=<br />
8,09 s<br />
−1<br />
2g<br />
=<br />
3R<br />
2⋅<br />
9,81 ms<br />
=<br />
3⋅0,10 m<br />
−2<br />
(b) Die gemessene Schwingungsdauer bei starker Dämpfung ist Td = 1,<br />
05 ⋅T<br />
0 .<br />
Für die Kreisfrequenz mit Dämpfung ω d gilt die Beziehung<br />
oder<br />
ω<br />
D<br />
2<br />
d<br />
2<br />
=<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
ω<br />
= 1 −<br />
ω<br />
(1 − D<br />
2<br />
d<br />
2<br />
0<br />
2<br />
)<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 24
2π<br />
daraus wird mit ω 0 = und<br />
T<br />
D<br />
2<br />
T<br />
= (1 −<br />
T<br />
2<br />
0<br />
2<br />
d<br />
= 0,0930<br />
0<br />
) = (1 −<br />
und der Dämpfungsgrad<br />
D = 0,305<br />
1,00<br />
1,05<br />
2<br />
2<br />
ω<br />
d<br />
2π<br />
=<br />
T<br />
d<br />
) = (1 − 0,907)<br />
Den Abklingkoeffizienten δ erhält man aus der Definition des Dämpfungsgrades<br />
als Quotient aus Abklingkoeffizient δ und Eigenkreisfrequenz ω 0<br />
zu<br />
D =<br />
δ<br />
ω 0<br />
δ = D ω<br />
0<br />
= 2,47 s<br />
= 0,305⋅8,09 s<br />
−1<br />
−1<br />
D<br />
(c) Für die Schwingungsdauer um den Punkt<br />
das Massenträgheitsmoment für einen Abstand<br />
Massenmittelpunkt S , also für 0 < x ≤ R<br />
1 2<br />
J A = mR + mx<br />
2<br />
2<br />
A<br />
gilt, analog zu Teilaufgabe (a), für<br />
x = AS zwischen Drehachse A und<br />
Damit gilt für das Quadrat der Schwingungsdauer bei einer Schwingung um A<br />
⎛ 1 2 2 ⎞<br />
⎜ mR + mx ⎟ 2 2<br />
2<br />
2 2<br />
4π<br />
R<br />
T A ( x)<br />
= (2π)<br />
⎝<br />
⎠<br />
= ⋅(<br />
+<br />
mgx g 2x<br />
Die Bestimmung der kürzesten Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der<br />
Koordinate x des Aufhängepunkts A ist eine Extremwertaufgabe für T A ( x ) bzw.<br />
2<br />
T A ( x)<br />
; denn wenn T A ( x ) einen Extremwert hat, dann hat auch T A ( x ) einen<br />
Extremwert.<br />
2<br />
(<br />
Die erste Ableitung von T A x)<br />
ist<br />
d<br />
dx<br />
T<br />
2 2<br />
2<br />
A +<br />
4π<br />
( x)<br />
=<br />
g<br />
R<br />
⋅(<br />
2<br />
( −1)<br />
⋅<br />
2<br />
x<br />
1)<br />
x)<br />
2<br />
Für die Bedingung ’Extremum‘ (physikalisch ohne weitere Mathematik als 'Minimum'<br />
genommen) muss die eckige Klammer gleich null werden, also gilt<br />
R<br />
2<br />
⋅<br />
x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
min<br />
= 1<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 24
oder<br />
2 1 x = 2<br />
min R . 2<br />
1<br />
x min = 2R<br />
= 7,07<br />
2<br />
cm [der negative Wert der Wurzel ist physikalisch sinnlos].<br />
(d) Die Schwingungsdauer T = T ) wird<br />
also<br />
T<br />
2<br />
A,min<br />
= (2π)<br />
= 4π<br />
=<br />
2<br />
2<br />
1<br />
(<br />
2<br />
1 1<br />
⋅ ( ⋅ ⋅R<br />
2 g<br />
0,569 s<br />
T 0,754 s .<br />
A, min =<br />
2<br />
m R<br />
2<br />
2<br />
mgx<br />
2<br />
⋅<br />
R<br />
A, min A ( x min<br />
+ mx<br />
min<br />
2<br />
min<br />
)<br />
1 R<br />
+ ⋅ )<br />
g 2<br />
2<br />
= 4π<br />
R<br />
2 ⋅<br />
g<br />
Für mathematische Puristen<br />
Zur Entscheidung ’Minimum’ oder ’Maximum‘ ist das Vorzeichen der zweiten<br />
Ableitung zu bestimmen.<br />
d d<br />
[ T<br />
dx<br />
dx<br />
2<br />
A<br />
d 4π<br />
( x)]<br />
= [<br />
dx<br />
g<br />
2<br />
2<br />
R<br />
⋅(<br />
2<br />
( −1)<br />
4π<br />
⋅ + 1)] =<br />
2<br />
x g<br />
2<br />
2<br />
R<br />
⋅[<br />
2<br />
Da die zweite Ableitung nur positive Größen enthält, wird<br />
d<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
[ T<br />
2<br />
A<br />
2<br />
4π<br />
R<br />
( x)]<br />
=<br />
g<br />
2<br />
1<br />
⋅<br />
3<br />
x<br />
> 0<br />
( −1)(<br />
−2)<br />
4π<br />
⋅ ] =<br />
3<br />
x g<br />
damit ist die hinreichende Bedingung für ein Minimum der Funktion erfüllt.<br />
2<br />
R<br />
⋅[<br />
x<br />
2<br />
3<br />
]<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -5-<br />
Prüfungsaufgabe 24
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 25<br />
Das Massenträgheitsmoment J S eines Rads<br />
(Außen-Radius R = 15 cm ) soll für eine Drehachse<br />
durch den Mittelpunkt S (zugleich aus Symmetriegründen<br />
Massenmittelpunkt) experimentell bestimmt<br />
werden.<br />
Dazu wird das Rad auf eine waagrechte Achse gesteckt,<br />
so dass sich (idealisiert) reibungsfrei um den<br />
Mittelpunkt S drehen kann. Befestigt man am<br />
Außen-Radius einen – vereinfachend als punktförmig<br />
zu behandelnden – Körper (Masse m = 900 g )<br />
dann kann das Rad, nach Auslenkung aus der Ruhelage,<br />
ungedämpfte Pendelschwingungen um die<br />
Drehachse durch S ausführen.<br />
S<br />
β<br />
R<br />
m<br />
Die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage wurde experimentell<br />
aus mehreren Messungen zu T 0 = 1,4 s bestimmt.<br />
(a) Bestimmen Sie für kleine Winkelauslenkungen β des schwingungsfähigen Systems<br />
aus der Ruhelage den Betrag des rücktreibenden Drehmoments M rück bezüglich<br />
des Punktes S auf das System.<br />
(b) Geben Sie einen Ausdruck an für das gesamte Massenträgheitsmoment von Rad<br />
und Punktmasse bezüglich Punkt S .<br />
(c) Stellen Sie die Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung für<br />
kleine Auslenkungen aus der Ruhelage auf und geben Sie die Eigenkreisfrequenz<br />
und die Schwingungsdauer T an.<br />
ω0<br />
0<br />
(d) Berechnen Sie aus der in Teilaufgabe (c) hergeleiteten Beziehung für die<br />
Schwingungsdauer T das Massenträgheitsmoment J des Rades.<br />
0<br />
S<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -1-<br />
Prüfungsaufgabe 25
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 25 – Kurzlösungen<br />
(a) Rücktreibendes Drehmoment (linearisiert) M rück = −m g R β .<br />
Massenträgheitsmoment J = J + J = J + mR .<br />
ges<br />
(b) Differentialgleichung β & m g R<br />
+<br />
β = 0 .<br />
2<br />
J + mR<br />
(c) Beziehung für Eigenkreisfrequenz<br />
Schwingungsdauer T<br />
(d) Massenträgheitsmoment<br />
S<br />
S<br />
K<br />
S<br />
S<br />
2 m g R<br />
ω 0 =<br />
.<br />
2<br />
J + mR<br />
2 π JS<br />
mR<br />
= = π<br />
+ .<br />
ω m g R<br />
0 2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
T<br />
2<br />
−2<br />
2<br />
J S = mgR − mR = 4,55 ⋅10<br />
kgm<br />
.<br />
4π<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -2-<br />
Prüfungsaufgabe 25
<strong>Schwingungslehre</strong> – Prüfungsaufgabe 25 – Musterlösung<br />
(a) Wegen der Symmetrie des Rades kann dieses zwar um eine Achse durch den<br />
Massenmittelpunkt S rotieren; das Rad liefert aber keinen Beitrag zu einem<br />
rücktreibenden Drehmoment durch den Massenmittelpunkt. Denken Sie an die<br />
Definition des Massenmittelpunkts.<br />
Ein rücktreibendes Drehmoment wird nur von dem aus der Ruhelage (tiefster Punkt)<br />
ausgelenkten materiellen Körper ausgeübt. Der Betrag ergibt sich zu<br />
M = − m g R sinβ<br />
rück<br />
Für kleine Auslenkwinkel darf die Sinusfunktion näherungsweise durch den Winkel<br />
(im Bogenmaß) ersetzt werden. Mit<br />
sin β ≈ β<br />
wird das rücktreibende Drehmoment proportional zum Auslenkwinkel<br />
= − m g R β<br />
M rück<br />
Diese lineare Abhängigkeit ist die notwendige Voraussetzung für ungedämpfte<br />
harmonische Schwingungen.<br />
(b) Das gesamte Massenträgheitsmoment des Systems J ges (Rad plus materieller<br />
Körper) bezüglich S setzt sich additiv aus zwei Beiträgen zusammen<br />
• dem Massenträgheitsmoment des Reifens J S ,<br />
• dem Massenträgheitsmoment des punktförmigen Körpers J K .<br />
Also<br />
J = J + J = J + mR<br />
ges<br />
S<br />
K<br />
S<br />
2<br />
(c) Die Grundgleichung für Drehbewegungen nach NEWTON lautet<br />
2<br />
d β<br />
M = = β&<br />
Rück Jges<br />
J<br />
2 ges<br />
dt<br />
Mit den Teilergebnissen von (a) und (b) folgt für diese Differentialgleichung<br />
2<br />
− m g R β = ( J + ) β &<br />
M mR<br />
Damit ergibt sich für die harmonischen Schwingungen die Differentialgleichung<br />
β &<br />
m g R<br />
+<br />
β = 0<br />
2<br />
J + mR<br />
S<br />
Koeffizientenvergleich mit der Standard-Differentialgleichung für harmonische<br />
Schwingungen<br />
y& &<br />
2<br />
+ ω 0 y =<br />
0<br />
liefert als Beziehung für die Eigenkreisfrequenz<br />
2 m g R<br />
ω 0 =<br />
2<br />
J + mR<br />
S<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -3-<br />
Prüfungsaufgabe 25
Daraus ergibt sich die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels – immer mit<br />
der Einschränkung ’kleine Auslenkungen’ aus der Ruhelage –<br />
T<br />
2 π JS<br />
mR<br />
= = π<br />
+<br />
ω m g R<br />
0 2<br />
0<br />
2<br />
(d) Die in Teilaufgabe (c) hergeleitete Beziehung für die Schwingungsdauer<br />
T<br />
0 = 2<br />
π<br />
J<br />
S<br />
+ mR<br />
mgR<br />
2<br />
erlaubt es, das Gesamtmassenträgheitsmoment des Rads<br />
Quadrieren und umstellen liefert<br />
T<br />
2<br />
0 = 4<br />
T<br />
2<br />
0<br />
2<br />
4π<br />
π<br />
2<br />
J<br />
S<br />
mgR = J<br />
+ mR<br />
mgR<br />
S<br />
2<br />
+ mR<br />
2<br />
Daraus erhält man schließlich das Massenträgheitsmoment JS<br />
J S<br />
zu bestimmen.<br />
J<br />
S<br />
2<br />
0<br />
2<br />
T<br />
= mgR − mR<br />
4π<br />
(1,4 s)<br />
=<br />
2<br />
4π<br />
2<br />
= 4,55 ⋅10<br />
−2<br />
kgm<br />
2<br />
2<br />
⋅0,9 kg ⋅9,81ms<br />
−2<br />
⋅1,5<br />
⋅10<br />
−1<br />
m − 0,9 kg ⋅(1,5<br />
⋅10<br />
−1<br />
m)<br />
2<br />
<strong>Schwingungslehre</strong> -4-<br />
Prüfungsaufgabe 25