Kurvendiskussion Trigonometrische Funktionen.pdf - gilligan-online

Aufgabe:
Untersuche die Funktion f(x) = 3sin(2x −
π)
auf Schnittpunkte mit den Achsen, Extrema und
Wendepunkte im Bereich [ 0 ;π].
Lösung:
f(x) = 3sin(2x −
π
2
) = 3sin(2(x −
π
4
))
2
Amplitude: a = 3
Periode:
2π
p = 2
= π
Verschiebung in x-Richtung:
keine Verschiebung in y-Richtung.
c =
− π
4
also um
π
4
nach rechts.
Berechnung der Ableitungen:
f′
(x) = 6cos(2x −
π)
f′′
(x) = −12sin(2x
−
f′′′
(x) = −24cos(2x
−
2
π
2
π
2
) = −4
⋅ f(x) ⇒ Alle Nullstellen sind mögliche Wendepunkte!
) = −4
⋅ f′
(x)
Schnittpunkte mit den Achsen:
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Bedingung: x = 0
f(0)
= −3
⇒ Sy(0 / − 3)
Nullstellen:
Bedingung: f (x) = 0
⇔ sin(2x -
⇔ 2x -
⇒
x
k
π
2
π
2
) = 0
= kπ,
mit k ∈ Z
= (2k + 1)
In unserem Intervall wären dies die Werte:
π
4
x
3
1 =
π
, x
π
4 2 =
4
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
1 © j. gilg 04
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Hoch- und Tiefpunkte:
notwendige Bedingung: f ′(x)
= 0
⇔ cos(2x -
⇔ 2x -
⇒ x
k
π
2
π
2
= (2k + 1)
= (k + 1)
) = 0
π
2
π
2
, mit k ∈ Z
In unserem Intervall wären dies die Werte:
π
f(
2
) = 3
f(0)
= f( π)
= −3
, wegen π-Periodizität.
x
= 0, x =
π
,
3 4 x
2 5
= π
hinreichende Bedingung über zweite Ableitung:
f′′
(0) = f′′
( π)
= 12 > 0 ⇒ TP (0 / − 3),
f′′
(
π
2
) = −12
< 0
⇒ HP(
π
2
/ 3)
1
TP ( π / − 3)
2
Wendepunkte:
notwendige Bedingung: f ′′(x)
= 0
⇔ sin(2x -
π
2
) = 0
⇒ siehe Nullstellen!
hinreichende Bedingung über dritte Ableitung:
f′′′
(
π)
= −24
≠ 0 ⇒ WP (
π
/ 0)
y
f′′′
(
4
3π
4
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
) = 24 ≠ 0
⇒ WP
1 4
(
3π
2 4
/ 0)
0 2 4 6 8
x
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