[1.5pt] Wellenlehre[8.5pt] Zusammenfassung - gilligan-online

Die resultierende Welle y(t,x) erhält man mittels des Superpositionsprinzips durch
Addition der beiden Wellen, also:
y(t,x) = y 1 (t, x) + y 2 (t, x) = ŷ sin(ω · t − k · x) + ŷ sin(ω · t − k · x + ϕ)
y(t,x) = ŷ[sin(ω · t − k · x) + sin(ω · t − k · x + ϕ)]
Mit dem trigonometrischen Trick
[ ] [ ]
1 1
sin x + sin y = 2 sin
2 (x + y) cos
2 (x − y)
folgt für die überlagerte Welle y(t,x)
( ) 1
y(t,x) = 2ŷ cos
2 ϕ · sin
(ω · t − k · x + 1 )
} {{ }
2 ϕ } {{ }
Amplitude
Schwingungsterm
2.3.1. Konstruktiv
Die resultierende Amplitude wird bei diesem Gangunterschied maximal (Verstärkung).
( ) 1
Dies ist der Fall, wenn cos
2 ϕ =±1 gilt:
( ) 1
cos
2 ϕ =±1 liefert 1 2 ϕ = nπ
⇒ ϕ = }{{} 2n π
ger
geradzahlige Vielfache von π
Mit der Beziehung zwischen dem Gangunterschied δ und der Wellenlänge λ
δ
λ = ϕ 2π ⇒ δ = ϕ 2π · λ
Der Gangunterschied beträgt also:
δ = 2nπ
2π · λ = nλ, mit n ∈ N0 , also δ = 0, λ,2λ, 3λ, ...
Ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge.
2.3.2. Destruktiv
Die resultierende Amplitude wird bei diesem Gangunterschied Null (Auslöschung).
( ) 1
Dies ist der Fall, wenn cos
2 ϕ = 0 gilt:
( ) 1
cos
2 ϕ = 0 liefert 1 2 ϕ = (2n + 1)π 2
⇒ ϕ = (2n + 1) π ungeradzahlige Vielfache von π
} {{ }
ung
Mit der Beziehung zwischen dem Gangunterschied δ und der Wellenlänge λ
δ
λ = ϕ 2π ⇒ δ = ϕ 2π · λ
Der Gangunterschied beträgt also:
(2n + 1)π
δ = · λ = (2n + 1) λ 2π
2 , mit n ∈ N0 , also δ = λ 2 , 3λ 2 , 5λ 2 , ...
Ungeradzahlige Vielfache der halben Wellenlänge.
© Jürgen Gilg 2008 6