Generierung lokaler Optimierungen - IPD Snelting

4 Implementierung
Die Anzahl solcher Muster kann reduziert werden. Hierzu wird eine Normalform eingeführt,
die eine Anordnung der Operanden für kommutative Operationen festlegt. Es
werden nur noch solche Muster betrachtet, die dieser Normalform genügen. Das Tauschen
von Operanden bei kommutativen Operationen hat keinen Einfluss, sowohl auf die
Semantik der einzelnen Operationen als auch auf die Semantik des gesamten Musters.
Durch die Normalform bzw. die Normalisierung werden also keine semantisch unterschiedlichen
Muster ausgeschlossen.
Praktisch wird mit dieser Normalisierung vor allem erreicht, dass sich Konstanten bei
kommutativen Operationen immer auf der rechten Seite befinden, oder, falls es sich bei
beiden Operanden um eine Konstante handelt, die Konstanten mit dem größeren Wert
immer rechts steht. Variablen stehen, sofern es sich bei dem zweiten Operanden nicht
um eine Konstante handelt ebenfalls immer rechts.
Die Definition der Normalform erfordert zunächst die Festlegung einer Totalordnung
der in Definition 6 beschriebenen Menge T der verfügbaren Typen. Zu diesem Zweck
sei eine Abbildung id : T → N0 gegeben, die jedem Typ t ∈ T eine eindeutige Identifikationsnummer
(ID) zuordnet. Für den Typ der Variablen soll gelten, dass dessen
Identifikationsnummer größer als die größte Identifikationsnummer aller Operationen,
aber kleiner als die kleinste Identifikationsnummer aller Konstanten ist. Für Konstanten
soll ferner gelten, dass deren Identifikationsnummer größer als die Identifikationsnummer
von Variablen ist und dass die Identifikationsnummer mit abnehmendem Konstantenwert
zunimmt. Ein Beispiel einer Ordnung auf der Menge der Typen, die den genannten
Anforderungen genügt, zeigt Abbildung 4.9.
neg < add < sub < mul < var < 127 < . . . < −128
Abbildung 4.9: Abbildung einer gewählten Ordnung von Knotentypen.
Jetzt kann die Normalform wie folgt definiert werden:
Definition 13 (Normalform). Sei id : T → N0 die oben genannte Abbildung. Ein Muster
m mit der Knotenmenge V befindet sich dann in Normalform, wenn für jede kommutative
Operation o ∈ V und deren Operanden oleft, oright ∈ V gilt:
id(type(oleft)) < id(type(oright))
Hier zeigt sich, warum die Reihenfolge von Variablen und Konstanten bezüglich der
definierten Totalordnung wichtig ist. Da Konstanten immer die größere Identifikationsnummer
gegenüber allen anderen Typen besitzen, befindet sich ein Muster nur dann in
Normalform, wenn die Konstante dem rechten Operanden entspricht. Analog gilt dies
auch für Variablen.
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