Generierung lokaler Optimierungen - IPD Snelting

2 Grundlagen
2.4 Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik
Bei dem Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik [7], auch SAT genannt 1 , handelt es sich
um die Fragestellung, ob zu einer aussagenlogischen Formel F , bestehend aus booleschen
Variablen B = {b0, . . . , bn} und logischen Operationen und (∧), oder (∨) und nicht (¬),
eine Belegung β : B → {wahr, falsch} existiert, so dass F unter β zu wahr ausgewertet
wird.
Beispiel 1 (Erfüllbares SAT Problem). Sei F die nachfolgend beschriebene aussagenlogische
Formel mit den booleschen Variablen b0, b1:
F = b0 ∧ (b0 ∨ ¬b1)
Mit β : b0 ↦→ wahr, b1 ↦→ wahr existiert eine Belegung, so dass F zu wahr ausgewertet
werden kann. F ist somit erfüllbar.
Beispiel 2 (Nicht-erfüllbares SAT Problem). Sei G die nachfolgend beschriebene aussagenlogische
Formel mit den booleschen Variablen b0, b1:
G = b0 ∧ (¬b0 ∨ b1) ∧ (¬b0 ∨ ¬b1)
Für G existiert keine gültige Belegung β und somit ist G auch nicht erfüllbar.
SAT gehört zur Klasse der NP-vollständigen Probleme [7, 12]. Fortschritte in der Algorithmentechnik,
der Einsatz von Heuristiken, effiziente Nutzung moderner Microprozessoren
etc., haben in den letzten Jahren dazu beigetragen, dass heute Verfahren existieren
mit denen das SAT-Problem trotz NP-Vollständigkeit gut handhabbar geworden sind.
Moderne SAT-Solver sind in der Lage auch komplexere Instanzen eines SAT-Problems
mit Hunderttausenden von Variablen zu lösen [9].
2.5 Satisfiability Modulo Theories
Bei dem Satisfiability Modulo Theories (SMT) Problem [5, 9] handelt es sich, wie bei SAT
auch um ein Erfüllbarkeitsproblem für Formeln der Aussagenlogik (vgl. Abschnitt 2.4).
Während bei SAT nur boolesche Variablen als Prädikate innerhalb einer Formel zulässig
sind, können bei SMT auch Formeln mit komplexeren Prädikaten aus den unterschiedlichsten
Theorien verwendet werden. Beispiele für diverse Theorien sind die Integer-
Arithmetik, die Bitvektor-Arithmetik, Array-Theorie und die Theorie über Datenstrukturen.
Ein Beispiel einer solchen aussagenlogischen Formel mit zusätzlichen Theorien zeigt die
nachfolgende Formel F :
1 SAT, vom englischen satisfiability
16
F = (x + 5) > 6 ∧ (x + 5) < 9 ∧ ¬(x = 2), x ∈ N0
(2.1)