Generierung lokaler Optimierungen - IPD Snelting

2 Grundlagen
Definition 9 (Ergebnis eines Musters). Sei m ein Muster, G der zu m gehörende Graph,
V die Menge der Knoten von G, sowie nvar = |{v ∈ V : type(v) = var}| die Anzahl
der Knoten des Musters mit dem Typ einer Variablen (type(v) = var). Sei weiter
tv ∈ Z nvar ein Eingabevektor, der jedem Knoten v ∈ V , mit type(v) = var einen Wert
(Konstante) val = tv[idx(v)] zuordnet. val bildet selbst wieder eine Vektor (val) 1 , so
dass eval(type(v), (val) 1 ) den Wert des Variablen-Knoten berechnet. Das Ergebnis eines
Musters m(tv) ergibt sich durch eine Postorder-Traversierung 1 von G, bei der für
jeden Knoten v ′ die Abbildung eval bezüglich der Ergebnisse seiner Vorgänger-Knoten
ausgewertet wird.
Abbildung 2.1 zeigt zu Definition 9 ein Beispiel. Der Eingabevektor tv = (1, 2) wird auf
das in der Abbildung gezeigte Muster mit der Semantik (var0 + var1) + 2 angewendet.
Wie in der Definition beschrieben, wird in Postorder-Reihenfolge jeder Knoten durch die
eval Abbildung ausgewertet. Es ergibt sich das Ergebnis m(tv) = 5.
Eingabevektor
var0
(1,2)
var1
add 2
add
−→
1 2
add 2
add
−→
3 2
add
−→ 5
Abbildung 2.1: Beispiel zur Berechnung des Ergebnisses eines Musters bezüglich eines
Eingabevektors.
Für die Aufstellung von Ersetzungsregeln ist es notwendig zu wissen, ob zwei Muster m
und m ′ für alle Eingabevektoren jeweils dasselbe Ergebnis berechnen. Man spricht von
semantischer Äquivalenz. Formal gilt:
Definition 10 (Semantische Äquivalenz). Seien m und m′ zwei Muster, sowie Vm die
Menge der Knoten von m und Vm ′ die Menge der Knoten von m′ . m und m ′ sind genau
dann semantisch äquivalent, wenn für alle Eingabevektoren tv ∈ Z n , mit n = max(|{v ∈
Vm : type(v) = var}|, |{v ∈ Vm ′ : type(v) = var}|) gilt:
m(tv) = m ′ (tv)
Für zwei semantisch äquivalente Muster m und m ′ schreibt man: m ≡ m ′ .
1 zuerst wird der linke Teilbaum, dann der rechte Teilbaum und zum Schluss die Wurzel behandelt
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