Generierung lokaler Optimierungen - IPD Snelting

2 Grundlagen
Die Abbildung type ordnet jedem Knoten v ∈ V einen Typ t ∈ T zu. T repräsentiert die
Menge der zugelassenen Typen. Jede Operation, jede Konstante und die Variable bilden
einen eigenen Typ t. Jedem dieser Typen wird durch die Abbildung arity : T → N0
sein Ausgangsgrad zugeordnet. Jedem Typ t wird zudem durch die Abbildung eval : T ×
Z arity(t) → Z ein Ergebnis bezüglich seiner Semantik und einem Eingabevektor tv ∈
Z arity(t) zugeordnet.
Die Abbildung pos ordnet jeder Kante e ∈ E ihre Position bezüglich des Ausgangsgrades
arity(type(src(e))) des Quellknoten der Kante e zu. Für ein Muster mit Knotenmenge
V und Kantenmenge E muss zudem gelten:
∀e ∈ E : pos(e) < arity(type(src(e)))
∀e, e ′ ∈ E : src(e) = src(e ′ ) ∧ pos(e) = pos(e ′ ) ⇒ e = e ′
∀v ∈ V : |{e ∈ EG : src(e) = v}| = arity(type(v))
Die Abbildung idx ordnet jedem Knoten v einen Index zu, so dass gilt:
idx(v) < |{v ′ ∈ V : type(v ′ ) = type(v)}|
∀v ′ ∈ V : idx(v ′ ) = idx(v) ∧ type(v ′ ) = type(v) ⇒ v = v ′
Die Indizes aus der Abbildung idx werden immer pro Typ vergeben, d. h. eine Addition
kann beispielsweise denselben Index wie eine Variable erhalten. Über den Index
wird eine Ordnung der Knoten eines Typs innerhalb eines Muster erreicht. Vor allem
für die Zuordnung von konkreten Zahlenwerten zu Variablen wird dies benötigt (vgl.
Definition 9).
Um zwei Muster hinsichtlich eines Kostenmodells vergleichen zu können, wird eine Kostenfunktion
benötigt, die jedem Muster einen Kostenwert entsprechend des gewählten
Kostenmodells zuordnet. Dazu werden die beiden folgenden Definitionen eingeführt:
Definition 7 (Kosten eines Typs). Sei T die Menge der zugelassenen Typen. Die Abbildung
costT : T → N0 ordnet jedem Typ t ∈ T seinen Kostenwert zu.
Definition 8 (Kosten eines Musters). Sei m ein Muster, sowie costM : M → N0 eine
Abbildung, die jedem Muster einen Kostenwert zuordnet. Für die Kosten costM(m) eines
Musters m gilt:
costM(m) = �
costT (type(v))
v∈V
Anders ausgedrückt, die Kosten eines Muster m ergeben sich aus der Summe der Kosten
jedes einzelnen Knotens v des Musters.
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