Generierung lokaler Optimierungen - IPD Snelting

2 Grundlagen
Reassoziierung Die Reassoziierung nutzt die algebraischen Eigenschaften der involvierten
Operationen wie Assoziativität, Kommutativität und Distributivität aus um
Teilausdrücke neu anzuordnen. Dadurch kann erreicht werden, dass zwei Konstanten
aus unterschiedlichen Teilausdrücken in einem Teilausdruck zusammengefasst
werden und somit eine Konstantenfaltung möglich wird. Die folgende Gleichung
zeigt hierzu ein Beispiel: (x + 1) + (y + 1) = (x + y) + (1 + 1) = (x + y) + 2.
2.2 Graphen, Muster und Regeln
Das in Kapitel 4 vorgestellte Verfahren orientiert sich an maschinenunabhängigen Zwischensprachen
und betrachtet Ausdrücke, wie sie im vorherigen Abschnitt vorkommen,
als Muster in Graphform. An dieser Stelle werden die dazu notwendigen theoretischen
Ansätze eingeführt.
Definition 1 (Gerichteter Graph). Ein gerichteter Graph G entspricht einem 4-Tupel
G = (V, E, src, dst) mit der Knotenmenge V , einer Kantenmenge E, sowie zwei Abbildungen
src → V und dst : E → V . src(e) ordnet jeder Kante e einen Quellknoten und
dst(e) jeder Kante e einen Zielknoten zu.
Definition 2 (Pfad). Sei G ein gerichteter Graph, E die Menge der Kanten von G,
sowie P = (e0, . . . , en), n ∈ N+ eine Folge von Kanten aus E und i aus {0, . . . , n − 1}.
P heißt Pfad, wenn für jede Kante ei ∈ E der Folge P gilt:
dst(ei) = src(ei+1)
Definition 3 (Zyklus). Sei G ein gerichteter Graph. Ein Zyklus C in G entspricht
einem Pfad P = (e0, . . . , en) für dessen Startknoten src(e0) sowie dessen Zielknoten
dst(en) gilt:
src(e0) = dst(en)
Definition 4 (Gerichteter azyklischer Graph). Ein gerichteter Graph G heißt azyklisch,
wenn kein Zyklus C in G existiert.
Definition 5 (Gewurzelter Graph). Ein gerichteter azyklischer Graph G heißt gewurzelt,
wenn genau ein Knoten vw ∈ V existiert, so dass für alle anderen v ∈ V ein Pfad
P = (e0, . . . , en) existiert, für den gilt: src(e0) = vw ∧ dst(en) = v. Der Knoten vw wird
als Wurzel von G bezeichnet.
Mit den bisherigen Definitionen kann nun ein Ausdruck als graphbasiertes Muster wie
folgt formal eingeführt werden:
Definition 6 (Muster). Ein Muster m entspricht einem 4-Tupel m = (G, type, pos, idx)
mit einem gewurzelten Graphen G = (V, E, src, dst), einer Abbildung type : V → T ,
einer Abbildung pos : E → N0 und einer Abbildung idx : V → N0.
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