Phys. Dirk Burghardt

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Anhang D
Vergrößerung und Verkleinerung von Flächen
Die vorgestellte Routine berechnet für Flächenobjekte die Lagekoordinaten des Umrandungspolygons
nach Dehnung oder Stauchung. Dazu werden jeweils drei aufeinanderfolgende Punkte
(x 0 , y 0 ; x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) der zu verändernden Fläche (in mathematischem Richtungssinn) und der
Betrag v, um den verkleinert oder vergrößert werden soll, übergeben. Als Ergebnis erhält man
die neuen Koordinaten des mittleren Punktes (x g , y g ).
In der Routine wird ein kartesisches Koordinatensystem bestimmt, dessen Ursprung im übergebenen
Punkt (x 1 , y 1 ) liegt und dessen x-Achse durch den gesuchten Punkt (x g , y g ) geht. Im
Einzelnen werden folgende Berechnungen durchgeführt :
• Der Koordinatenursprung wird in den Punkt (x 1 , y 1 ) verschoben (Index t : Translation) :
(x 0 , y 0 ; x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) −→ (x t 0 , yt 0 ; 0.0, 0.0; xt 2 , yt 2 ).
• Anschließend wird die x-Achse so gedreht, daß sie durch den Punkt (x t 0 , yt 0 ) geht. Die
Berechnung des Drehwinkels α zwischen dem Vektor (x t 0 , yt 0 ) und der x-Achse (1.0, 0.0)
erfolgt mittels Skalarprodukt.
• Zur Bestimmung des Drehsinns wird getestet, ob (x t 0 , yt 0 ) im 1. oder 2. Quadranten liegt
(positiver Drehsinn). Ansonsten wird die Drehung um α in negativer Richtung ausgeführt
(x t 0 , yt 0 ; 0.0, 0.0; xt 2 , yt 2 ) −→ (xtd 0 , ytd 0 ; 0.0, 0.0; xtd 2 , ytd 2 ).
• Die folgende Rotation dreht die x td -Achse in den gesuchten Punkt (x g , y g ). Zunächst wird
mittels Skalarprodukt der Winkel β ′ zwischen (x td
0 , ytd 0 ) und (xtd 2 , ytd 2 ) berechnet. Liegt
(x td
2 , ytd 2 ) im 3. oder 4. Quadranten ergibt sich der Drehwinkel β nach β = (360◦ − β ′ )/2,
ansonsten ist β = β ′ /2. Die Drehung erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn.
) hat im verschobenen, zweimal gedrehten Koordinaten-
• Der gesuchte Punkte (x tdd
g , yg
tdd
system die folgenden Koordinaten :
x tdd
g = v p ; y tdd
g = 0.0 .
• Die Größe von v p läßt sich am einfachsten im verschobenen, einmal gedrehten Koordinatensystem
bestimmen. Hierzu wird der Vektor (0, v) auf die x td -Achse projiziert.
• Die Rücktransformation von (x tdd
g , yg
tdd ) liefert (x g , y g ). Dafür wird zunächst das Koordinatensystem
um β zurückgedreht : (x tdd
g , yg
tdd ) −→ (x td
g , yg td ). Anschließend wird die Drehung
um α rückgängig gemacht : (x td
g , yg td ) −→ (x t g, yg). t Dabei ist der Drehsinn der Hintransformation
zu beachten. Am Ende liefert die Translation von (x t g, yg) t −→ (x g , y g ) den
gesuchten Punkt.
Diese Routine ist auf alle Umrandungspunkte der zu vergrößernden oder zu verkleinernden
Flächen anzuwenden. Dehnung und Stauchung unterscheiden sich dabei nur durch die Reihenfolge,
in der Vorgänger und Nachfolger übergeben werden.