Phys. Dirk Burghardt

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Die äußere Energie wird verwendet, um die Ursache der Verdrängung zu beschreiben. Mit Hilfe
interpolierter Stützpunkte und gleitender Mittelbildung erfolgt die Modellierung einer approximativ
kontinuierlichen Verdrängungswirkung, unabhängig vom Stützstellenabstand. Die innere
Energie erfaßt Längen- und Krümmungsänderungen des Splines bezüglich des ursprünglichen
Zustandes, die sich in Änderungen der ersten und zweiten Ableitung der Koordinaten nach der
Bogenlänge zeigen. Innere und äußere Energie werden im Energie-Integral zusammengefaßt. Die
minimale Gesamtenergie für alle Linien bestimmt man durch Variation des Energie-Integrals.
Die entstehenden Eulerschen Gleichungen werden diskretisiert und iterativ durch Anwendung
der Cholesky-Zerlegung gelöst. Eine alternative Methode zur Energieminimierung mittels Variationsverfahren
wird mit dem Greedy-Algorithmus vorgestellt. Dieser versucht, die Energie jeder
einzelnen Stützstelle durch kleine Verschiebungen zu minimieren. Im Gegensatz zum Variationsverfahren
ist die Wirkungsweise daher eher lokal. Vorteilhafte Anwendungen ergeben sich bei
der Verdrängung von isolierten Objekten, z.B. von Gebäuden oder Schriftboxen.
Die Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten im Konzept der Energieminimierung erfordert
angepaßte innere und äußere Energieterme. Die Berechnung der äußeren Energie für Punktobjekte
kann vergleichsweise einfach über Abstandsberechnungen analog zur Linienverdrängung
erfolgen, wobei die Zwischeninterpolation und gleitende Mittelbildung entfällt. Aufwendiger ist
die Bestimmung der äußeren Energie von Flächenobjekten durch die Berechnung von störenden
Überlagerungsflächen. Für die Einhaltung von Mindestabständen werden die Flächenobjekte vor
der Verdrängung vergrößert. Bei der Modellierung der inneren Energie für Flächenobjekte ist zu
unterscheiden, ob das Objekt als Ganzes verschoben werden muß, d.h. der Rand fest bleibt oder
ob Verschiebungen durch den Rand kompensiert werden können, d.h. Flächen mit beweglichem
Rand vorliegen. Die Berechnung der inneren Energie für Flächenobjekte mit beweglichem Rand
erfolgt analog zur Linienverdrängung, da hier die Form maßgeblich den Wiedererkennungsgrad
beeinflußt. Eine innere Energie für Punktobjekte und Flächenobjekte mit festem Rand muß
die relative Lage der Objekte berücksichtigen. Ein geeignetes Verfahren liefert die Delaunay-
Triangulation.
Zusammenfassend bleibt festzustellen, daß eine Verdrängung von Punkt-, Linien- und Flächenobjekten
im Konzept der Energieminimierung möglich ist. Angepaßte Energieterme und Lösungsverfahren
zur Energieminimierung berücksichtigen die unterschiedliche geometrische Struktur
der Objekte. Aus der Unabhängigkeit von Maßstäben und Sonderfällen ergibt sich die Bedeutung
dieses einheitlichen Grundprinzips.
Ergänzende theoretische Untersuchungen wurden zur Konvergenzbeschleunigung des vorgestellten
Variationsverfahrens durchgeführt. Ein Ergebnis betrifft die Parametrisierung der Splines
mittels Tangentenwinkelfunktion (TAFUS). Die entstehenden Eulerschen Gleichungen können in
Anzahl und auftretender Ableitung reduziert werden. So erhält man anstelle von zwei Gleichungen
4. Ordnung eine Gleichung 2. Ordnung. Erkauft wird diese Vereinfachung durch zusätzliche
Berechnungen bei der Transformation der Richtungsänderungen in kartesische Koordinaten. In
den Anwendungen der Linienverdrängung ergaben sich bisher keine Vorteile. Weiterführende
Arbeiten zur Robustifizierung der TAFUS findet man bei Borkowski und Meier (2001).
Angeregt durch die Arbeit von Cohen und Cohen (1990) wurde des weiteren versucht, die
Lösung der Euler-Gleichungen durch Diskretisierung mittels finiter Elemente zu beschleunigen.
Entsprechend der höchsten vorkommenden Ableitung wurden als Koordinatenfunktionen
B-Splines 2. Ordnung verwendet. Unterschiede zur Diskretisierung mittels finiter Differenzen
betreffen nur die Approximationsgüte der zweiten Ableitungen in den diskretisierten Gleichungen.
In den Beispielrechnungen hatten deshalb die unterschiedlichen Diskretisierungen keine
Auswirkungen.