Phys. Dirk Burghardt

4.1. Verdrängung von Punktobjekten 49
dem Simplexverfahren gelöst. Die Lösung ist nicht in jedem Falle eindeutig. So ist man gezwungen,
Zusatzbedingungen zu formulieren. Sinnvollerweise sollte mit ihrer Hilfe die Punktstruktur
möglichst gut erhalten bleiben; z.B. mit
n∑
∆x i = 0 ,
i=1
n∑
∆y i = 0 (4.1-6)
i=1
wenigstens der Schwerpunkt.
Das Muster der Punktsignaturen in Abbildung 4.1-2 wurde einer thematischen Karte entnommen.
Die Durchmesser der kreisförmigen Signaturen entsprechen gewissen Quantitäten. Beim
Übergang in einen kleineren Maßstab, hier im Verhältnis 1 : 1.5, entstehen Konflikte. Die Lösungen
mittels quadratischer und linearer Optimierung sind zulässig.
4.1.2 Energieminimierung
Da Punkte als Einzelobjekte keine Struktur besitzen, kann für ein individuelles Element keine
innere Energie definiert werden. Andererseits stehen Punktobjekte in enger Beziehung zu ihrer
Nachbarschaft, die vom Betrachter um so deutlicher registriert wird. Eine Modellierung dieser
Wechselwirkungen kann auf vielfältige Weise erfolgen. Dazu sind in der lokalen Umgebung
Punkte auszuwählen, welche miteinander in Beziehung stehen. Diese Gebiete werden als Cluster
bezeichnet.
Cluster-Definition: Unter einem Verdrängungscluster (VC) versteht man eine diskrete Punktmenge
P k {k = 1, 2, . . . , p und 2 ≤ p < ∞} in einem abgeschlossenen Bereich B ⊂ R 2 . Es besitzt
die Eigenschaft, daß zu jedem P i mindestens ein Nachbar P k mit s ik < rik
HC existiert.
Für solche Cluster kann jetzt auf unterschiedliche Weise eine innere Energie definiert werden. So
wäre z.B. die Richtung von jedem Punkt zum Clusterschwerpunkt als Größe minimaler Energie
verwendbar. Dies entspricht einem Vorschlag von Mackaness (1994).
Eine andere Möglichkeit ist, Abstand und Winkel
bezüglich der nächsten beiden Nachbarn als inneren
Energieterm einzuführen. Dabei kann der Nachbar
hier sowohl eine Punktsignatur sein als auch
die Stützstelle eines Linien- oder Flächenobjektes.
Dieses Vorgehen ist äquivalent zur Bestimmung der
inneren Energie für die Linienverdrängung mittels
Greedy-Algorithmus (vgl. Abschnitt 3.3.4). In Abbildung
4.1-3, sind die Verbindungen zum nächsten
bzw. übernächsten Nachbarn eingezeichnet.
Die Berechnung der externen Energie zur Konfliktmodellierung
für Punktobjekte ist identisch mit der
Konfliktmodellierung für Linienobjekte (vgl. Abschnitt
3.2.2).
Abbildung 4.1-3: Nachbarschaftsrelationen
Erfolgt die Verdrängung in reinen Punktmustern, wird die approximativ kontinuierliche Abtastung
der Nachbarobjekte durch diskrete Abstandsberechnungen ersetzt. Abbildung 4.1-4 zeigt
das Ergebnis der Punktverdrängung mittels Energieminimierung. Weiterführende Vergleiche mit
den Verdrängungsansätzen nach Abschnitt 4.1.1 können anhand des vorgestellten Beispiels nicht
getroffen werden. Hier wurde zunächst nachgewiesen, daß die Punktverdrängung durch Energieminimierung
möglich ist.