Phys. Dirk Burghardt

47
4 Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten
4.1 Verdrängung von Punktobjekten
4.1.1 MkQ und Simplexverfahren
Punktförmige Signaturen können sich nach Maßstabsverkleinerung und beibehaltener Signaturengröße
gegenseitig überlappen oder berühren. Damit je zwei benachbarte Signaturen mit
Schwerpunkten P i , P k und Umkreisradien R i , R k optisch getrennt wahrgenommen werden, müssen
sie auf Mindest- oder Hardcore-Abstand
r HC
ik := R i + R k + δ Min , δ Min = 0.2 mm (4.1-1)
verdrängt werden. Um eine Konfliktlösung durch minimale Verschiebungen zu realisieren, wird
sowohl ein Verfahren der linearen als auch der quadratischen Optimierung verwendet.
P i
P k
R i
δ Min
R k
Abbildung 4.1-1: Hardcore-Abstand P i P k
Mit der Methode der kleinsten Quadrate (MkQ) als Verfahren der quadratischen Optimierung
wird die gewichtete Quadratsumme der Punktverschiebungen v = [∆x, ∆y] ⊤ minimiert
(Mühle, 1996):
n∑
p i vi 2 = Min , vi 2 := ∆x 2 i + ∆yi 2 . (4.1-2)
i=1
Die Gewichte p i berücksichtigen die Objektbedeutung. Diese Methode entspricht der Ausgleichung
eines geodätischen Streckennetzes mit linear unabhängigen Restriktionen
r ik − r HC
ik = 0 , r ik
2
:= [(x i + ∆x i ) − (x k + ∆x k )] 2 +
[(y i + ∆y i ) − (y k + ∆y k )] 2 , (4.1-3)
wobei die ursprünglichen Punktabstände r ik mit
r 2 ik := (x i − x k ) 2 + (y i − y k ) 2 , r ik < r HC
ik (4.1-4)
konsequent auf Hardcore-Abstand rik
HC gebracht werden. Bei n gegenseitig zu verdrängenden
Punktobjekten ist die Anzahl m der Restriktionen auf n − 1 ≤ m ≤ 2n − 3 beschränkt. Im Unterschied
zum geodätischen Streckennetz sind die Verschiebungsbeträge von gleicher Größenordnung
wie die Punktabstände; wegen der Linearisierungseffekte können die Restriktionen (4.1-3)
nicht in einem Schritt erfüllt werden. Der gewünschte Zustand kann aber schrittweise über
Pseudo-Hardcore-Abstände rp
HC < r HC herbeigeführt werden.