Phys. Dirk Burghardt

3.3. Diskretisierung und numerische Realisierung 43
Matrix G = A + γI in Abhängigkeit von n und konstanten Parametern α, β, γ dargestellt.
Damit wird die Bedeutung des Regularisierungsterms für die Konvergenz der Lösungen deutlich
(Terzopoulos, 1986).
3.0*10 4
22
2.5*10 4
20
Konditionszahlen
2.0*10 4
1.5*10 4
1.0*10 4
18
16
14
5.0*10 3
12
0.0*10 0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Dimension der Matrix
Abbildung 3.3-3: Konditionszahl der Matrix A (gerissen, linke Skale) und der regularisierten Matrix
A + γI (durchgezogen, rechte Skale) als Funktion der Dimension n und für feste α = β = γ = 1
10
Um die Konvergenz stationärer Iterationsverfahren (mit konstanter Inhomogenität) zu beurteilen,
benutzt man u.a. die asymptotische Konvergenz-Rate
wobei
R(G −1 ) := − ln ρ(G −1 ) , (3.3-26)
ρ(G −1 ) = max
1≤i≤n |λ i(G −1 )| (3.3-27)
der Spektralradius von G −1 ist (Varga, 1962). Im vorgestellten Verdrängungs-Algorithmus
wird die Ableitung der externen Energie nach jedem Iterationsschritt neu berechnet. Daher
kann die Anzahl der notwendigen Iterationsschritte a priori nicht abgeschätzt werden. Da die
Berechnung der externen Energie zudem für Snakes und Tafus unterschiedlich erfolgt (vgl. Abschnitt
3.3.1) und damit auch das Verhältnis von innerer zu äußerer Energie beeinflußt wird, ist
ein Vergleich der Konvergenzraten nicht möglich.
3.3.4 Alternatives Verfahren
Greedy-Algorithmus
Mit dem sog. Greedy-Algorithmus (Williams and Shah, 1990) ist auf einfache Weise eine
Energieminimierung von Linien durchführbar. Dabei wird versucht, die Energie jeder einzelnen
Stützstelle durch infinitesimale Verschiebungen zu verringern. Beim Variationsverfahren wird
dagegen die Energie der gesamten Linie in einem Iterationsschritt minimiert. Ausgangspunkt ist
in beiden Verfahren die Übersetzung der Konfliktsituationen in das Verdrängungspotential (siehe
Abschnitt 3.2.2). Ähnlich wird die innere Energie berechnet. So ist beim Greedy-Algorithmus
die ursprüngliche Gestalt der Linie durch explizite Berechnung von 1. und 2. Ableitung an den
Stützstellenpositionen registriert:
mit den Bezeichnungen
E int = E dis + E curv (3.3-28)