Phys. Dirk Burghardt

42 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Die Koordinatenfunktionen B 2,j (t) werden dabei so gewählt, daß der Grad der Spline-Funktion
der höchsten vorkommenden Ableitung entspricht. Da in der inneren Energie die zweite Ableitung
als Maß für die Krümmung der Linie enthalten ist, verwenden wir quadratische B-Splines
(Menet et al., 1991). Einsetzen des Ansatzes unter Beachtung der Randbedingungen führt zu
N−1 ∑
j=1
a(B 2,j )w j = b(B 2,j ) mit (3.3-20)
a(B 2,j ) = −
b(B 2,k ) =
= −
∫ 1
0
∫ 1 (
0
∫ ( 1
0
α B ′ 2,jB ′ 2,k + β B ′′
α ∂B 2,j
∂t
∂B 2,k
∂t
)
2,jB 2,k
′′
dt , (3.3-21)
+ β ∂2 B 2,j ∂ 2 )
B 2,k
∂t 2 ∂t 2 dt
f B 2,k dt . (3.3-22)
Für die Auswertung des α-Terms in (3.3-21) wird die erste Ableitung des B-Splines zweiter
Ordnung benötigt (siehe Anhang C). Zur Auswertung des β-Terms wird außerdem B 2,j ′′ (t) eingesetzt
:
⎧
t − t j : t j ≤ t < t j+1
⎪⎨
B 2,j(t) ′ t j+1 + t j+2 − 2t : t j+1 ≤ t < t j+2
=
t − t j+3 : t j+2 ≤ t < t j+3
⎪⎩
0 : sonst
⎧
⎪⎨
B 2,j(t) ′′ =
⎪⎩
1 : t j ≤ t < t j+1
−2 : t j+1 ≤ t < t j+2
1 : t j+2 ≤ t < t j+3
0 : sonst
Damit ergibt sich folgende Approximationsgleichung für die zweiten und vierten Ableitungen :
α
2 (−1 3 w i+2 − 2 3 w i+1 + 2w i − 2 3 w i−1 − 1 3 w i−2) +
β (w i+2 − 4w i+1 + 6w i − 4w i−1 + w i−2 ) + b(B k ) = 0 (3.3-23)
Zusammenfassend wird festgestellt, daß beide Approximationen, sowohl mit finiten Differenzen
als auch durch finite Elemente, äquivalente diskretisierte Euler-Gleichungen liefern. Werden bei
der Approximation durch finite Elemente als Koordinatenfunktionen B-Splines 2. Ordnung verwendet,
stimmt die Berechnung der 4. Ableitung in den Euler-Gleichungen identisch überein.
In der Näherung der zweiten Ableitung werden im Gegensatz zu finiten Differenzen auch noch
die übernächsten Nachbarn berücksichtigt, das heißt die Approximation ist von höherer Ordnung
und etwas genauer. Da in den Anwendungen die Abtastung sehr fein ist, spielt die höhere
Approximation praktisch keine Rolle.
3.3.3 Numerische Stabilität, Konvergenz
Die Konditionszahl einer Matrix A,
cond(A) := ||A|| ||A −1 || , (3.3-24)
kann als Maß für die Stabilität der Lösung bezüglich Störungen der Eingangsdaten oder der
Rundungsfehler verwendet werden. Als Matrix-Norm || · || dient die Spektralnorm, so daß
cond(A) = max |λ i|
min |λ i |
(3.3-25)
aus den Beträgen des größten und des kleinsten der Eigenwerte λ i ; i = 1, 2, . . . , n berechnet
werden kann. In Abbildung 3.3-3 sind die Konditionszahlen der Matrix A und der regularisierten