Phys. Dirk Burghardt

40 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Die externe Energie (3.2-3) in den Punkten P i und ˜P i := P (x i + dx i , y i + dy i ) einer Kurve
ergibt sich aus den Abständen a und ã zu Punkten der benachbarten Kurve (Abbildung 3.3-1).
Die Koordinatenunterschiede dx i , dy i resultieren aus einer (genügend kleinen) Drehung dϕ jedes
Kurvenstücks der Länge s i mit s 2 i = (x i − x i−1 ) 2 + (y i − y i−1 ) 2 , näherungsweise zu berechnen
aus
dx i ≃ dq i cos(ϕ i + π/2) ,
dy i ≃ dq i sin(ϕ i + π/2) , (3.3-12)
dq i ≃ s i dϕ .
Die Ableitung der externen Energie wird approximiert durch
∂E ext
∂ϕ
∣ ≃ E ext| ˜Pi
− E ext | Pi
i dϕ
. (3.3-13)
Die aus den Richtungsänderungen δϕ i := ϕi t − ϕt−1 i folgenden Koordinatenänderungen δx i , δy i
berechnet man ebenfalls (genügend genau) mit (3.3-13), wobei sign δq i = sign δϕ i .
y
~ ~
P
a
a
s
dq
ϕ + π
2
s P
dϕ
ϕ
x
Abbildung 3.3-1: Berechnung der externen Energie für TAFUS
3.3.2 Finite Elemente
Die Diskretisierung der Euler-Gleichungen mit finiten Differenzen führt auf schlecht konditionierte
Matrizen (siehe 3.3.3). Damit ist eine hohe Zahl an Iterationen zur Lösung der Gleichungen
(3.3-7), (3.3-8) verbunden. Nach Cohen und Cohen (1990) kann eine Konvergenzbeschleunigung
duch die Verwendung finiter Elemente erreicht werden. Der Finite-Elemente-
Ansatz von Højholt (1998) unterstützt die Annahme einer sinnvollen Anwendung in der Linienverdrängung.
Im folgenden wird deshalb die Eignung finiter Elemente zur Diskretisierung der
Euler-Gleichungen näher untersucht.
Ausgangspunkt ist die zu diskretisierende Euler-Gleichung mit interner und externer Energie :
−α w ′′ + β w IV + f = 0 , (3.3-14)
wobei
f = ∂E ext
∂x
Nach Multiplikation mit einer genügend glatten Funktion v(s), die auf dem Rand verschwindet
und anschließender Integration folgt
.
∫ 1
0
(α w ′′ − β w IV ) v ds =
∫ 1
0
f v ds . (3.3-15)