Phys. Dirk Burghardt

3.3. Diskretisierung und numerische Realisierung 39
in Matrizenform
A(x t − x 0 ) + E x ext (x t , y t ) = 0 , (3.3-4)
A(y t − y 0 ) + E y ext (x t , y t ) = 0 , (3.3-5)
mit der pentadiagonalen Bandmatrix
⎡
A =
⎢
⎣
a b c 0 0 · · ·
b a b c 0
c b a b c
0 c b a b
0 0 c b a
.
⎤
⎥
⎦
. (3.3-6)
Im nächsten Schritt erfolgt der Übergang zu einer iterativen Bearbeitung (Parameter t):
(A + λI)(x t − x 0 ) = λ(x t−1 − x 0 ) − E x ext (x t−1 , y t−1 ) , (3.3-7)
(A + λI) (y t − y 0 )
} {{ } } {{ }
B n
= λ (y t−1 − y 0 ) − E y ext (x t−1 , y t−1 )
} {{ }
m
. (3.3-8)
Die Vektoren x t bzw. y t bezeichnen die x- bzw. y-Koordinaten der Linie im gegenwärtigen Iterationsdurchgang.
Die Vektoren x 0 bzw. y 0 enthalten die x- bzw. y-Koordinaten der ursprünglichen
Linie. Eine Lösung der entkoppelten Matrizengleichungen (3.3-7) und (3.3-8) erfolgt mittels
Cholesky-Zerlegung. Dabei handelt es sich um eine symmetrische Version der LR-Zerlegung für
positiv definite Matrizen:
Bn = m
R T Rn = m (3.3-9)
R T u = m ⇒ Rn = u ⇒ n .
TAFUS: Analog ist die Vorgehensweise zur Diskretisierung der Euler-Gleichung für die Tangentenwinkelfunktion
(3.2-17). Da im Gegensatz zur Parametrisierung mit kartesischen Koordinaten
die Euler-Gleichung nur von 2. Ordnung ist, besitzt die Koeffizientenmatrix tridiagonale
Struktur:
⎡
⎤
a b 0 0 0 · · ·
b a b 0 0
a := α + 2β
A T =
0 b a b 0
,
(3.3-10)
⎢ 0 0 b a b
b := −β .
⎥
⎣
⎦
.
Es ist also nur ein Gleichungssystem (je Kurve) mit tridiagonaler Koeffizientenmatrix anstelle
zweier mit pentadiagonaler Matrix bei den üblichen Snakes-Verfahren zu lösen. Allerdings
müssen vor dem Start die Polygonseitenrichtungen
ϕ i := arctan y i+1 − y i
x i+1 − x i
, (3.3-11)
entsprechend (3.2-12) und nach jedem Iterationsschritt die Koordinaten der verschobenen Polygonpunkte
neu berechnet werden.