Phys. Dirk Burghardt

38 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
3.2.4 Tangent Angle Function Snakes (TAFUS)
Neben der Parametrisierung von Snakes mittels rechtwinkliger Koordinaten, kann alternativ die
Tangentenwinkelfunktion
ϕ(s) := arctan ẏ(s)
ẋ(s)
(3.2-12)
zur Beschreibung ebener Kurven verwendet werden. Die innere Energie nimmt damit analog zu
Gleichung (3.2-2) folgende Gestalt an :
E int = (αϕ 2 + β ˙ϕ 2 )/2 , (3.2-13)
wobei der erste Term die Kurvenrichtung modelliert und die Ableitung der Tangentenwinkelfunktion
nach der Bogenlänge der Krümmung entspricht:
˙ϕ(s) = ẋÿ − ẏẍ (3.2-14)
mit ˙ϕ = ∂ϕ/∂s, ẋ = ∂x/∂s, ẏ = ∂y/∂s, sɛ[0, 1]. Die Rückrechnung erfolgt nach
x(s) = x(0) +
y(s) = y(0) +
∫ s
0
∫ s
0
cos ϕ(t) dt , (3.2-15)
sin ϕ(t) dt . (3.2-16)
Der Vorteil dieser Beschreibung liegt in der Reduktion von zwei Gleichungen 4. Ordnung auf
eine Gleichung 2. Ordnung :
∂E ext
∂ϕ
+ αϕ(s) − β ¨ϕ(s) = 0 . (3.2-17)
Nachteilig ist, daß nur Richtungsänderungen δϕ i und keine Streckenänderungen δs i zwischen benachbarten
Punkten deformierter Polygon-Snakes gewonnen werden. Demzufolge ist eine Rücktransformation
nach (3.2-15), (3.2-16) nicht möglich. Um trotzdem kartesische Koordinaten bestimmen
zu können, wird deshalb zusätzlich gefordert, daß die Polygonpunkte senkrecht zur
Kurvenrichtung verschoben werden sollen (Borkowski et al., 1999).
3.3 Diskretisierung und numerische Realisierung
3.3.1 Finite Differenzen
Snakes: Zur Lösung der Euler-Gleichungen (3.2-10) und (3.2-11) erfolgt die Diskretisierung
mittels finiter Differenzen:
0 = (E i x, E i y) + α [(w i − w i−1 ) − (w i+1 − w i )] + (3.3-1)
β ({[(w i − w i−1 ) − (w i+1 − w i )] − [(w i+1 − w i ) − (w i+2 − w i+1 )]} −
{[(w i−1 − w i−2 ) − (w i − w i−1 )] − [(w i − w i−1 ) − (w i+1 − w i )]}) .
Nach Umformung und unter Verwendung der Substitutionen
ergibt sich aus (3.3-1) die Gleichung
a := 2α + 6β b := −α − 4β c := β (3.3-2)
0 = (E i x, E i y) + cw i−2 + bw i−1 + aw i + bw i+1 + cw i+2 , (3.3-3)